《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 二次型 9.3 正定二次型

9.3正定二次型一、内容分布9.3.1正定二次型与正定矩阵9.3.2正定二次型的判别、教学目的1：掌握正定二次型、负定二次型、主子式的概念2.掌握实二次型正定的判定定理三、重点、难点实二次型正定的判定

9.3正定二次型 一、内容分布 9.3.2 正定二次型的判别 三、重点、难点 实二次型正定的判定 9.3.1正定二次型与正定矩阵 二、教学目的 1．掌握正定二次型、负定二次型、主子式的概念. 2．掌握实二次型正定的判定定理

9.3.1正定二次型与正定矩阵R上一个元二次型g(x,x2x）可以看成定义在实数域上n个变量的实函数如果对于变量x，x…x的每一组不全为零的值函数值(x,x2x）都是正数，那么就称g(xX2…,x）是一个正定二次型类似地，如果对于变量xx，…x的每一组不全为零的值，函数值g(x1,X2,…x）都是负数，那么就称q(x1,x2,…xn）是一个负定二次型

9.3.1 正定二次型与正定矩阵 R上一个元二次型q(x1, x2, ⋯, xn)可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数.如果对于变量x1, x2, ⋯, xn的每一组不全为零的 值,函数值q(x1, x2, ⋯, xn)都是正数,那么就称q(x1, x2, ⋯, xn)是一个 正定二次型. 类似地,如果对于变量x1, x2, ⋯, xn的每一组不全为零的值,函 数值q(x1, x2, ⋯, xn)都是负数,那么就称q(x1, x2, ⋯, xn)是一个负定 二次型

9.3.2正定二次型的判别定理9.3.1实数域上二次型q(x，x，，x）是正定的充要条件是它的秩和符号差都等于n.q(xi,x2,…，xn）是负定的充要条件是它的秩等于n.符号差等于-n证我们只需对正定的情形证明.设A是二次型gx，xx）的矩阵如果A的秩和符号差都等于n，那么存在实可矩阵P，使得PTAP=I.XJ1y2X2P三...xyAV

PTAP=I . 令 定理9.3.1 实数域上二次型q(x1, x2, ⋯, xn)是正定的充要条件 是它的秩和符号差都等于n. q(x1, x2, ⋯, xn)是负定的充要条件是 它的秩等于n,符号差等于–n. 证 我们只需对正定的情形证明.设A是二次型q(x1, x2, ⋯, xn)的矩 阵,如果A的秩和符号差都等于n,那么存在实可逆矩阵P,使得 1 1 2 2 (1) n n x y x y P x y       =         9.3.2 正定二次型的判别

那么JiXy2X2=(i,y2,"",n)PTAPq(xi,X2,",x)=(x,X2,.,x)A.VJiy2=片+片++y=(1, y2,", yn,)由1)可以看出x,x2,…不全为零时，y,y2…y,也不全为零因此，对于任意不全为零的实数x，x2…，x，都有

1 2 1 2 1 2 (, , , ) (, , , ) n n n x x qx x x x x x A x       =          那么 1 T 2 1 2 (, , , ) n n y y y y y P AP y       =         1 2 1 2 (, , , ) n n y y yy yI y       =         22 2 1 2 n = + ++ yy y  由(1)可以看出x1, x2, ⋯, xn不全为零时, y1, y2, ⋯, yn也不全为零. 因此,对于任意不全为零的实数x1, x2, ⋯, xn ,都有

q(x1, X2, , xn)=y2+y22+..+y2>0反过来，如果r<n或r=n而p<n，不论哪一种情形都有p<n.因此存在实可逆矩阵P，使得PTAP=O福,o≤p<n福取一组实数y, 2…,n，使得y1=2=…=p=0, p+1…,yn不全为零，并且令Xyi专J2=P...古V

q(x1, x2, ⋯, xn)= y1 2+y2 2+⋯+ yn 2 >0 反过来,如果r <n或r =n而p <n,不论哪一种情形都有p <n.因 此存在实可逆矩阵P,使得 取一组 实数y1, y2, ⋯, yn ,使得y1=y2= ⋯= yp =0, yp+1, ⋯, yn不全 为零,并且令 T ,0 p r p I OO P AP O I O p n OOO −     = − ≤<     1 1 2 2 n n x y x y P x y       =        

那么x,x2，…x也不全为零.然而yJ2q(x,x2,.,x)=(,2,,2V-(yp+1 +...+y,)≤0二所以二次型q不是正定的

那么x1, x2, ⋯, xn也不全为零.然而 所以二次型q不是正定的. 1 2 1 2 1 2 (, , , ) (, , , ) p n n r p n y I OO y qx x x y y y O I O OOO y −         = −            2 2 1 ( )0 p n y y =− + + ≤ + 

设A=(a）是一个n阶实对称矩阵，位于A的前k行和前k列的子式叫做A的阶主子式.令k=1.2n就得到A的一切主子式以A为矩阵的二次型q(x,x2，…,xn)的k阶主子式指的是A的k阶主子式定理9.3.2实二次型q(g,,) - 2之ax,xji=lj=l是正定的当且仅当它的一切主子式都大于零

设A=(aij)是一个n阶实对称矩阵,位于A的前k行和前k列的 子式叫做A的k阶主子式.令k=1,2⋯, n,就得到A的一切主子式. 以A为矩阵的二次型q(x1, x2, ⋯, xn)的k阶主子式指的是A的k 阶主子式. 定理9.3.2 实二次型 是正定的当且仅当它的一切主子式都大于零. 1 2 1 1 (, , , ) n n n ij i j i j qx x x axx = =  = ∑∑

证如果二次型g(x，x2，…，xn）的某一k阶主子式不大于零1<k<n.令ala12aikanla22a2kdklqkA是一个阶实对称矩阵，所以存在阶实可逆矩阵O使得QTAQ=由于detA≤0，所以det(QTAQ)=det(Q)2detA≤0.因此s<k

证 如果二次型q(x1, x2, ⋯, xn)的某一k阶主子式不大于零, 1≤k≤n . 令 Ak是一个k阶实对称矩阵,所以存在k阶实可逆矩阵Q,使得 由于detAk≤0,所以det(QTAkQ)=det(Q)2detAk ≤0.因此s<k. T , s k t I OO Q AQ O I O OOO     = −     11 12 1 21 22 2 1 1 , k k k k k kk aa a aa a A aa a     =       

于是由定理9.3.1,以A为矩阵的k个变量的实二次型q(xX2…,x）不是正定的，即存在不全为零的实数c,C2,…Ch使得qi(C,C2,",Ch)≤0.于是对于不全为零的n个实数c,C2，…C0…0来说，有Sq(C,2...,.,,..,0)=CC.,...,.0,...,)ACK

于是由定理9.3.1,以Ak为矩阵的k个变量的实二次型qk(x1, x2, ⋯, xk)不是正定的,即存在不全为零的实数c1, c2, ⋯, ck,使得 于是对于不全为零的n个实数c1, c2, ⋯, ck ,0,⋯,0来说,有 qk(c1, c2, ⋯, ck) ≤0. 1 2 1 2 1 2 ( , , , ,0, ,0) ( , , , ,0, ,0) 0 0 k k k c c qc c c c c c A c           =                

福2S=(Ci,C2,"",Ch)Ak=q(C,C2,",Ck)≤0所以二次型q(x,x2,,xn）不是正定的

所以二次型q (x1, x2, ⋯, xn)不是正定的. 1 2 1 2 (, , , ) k k n c c cc c A c       =         1 2 ( , , , ) 0. k k = q cc c  ≤