沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第1章随机事件与概率、第2章随机变量及其分布.pdf_大学文库

第1章随机事件与概率概率论与数理统计教案绪论概率论的发展历程1.概率论的诞生1654年，一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢家，若在一赌徒胜a局（a<c)），另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡，帕斯卡与费马通信讨论这一问题，于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念一一数学期望，标志着概率论的诞生。2.古典概率论时期概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（JacobBernoulli，1654一1705），他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。3.分析概率论时期拉普拉斯是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者。1812年，拉普拉斯出版著作《概率的分析理论》，书中以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，为现代概率论的萌生和发展提供了前提条件，开辟了概率论发展的新时期。19世纪的概率论研究是在《分析概率论》的框架内展开的。4.公理化概率论时期1933年，柯尔莫哥洛夫以德文出版经典性著作《概率论基础》。其中，柯尔莫哥洛夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。柯尔莫哥洛夫的公理化体系逐渐得到数学家们的普遍认可。该书标志着概率论成为严密的数学分支。5．概率论的多元化发展概率论的发展根植于现代分析学，依赖于公理化和不等式估计，与实分析、泛函分析和偏微分方程等数学分支有着密切联系，概率论与数理统计在中国的发展1880年，供职于江南制造局的英国传教士傅兰雅与中国数学家华衡芳合作翻译了托马斯·迦罗威的《概率论》，中文译著名为《决疑数学》。1903年，日本知名的学者横山雅男的《统计讲义录》中文版出版且流传极广。中国概率统计领域内享有国际声誉的数学家有许宝、王梓坤等。1.许宝腺（1910一1970）20世纪最富创造性的统计学家之一，在概率论与数理统计领域所作出的贡献享誉世界

概率论与数理统计教案第 1 章随机事件与概率 - 1 - 绪论概率论的发展历程 1. 概率论的诞生 1654 年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( a c  ),另一赌徒胜 b 局 ( ) b c  时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望，标志着概率论的诞生。 2．古典概率论时期概率论作为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅科布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654－1705），他一生中最具创造力的著作名为《猜度术》。 3．分析概率论时期拉普拉斯是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者。1812年，拉普拉斯出版著作《概率的分析理论》，书中以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，为现代概率论的萌生和发展提供了前提条件，开辟了概率论发展的新时期。 19世纪的概率论研究是在《分析概率论》的框架内展开的。 4．公理化概率论时期 1933年，柯尔莫哥洛夫以德文出版经典性著作《概率论基础》。其中，柯尔莫哥洛夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。柯尔莫哥洛夫的公理化体系逐渐得到数学家们的普遍认可。该书标志着概率论成为严密的数学分支。 5．概率论的多元化发展概率论的发展根植于现代分析学，依赖于公理化和不等式估计，与实分析、泛函分析和偏微分方程等数学分支有着密切联系．概率论与数理统计在中国的发展 1880年，供职于江南制造局的英国传教士傅兰雅与中国数学家华衡芳合作翻译了托马斯﹒迦罗威的《概率论》，中文译著名为《决疑数学》。1903年，日本知名的学者横山雅男的《统计讲义录》中文版出版且流传极广。中国概率统计领域内享有国际声誉的数学家有许宝騄、王梓坤等。 1.许宝騄（1910－1970） 20 世纪最富创造性的统计学家之一，在概率论与数理统计领域所作出的贡献享誉世界

概率论与数理统计教案第 1 章随机事件与概率 - 4 - §1.1 随机事件和样本空间授课题目 §1.1 随机事件和样本空间第 1 讲（1）教学目的了解样本空间的概念；理解随机事件的概念。教学重点随机事件的概念。教学难点理解随机事件的概念。教学过程备注 *知识框架随机现象随机试验样本空间随机事件事件间的关系与运算随机现象举例：试验 1. 一袋装有 3 个外形完全相同的白球，从中任取一球；试验 2. 一袋装有 3 个外形完全相同但颜色不同的球，从中任取一球．反例：记录 100 年后地球上的人口数量—— 不是随机试验，试验无法在相同的条件下重复进行．注 1.当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的． 2. 必然事件和不可能事件本来没有随机性可言，看成随机事件的极端情况．事件的表示方法： *讲授新课一、随机现象及随机试验 1.两类现象： ○1 确定性现象：即在一定条件下，必然发生或不发生的现象；例，抛硬币，最终落地。人最终都要面临死亡。 ○2 不确定现象：即在观测之前无法预知其确切结果的现象，也称其为随机现象． 2.研究随机现象的最好方法：多次重复试验或观察，呈现统计规律性． 3. 随机试验：（1）试验在相同条件下可重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；（3）每次试验前不能确定哪一个结果发生．随机试验简称试验，常用字母 1 2 E E E , , , 表示．例 1 下面的 4 个试验都是随机试验: E1 ：掷一枚骰子，观察朝上出现的点数； E2 ：先后抛两次硬币，观察正面与反面出现的情况； E3 ：记录一部热线电话在 2 分钟内接到电话的次数； E4 ：按户调查农村居民年购买食品、家电分别支出的费用．二、样本空间与随机事件 1.样本空间

概率论与数理统计教案第 1 章随机事件与概率 - 5 - ○1 定义随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记作  ．其中每一个可能的结果，称为样本点，记作  ．例 2 写出 E1， E2 ， E3 ， E4 对应的样本空间 1 2 3 4     , , , ．解  =1 1,2,3,4,5,6 ；  =2 {（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；  =3 {0,1,2, }  ；  =   4 ( , ) | 0, 0 x y x y  ． ○2 类型随机试验 E1 的样本空间是一维的， E2 的样本空间是二维的，样本点个数为有限个，称为有限样本空间； E3 中样本点个数为无限个，称为无限样本空间． 2.随机事件（1）定义样本空间  的任意子集称为随机事件，简称事件，可用大写字母 A,B,C,  表示．（2）必然事件对于一个随机试验 E ，在每次试验中必然发生的事件。（3）不可能事件在每次试验中都不发生的事件，用  来表示．（4）基本事件由一个样本点组成的单点集合．（5）事件发生事件 A 发生  A 中的一个样本点出现。例 3 在公路上随机抽查 10 辆汽车，考察其中公有车辆数，写出样本空间并将下列事件用列举法表示为集合的形式 A = {有 2 辆或 3 辆公车}； B = {有 1 至 3 辆公车}； C = {公车不超过 3 辆}； D = {至少有 3 辆公车}．列举法、描述法（集合）．举例：在试验 E1 中， 1．“掷出的点数不超过 6”是必然事件； 2. “掷出的点数大于 7”是不可能事件； 3. “掷出的点数是 6” 是一个基本事件. *小结随机现象随机试验样本空间随机事件 *作业习题 1.1—P6 —5 §1.2 事件间的关系与运算授课题目 §1.2 事件间的关系与运算第 1 讲（2）教学目的掌握事件的关系与运算。教学重点事件的关系与运算。教学难点掌握事件的关系与运算。教学过程备注 *讲授新课一、事件间的关系与运算

概率论与数理统计教案第 1 章随机事件与概率 - 9 - *知识框架 *讲授新课一、概率的公理化定义定义在一个随机试验中，用来表示任一个随机事件 A 发生的可能性大小的实数称为事件 A 的概率，记为 P A( ),其中 P A( ) 需满足下面三个公理（1）非负性公理：对任一事件 A ，都有 P A( ) 0  ；（2）规范性公理：必然事件的概率 P( ) 1  = ；（3）可加性公理：对任意可数个两两互不相容的事件 1 2 , , , , A A A n ，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P A P A   = = =  . 二、概率的性质（1）不可能事件与必然事件的概率： P( ) 0  = ， P( ) 1  = ．（2）有限可加性：若事件 1 2 , , , A A A n 两两互不相容，则 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = =  ．（3）减法公式：对任意两个事件 A ， B ，有 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ．特别地，若事件 B A  ，则 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) − = − ，且 P B P A ( ) ( )  ．（4）加法公式：对任意两个事件 A ， B ，有概率：随机事件的发生具有偶然性，但随机事件发生的可能性有大小之别．随机事件发生可能性大小的度量称为该事件的概率，也就是说随机事件 A 发生的可能性的大小就是事件 A 的概率，记之为 P A( ) ．基本假设 Ⅰ. P( ) 0  = Ⅱ. 0 ( ) 1   P A 柯尔莫哥洛夫概率的性质 Ⅰ. P( ) 0  = ；Ⅱ.有限可加性 Ⅲ.减法公式； Ⅳ.加法公式 Ⅴ.对立事件的概率概率的公理化定义 Ⅰ.规范性 Ⅱ.非负性 Ⅲ.可列可加性概率三种计算方法频率方法：频率= A n n 概率=频率的稳定值古典方法： Ⅰ.随机试验中只有有限个可能的结果； Ⅱ.每个结果出现的可能性相同，也简称为“等可能”； Ⅲ.样本空间有 n 个结果， A 包含 m 个结果， ( ) m P A n = ．典型问题：抽样、样本放入容器、随机取数几何方法：一维线段的长度；二维区域的面积；三维立体的体积

概率论与数理统计教案第 1 章随机事件与概率 - 10 - P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) ．特别地，若 AB = ，则 P(A B) = P(A) + P(B) ．推广到三个事件，有 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − − − + ．（5）对立事件的概率：对任意事件 A ，有 P A( ) 1  ，且 P(A) = 1− P(A) ．例 1 设事件 AB, 互不相容，且 P A p P B q ( ) , ( ) = = ，求 P AB ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) ， P A B ( ) − ．三、概率的三种计算方法 1.频率方法如果在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 A n 次，称 A n n 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率．频率的特点：随试验结果的变化而变化，具有随机波动性，当试验次数 n 逐渐增大时，频率波动的幅度会越来越小，并逐渐向某个常数 p 靠近，且逐渐稳定在这个常数 p 上，称 p 为频率的稳定值．用频率的稳定值来定义概率，并称之为概率的统计定义．把用频率去获得概率近似值的方法称为概率的频率计算方法． 2.古典方法古典概型曾经是概率论发展早期的主要研究对象，是一种最简单、最直观的概率模型． ①古典概型的定义若随机试验 E 满足下面两个条件: （1）样本空间包含有限个样本点，即 1 2 { , , , }  =   n ；（2）各基本事件 1 2 { },{ }, { }   n 发生的概率相同．（3）样本空间中共有 n 个结果，事件 A 中包含了 m 个结果，则事件 A 发生的概率 ( ) m A P A n = =  中包含的样本点的个数中包含的样本点的个数．称这类随机试验为古典概型或等可能概型． ②计算古典概型的预备知识 (1)加法原理若做某件事情有 k 类方法，第 i 类方法有 mi 种方法， i = 1,2, ， k ，则做这件事情共有 m m m 1 2 + + + k 种方法．对性质(3)、(5)给出证明答案 P AB ( ) 0 = P A B p q ( ) = + P A B p q ( ) 1 = − − P A B p ( ) 1 = − P A B p ( ) − = ．注意试验不能无限次地重复，获得频率的稳定值很难．把大量试验中得到的频率作为概率的近似值．

沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第1章 随机事件与概率、第2章 随机变量及其分布

沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（教案讲义）第1章随机事件与概率、第2章随机变量及其分布