《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度

概華伦与款程统外 第四节连续型随机变量 及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布

一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 第四节 连续型随机变量 及其概率密度

概车伦与散理统外「 一、概率密度的概念与性质 1.定义对于随机变量X的分布函数F(x), 如果存在非负函数∫(x),对于任意实数x有 F(x)=广f)dt, 则称X为连续型随机变量， ∫(x)为X的概率密度函数，简称概率密度

一、概率密度的概念与性质 ( ) ( )d , x F x f t t − =  X f x( ), 1.定义 对于随机变量 的分布函数 如果存在非负函数 F x( ), 对于任意实数 x 有 则称 X 为连续型随机变量， f x( ) 为 X 的概率密度函数，简称概率密度

概華论与款程统外 2.概率密度的性质 f(x) (1)f(x)≥0 (2)f(x)dx=1

2.概率密度的性质 o x f (x) 1 (1) f (x)  0 (2) ( )d =1  + − f x x y

概车纶与款理统外 3.概率密度的几何意义 f(x) X X2 Px<X<x)=F(x2)-F(x) -Jf()dx

o x f (x) 1 S1 1 x • 2 x • 3.概率密度的几何意义 1 2 2 1 P x X x F x F x { } ( ) ( )   = − 2 1 ( )d x x = f x x 

概華论与款醒硫外 注1 (I)P{X≤=Fa)=”f(x)dx, (2)P{X>=1-P{X≤=1-F(a) =f(x)dx. (3)在fx)的连续点处 F'(x)=f(x)

P{X  a} = F(a) f (x)d x, a − = P{X  a} = 1 − P{X  a}= 1− F(a) f (x)d x. a  = 注1 （1） （2） （3）在 f(x) 的连续点处 F x f x ( ) ( ) =

注2 概率伦与散理统针」 对于任意实数值α，连续型随机变量取a的概 率等于零即P{X=a}=0. 由此可得 P{a≤X≤b}=P{a<X≤b=P{a≤X<b} =P{a<X<b}. 若P{X=@}=0,{Xa并非不可能事件

对于任意实数值a ,连续型随机变量取 a 的概 率等于零.即 P{X = a} = 0. 由此可得 P{a  X  b} = P{a  X  b}= P{a  X  b} = P{a  X  b}. 注2 若 P{X = a} = 0, { X= a }并非不可能事件

概華论与款醒硫外 例1设随机变量X具有概率密度 kx, 0≤x<3, f()={2- 3≤x≤4， 0, 其它 (1)确定常数k; (2)求X的分布函数； )求P1<X≤}. 解( 由fx)dx=l, 得xdx+2-2dx=l,解之得k= 6

}. 27 (3) {1 (1) ; (2) ; 0, . , 3 4, 2 2 , 0 3, ( )   −     = P Xk Xx x kx x f x X 求 确定常数 求 的分布函数 其它 设随机变量 具有概率密度 解 (1) ( )d 1, − 由 f x x = 例 1 )d 1, 2 d (2 30 43 + − =   x x 得 kx x . 61 解之得 k =

由F(x)=∫nfx)dx得 概车纶与款理统外 0,x<0, 8d0≤r<3 0g- 1,x≥4. 0≤x<3, 2 fx)=2- 3≤x≤4， 0, 其它

       F(x) = 由  得 − = x F(x) f (x)d x 0, x  0,    x x x x 0 d , 0 3, 6   + −   3 0 3 )d , 3 4, 2 d (2 6 x x x x x x 1, x  4.          −     = 0, . , 3 4, 2 2 , 0 3, 6 ( ) 其它 x x x x f x

概華论与款程统外 0, x<0, x2 0≤x<3, 0≤x<3, 即F(x)= 3≤x≤4， -3+2x- 4,3sx<4 f四=2- 1, x≥4. 0, 其它. 3PL<Xs=F-rw- 48

          − + −      = 1, 4. , 3 4, 4 3 2 , 0 3, 12 0, 0, ( ) 2 2 x x x x x x x 即 F x } 2 7 (3) P{1  X  ) (1) 2 7 = F( − F . 48 41 =          −     = 0, . , 3 4, 2 2 , 0 3, 6 ( ) 其它 x x x x f x

概车纶与款理统外 例2 设连续型随机变量X的分布函数为 0, x≤-， F()=4+Barcsinx 1, x>a. 求：(I)系数A,B的值； 2)P-a<X<: (3)随机变量X的概率密度

(3) . }; 2 (2) { : (1) , ; 1, . arcsin , , 0, , ( ) 随机变量 的概率密度 求 系数 的值 设连续型随机变量 的分布函数为 X a P a X A B x a a x a a x A B x a F x X −          + −    − = 例2