2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.下列函数中不可导的是（）。A. f(x)=xsin(x)B. f(x) = xsin(/x)c. f(x) = cosxD. f(x)= cos( /风)【答案】D【解析】【解析】A可导：[x sin (Ix)x sin (Ix)x·sinxx-sinx lim=0, f(0)= lim=0f(0) = limlim0x1→0xxX→0*xB可导：[a/sin [x/sin x-sinx-x·sin -xlim=0, f(0) = limf'(0) = limlim01~0xxxx→0*x3→0~-0C可导：11Pcos|xl-1cos|x|-12f:(0) = lim0lim0,f'(o)=limlim1~01→0x→0*xx-0xxxD不可导：11cos /x-1V/xj-1cOsy2f(0) = limlimf'(o)limlim220xx→0"xx-0xx→0*xf(0) + f'(0)2.过点（1,0,0)与(0,1,0)且与z=x2+y2相切的平面方程为A.2=0与x+y-z=1B.z=0与2x+2y-z=2C. y=x与x+y-z=1D.y=x与2x+2y-z=2【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C、D排除
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1.下列函数中不可导的是（ ）。 A. f x x x ( ) sin( ) B. f x x x ( ) sin( ) C. f x x ( ) cos D. f x x ( ) cos( ) 【答案】D 【解析】【解析】 A 可导： - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x B 可导： - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x C 可导： 2 2 - 0 0 0 0 1 1 cos -1 cos -1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x D 不可导： - 0 0 0 0 - 1 1 - cos -1 1 1 cos -1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim - 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f 2.过点 (1,0,0) 与 (0,1,0) 且与 2 2 z x y 相切的平面方程为 A. z 0 与 x y z 1 B. z 0 与 2 2 2 x y z C. y x 与 x y z 1 D. y x 与 2 2 2 x y z 【答案】B 【解析】因为平面过点 (1,0,0) 与 (0,1,0) ，故 C、D 排除
曲面==x2+y"的法向量为(2x,2y,-1),因为平面过(1,0,0),则平面方程为2x(X-1)+2yY-Z=0，又因为平面过(0,1,0)，故x=y由此，取特殊值：令x-1,则法向量为(2,2,-1)，故B选项正确。2n+3Z(-1)"3.(2n +1)!n=0A. sinl+cos1B.2sin1+coslC.2sinl+2cos1D.3sin1+2cos1【答案】B.【解析】2n+32n+S(x)=(2n+1)!S(x)=2(-1)" 2n+3,(2n)!x2n+3Z(-1)(2n-1)*(2n)!n=1=0=-xsinx+3cosxS(x)= xcosx+2sin x2n+3Z(-1)"= S(1)= cos1+2sinl(2n+1)!7=0r (1+x)2d, N=J+d,K=4..M=(1+cosx)dx,则M,N,K大小关系为21+x22erA.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】C【解析】M=i(+_2x)-)dx = [ ldx1+x[-号,号时,+V/cosx≥1,所以K> M XE122令f(x)=1+x-e*,f(0)=0, f(x)=1-e元0.三时，(x)0当xe当xel元,0时，f(x)>022元元时，有(x)≤0，从可有+≤1，由比较定理得N<M,故选C所以xE222
2 2 (2 , 2 , 1), (1,0,0) 2 ( 1) 2 0 (0,1,0) z x y x y x X yY Z x y 曲面 的法向量为 因为平面过 ， 则平面方程为 ，又因为平面过 ，故 由此，取特殊值；令 x=1,则法向量为 (2,2, 1) ，故 B 选项正确。 3. 0 2 3 ( 1) (2 1)! n n n n A.sin1 cos1 B. 2sin1 cos1 C. 2sin1 2cos1 D. 3sin1 2cos1 【答案】B. 【解析】 2 1 0 2 0 2 2 1 0 0 2 3 1 2 1 ! 2 3 1 2 ! 1 1 1 3 1 2 1 ! 2 ! sin 3cos cos 2sin 2 3 1 1 cos1 2sin1 2 1 ! n n n n n n n n n n n n n n n S x x n n S x x n x x n n x x x S x x x x n S n 4. . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1 x x x M dx N dx K x dx x e 则 M N K , , 大小关系为 A. M N K B. M K N C. K M N D. K N M 【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 - , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e 时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选
(110)5.下列矩阵中，与矩阵011相似的为001D110100【答案】A【解析】方法一：排除法[110特征值为1,1,1，r(E-Q)=2令0=|01001101001O2选项A：令A：A的特征值为1,1,l，r(E-A)=rLo0LO00[o1001000选项B：令B=B的特征值为1,1,1，r(E-B)=r-1Lo0000O11-1/选项C：令C0000C的特征值为1,1,1，r(E-C)=r0Lo000[o10-00选项B：令D=0=D的特征值为1,1,1，r(E-D)=rC0010001若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r（E-O)=r（E-J)，故选（A)方法二：定义法（利用初等矩阵的性质）[1 1 0]1-1 00令P=01 0010福[001]00001
5. 下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1 相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1 B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1 C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1 D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1 【答案】A 【解析】 方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q ，特征值为 1,1,1，r E Q 2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A ， A 的特征值为 1,1,1， 0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r 选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B ， B 的特征值为 1,1,1， 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r 选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C ，C 的特征值为 1,1,1， 0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r 选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D ， D 的特征值为 1,1,1， 0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r 若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J 相似，从而 r E Q r E J ，故选（A） 方法二：定义法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P ， 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P
10所以相似，故选（A)0006.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（XY)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A)B.r(A BA)=r(A)D.r(A B)=r(AT B').C.r(A B)=max(r(A), r(B)).【答案】A【解析】根据矩阵的运算性质，r(E,B)=n=r(A,AB)=r[A(E,B)]=r(A),故A正确(0 0)070011,所以r(A BA)=r，则BA=若A=110r(A)=1.排除 B.(1200(1200),那么r(A B)=r(若A：4)=2,r(4)=1,r(B)=1,B-7(34)0034(o0所以C排除1000, 则 r(A B")=r(o 8 。 )-1, r(4.B)=r(Q若AB0000000100=2所以排除D.010(o7.设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，[f(x)dx=0.6，则P(X <0) =A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】A.【解析】特殊值法：由已知可将f(x)看成随机变量XN(1,α2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P(X<0)=0.2
所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 与 相似，故选（A） 6.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ). B. r A BA r A ( ) ( ). C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}. ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B 【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质， r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( ) ,故 A 正确. 若 0 0 0 1 A ,B 1 1 1 0 ，则 1 1 0 0 BA ，所以 0 0 1 1 ( ) 2, 1 1 0 0 r A BA r r A( ) 1. 排除 B. 1 2 0 0 1 2 0 0 A ,B , 2, 1, 1, 0 0 3 4 0 0 3 4 C . r A B r r A r B 若 那么 所以 排除 若 1 0 0 0 A ,B 0 0 1 0 ， 则 1 0 0 1 ( ) 1 0000 T T r A B r ， , T T A r A B r B 1 0 0 0 2 0 1 0 0 r 所以排除 D. 7. 设 f x( ) 为 某 分 布 的 概 率 密 度 函 数 ， f x f x (1 ) (1 ) ， 2 0 f x dx 0.6 ， 则 P X{ 0} A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A. 【解析】特殊值法：由已知可将 f x( ) 看成随机变量 2 X N 1, 的概率密度，根据正态分 布的对称性， P X 0 0.2
8.给定总体X~N(u,α），α已知，给定样本X,X,..",X，对总体均值u进行检验，令H=H，则A.若显著性水α=0.05时拒绝H。，则α=0.01时也拒绝H。B.若显著性水α=0.05时接受H，则α=0.01时拒绝H。C.若显著性水α=0.05时拒绝H。，则α=0.01时接受H。D.若显著性水α=0.05时接受H。，则α=0.01时也接受H。【答案】D【解析】当α=0.05时，拒绝域为≥，即≥0025(1)2(2)当α=0.01时，接受域为，即20.0052（1）包含（2），所以选项D正确二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上1-tanx、)sinkx9. lim(=e，则k=1+tanx【答案】k=-2【解析】I-tanxIn-tan xI+tanxlim(sinkx=limexpe,sinkx1+tanxx-→0-2tanx1-tanx)In(-2tanx-21+tanx=1→ lim I+ tan x = lim=limkkxr0 kx(1+ tan x)x→0sinkxx→0=k=-210.设函数f(x)具有2阶连续导数，若曲线y=f(x)过点(0,0)且与曲线y=2*在点(1,2)处相切，(x)dx=【答案】2ln2-2【解析】
8. 给定总体 2 X N~ ( , ) ， 2 已知，给定样本 1 2 , , , X X X n ，对总体均值 进行检验， 令 0 0 1 0 H H : , : ，则 A. 若显著性水 0.05 时拒绝 H0 ，则 0.01 时也拒绝 H0 B. 若显著性水 0.05 时接受 H0 ，则 0.01 时拒绝 H0 C. 若显著性水 0.05 时拒绝 H0 ，则 0.01 时接受 H0 D. 若显著性水 0.05 时接受 H0 ，则 0.01 时也接受 H0 【答案】D 【解析】当 0.05 时，拒绝域为 2 z z ，即 z z 0.025 1 当 0.01 时，接受域为 2 z z ，即 z z 0.005 2 （1）包含（2），所以选项 D 正确. 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 1 sin 0 1 tan lim 1 tan kx x x e x ( ) ，则 k _. 【答案】 k 2 . 【解析】 1 sin 0 0 0 0 0 1 tan ln( ) 1 tan 1 tan lim limexp , 1 tan sin 1 tan 2 tan ln( ) 1 tan 1 tan 2 tan 2 lim 1 lim lim 1 sin (1 tan ) 2. kx x x x x x x x x e x kx x x x x x kx kx kx x k k ( ) 10.设函数 f x 具有 2 阶连续导数，若曲线 y f x ( ) 过点 (0,0) 且与曲线 2 x y 在点 (1,2) 处相切，则 1 '' 0 xf x dx ( ) _. 【答案】 2ln 2 2 【解析】
f(0)= 0, f(I)=2, f(I)=2* ln 2/ - = 2ln2 x(x)dx= J xdr(x)=x(x)l-J x(x)dx= f"()- xr(x)dx=2ln2-f(I)+f(0)=2ln2-211.设 F(x, y,z)= xyi- yzj + zxk .则 rotF(1,1, 0) =【答案】(1,0,-1)或7-【解析】令P=xy,O=-yz,R=xz(aR_ aP_OR _aP)则rotF(0+y,0-z,0-x)=(y,-z,-x)(aydzozaxoxdy)故rotF(1,1,0)=i-k12.曲线S由x2+y?+22=1与x+y+z=0相交而成，求xyds=【答案】-元3【解析】x+y+2?=11-(x? + y)x=2x+y+z=0s=(+ds=s++)ds=ids=-313.二阶矩阵A有两个不同特征值，α,α,是A的线性无关的特征向量，且满足A(α, +α,)=(α +α,), 则|A|=【答案】-1【解析】 A (α,+α)=A'α,+A'α,=α,+α,=α,+α从而(2-1)α+(-1)α,=0：α,α无关，22-1=0,22-1=0:.4 =1,2=-1,或4 =-1,2 =1, :[4=-114.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=Φ，若
1 1 1 1 1 0 0 0 0 (0) 0, (1) 2, (1) 2 ln 2 2ln 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) 0 2ln 2 (1) (0) 2ln 2 2 x x f f f xf x dx xdf x xf x xf x dx f xf x dx f f 11.设 F x y z xyi yz j zxk ( , , ) .则 rotF(1,1,0) _. 【答案】 (1,0, 1) 或 i k 【解析】令 P xy Q yz R xz , , 则 , , (0 ,0 ,0 ) ( , , ) R Q P R Q P rotF y z x y z x y z z x x y 故 rotF i k (1,1,0) 12.曲线 S 由 2 2 2 x y z 1 与 x y z 0 相交而成，求 xyds _. 【答案】 3 . 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 2 1 1 2 1 [ ( )] ( ) . 2 2 3 6 3 x y z xy x y x y z xyds x y ds ds x y z ds ds 13.二阶矩阵 A 有两个不同特征值， 1 2 , 是 A 的线性无关的特征向量，且满足 2 1 2 1 2 A ( ) ( ) ，则 A _. 【答案】1 【解析】 2 2 2 2 2 A A A 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 + = + = + = + 从而 2 2 1 1 2 2 1 + 1 =0 1 2 , 无关， 2 2 1 2 1 0, 1=0 1 2 1 2 1, 1, 1, 1 或 ， A 1 14. 设 随 机 事 件 A 与 B 相 互 独 立 ， A 与 C 相 互 独立， BC= ， 若
P(A)= P(B)=,P(AC|ABUC)=, 则 P(C)=【答案】！4【解析】P(4C/ABUC)- P(4CO(ABUC)_ P(ABCUAC)_ P(LABC)+P(4C)-P(ABC)P(ABUC)P(ABUC)P(AB)+P(C)- P(ABC):BC=0,从而ABC=①P(ABC)+P(AC)-P(ABC)P(A)P(C)1P(A)P(B)+P(C) 4P(AB)+ P(C)-P(ABC)三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分10分）求不定积分[e2*arctanVe-1dx[答案】 )(e*arctan Ver-1-](e'-1)- Ver-1)+C【解析】arctan er-ide?原式：(e2* arctan er-i-Jedx1+e'-1 2Jer-1oe22arctan Ve*--dx2Ver-1ee2xarctan er-1der2Ver-2* arctan Ve*-1--e*-1)-Ner-1)+Cerede',令Ve-1=t,e'=t+l,则对于242e-de*-[(+I)d=++C=(e-1+/e-1+c
1 1 ( ) ( ) , ( ) 2 4 P A P B P AC AB C ，则 P C( ) _. 【答案】 1 4 【解析】 , 1 4 P AC AB C P ABC AC P ABC P AC P ABC P AC AB C P AB C P AB C P AB P C P ABC BC ABC P ABC P AC P ABC P A P C P AB P C P ABC P A P B P C 从而 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分） 求不定积分 2 arctan 1 x x e e dx 【答案】 3 2 2 1 1 ( tan 1 ( 1) 1) 2 3 x x x x e arc e e e C 【解析】 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 arctan 1 2 1 1 ( arctan 1 ) 2 1 1 2 1 1 ( arctan 1 ) 2 2 1 1 = ( arctan 1 ) 2 2 1 1 1 = ( arctan 1 1 1) 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e de e e e e dx e e e e e dx e e e e de e e e e e C 原式 对于 2 1 x x x e de e ,令 2 1 , 1 x x e t e t ，则 3 2 3 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 1 3 3 x x x x x e de t dt t t C e e C e
(e*-1)2- er-1)+C(e?*arc tan Je*-1 -故原式=16.（本题满分10分）一根绳长2m截成三段，分别折成圆、三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值【答案】【解析】假设圆的半径为x，正方形边长为y，正三角形边长为Z，则有2元x+4y+3z=2,x≥0,y≥0,=≥0令(3-)x+++++(2x+4+-2)4()=++2+2(2元x+4y+32-2)4f=2元×+2元元=0ax=2y+4=0ayz+31=0z22元x+4y+3z-2=01,2,2~3求解上述方程得到，驻点为元+4+3V32V3131最小面积为，Smin元+4+3/3+4+3/3元+4+3/3元+4+3/317.（本题满分10分）x= /1-3y° -3 取正面, J xdyda+( +=)ddz+='ddy14 【答案】745【解析】x=/1-3y2-322，即x2+3y2+32?=1[3y2 +322 ≤1P=x,Q=y3+=,R=23,设Z,，方向指向x轴负半轴，x=0
故原式 3 2 2 1 1 ( tan 1 ( 1) 1) 2 3 x x x x e arc e e e C 16.（本题满分 10 分）一根绳长 2m 截成三段，分别折成圆、三角形与正方形，这三段分别 为多长时所得面积之和最小，并求该最小值. 【答案】 【解析】假设圆的半径为 x，正方形边长为 y，正三角形边长为 z，则有 2 4 3 2, 0, 0, 0 x y z x y z 令 2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 f x y z x y z x y z 2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 2 2 0 2 4 0 3 3 0 2 2 4 3 2 0 f x y z x y z x y z f x x f y y f z z x y z 求解上述方程得到，驻点为 1 1,2,2 3 +4+3 3 最小面积为， 2 2 2 min 1 2 3 2 3 1 = +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 4 S . 17.（本题满分 10 分） 2 2 x y z 1 3 3 取正面，求 3 3 xdydz y z dxdz z dxdy . 【答案】 14 45 . 【解析】 2 2 x y z 1 3 3 ，即 2 2 2 x y z 3 3 1 3 3 P x Q y z R z , , ，设 2 2 1 3 3 1 : 0 y z x ，方向指向 x 轴负半轴
JJxdyd+(+z)dxdz+2dxdy高斯公式[[(ldxdvdQzay42414= J][(1+3y + 32)dxdydz= J] dxdydz+6J] y' dxdydz-元+元=9"45"-4514又: J xdydz+(y° +2)dxdz +2’dxdy=0,所以原式= [[ -[[=元45S+>18.（本题满分10分）微分方程y'+y=f(x）（1）当（x)=x时，求微分方程的通解（2）当f（x)为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数【答案】[解析】(1) y'+y=x=y=e-a(J xe/dx+C)=(x-1)+Ce*(2) (x)=e-*[e'f(x)dx,由于 f(x+T)= f(x), 则(x+T)=e+)Je f(x+T)dx=e"Je*(x)dx.得证。19（本题满分10分）数列(x),x,>0,x,e=e-1,证明(x,)收敛，并求limx,【答案】limx=0【解析】(1)有界性：由x,e=e-1有e=Xn则=lne-!,设f(x)=e'-1-xX: f'(x)=e-1>0(x>0),且f(0)=0:f(x)单调递增,故(x)>0，即e-1>x(x>0)
1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 4 14 (1 3 3 ) 6 9 45 45 P Q R xdydz y z dxdz z dxdy dxdydz x y z y z dxdydz dxdydz y dxdydz 高斯公式 又 1 3 3 xdydz y z dxdz z dxdy ( ) 0 ，所以原式 1 1 14 45 . 18. （本题满分 10 分） 微分方程 y y f x （1）当 f x x 时，求微分方程的通解 （2）当 f x 为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数 【答案】 【解析】（1） ( ) ( 1) . dx dx x y y x y e xe dx C x Ce （2） ( ) ( ) x x y x e e f x dx ,由于 f x T f x ( ) ( ) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) . x T x T x x y x T e e f x T dx e e f x dx 得证。 19. （本题满分 10 分） 数列 1 1 , 0, 1, n n x x n n x x x e e 证明 n x 收敛，并求 lim n n x 【答案】 lim 0. n n x 【解析】 (1) 有界性：由 1 1 n n x x n x e e 有 1 1 1 1 ln n n n x x x n n n e e e x x x 则 1 2 1 1 ln x e x x ,设 1 x f x e x . 1 0 0 x f x e x ,且 f 0 0 f x 单调递增,故 f x 0 ，即 1 0 x e x x
e-1在>0时大于1,故x=ln因此0XiXi同理，用数学归纳法可证之，对Vn,x，>0e-len--单调性：X1-x,=lne-Ine"=In=lnxerX.x设g(x)=er-1-xe',: g(x)=-xer显然当x>0时，g(x)<0,则g(x)单调递减，又：g(0)=0.. g(x)<g(0)=0,..e*-1<xe*xe--X, =In e*-<0,n=1,2.3. ..Xes故(x,)单调递减综上可知(x）单调递减且存在下界，limx存在(2）设limx,=a，由ae°=e°-1，可知α=020.（本题满分11分）设实二次型f(x2)=(=x+）+(+）+(+ax），其中a是参数。（1）求f(x,x2,)=0的解（2）求f(,2,)的规范形【解析】(1) : f(x,x2,x)=0,[x-x+x=01-1 1x+x=0，系数矩阵A=0C000x +ax, = 0a-2a0.21110①当a-2=0，即a=2时，r(A)=2<3,A→000
因此 1 1 1 x e x 在 1 x 0 时大于 1,故 1 2 1 1 ln 0 x e x x , 同理，用数学归纳法可证之， 对 , 0 n n x . 单调性： 1 1 1 1 ln = ln ln ln n n n n n x x x x n n n x n n n e e e x x x e x x x e 设 1 x x g x e xe , x g x xe 显然当 x 0 时， g x 0, 则 g x 单调递减，又 g 0 0 1 0 0, 1 1 x x x x e g x g e xe xe 1 1 ln 0, 1,2,3, n n x n n x n e x x n x e 故 n x 单调递减 综上可知 n x 单调递减且存在下界， lim n n x 存在. （2）设 lim n n x a ，由 1 a a ae e ，可知 a 0 . 20. （本题满分 11 分） 设实二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ax ( , , ) ( ) ( ) ( ) ，其中 a 是参数。 （1）求 1 2 3 f x x x ( , , ) 0 的解 （2）求 1 2 3 f x x x ( , , ) 的规范形 【解析】 （1） 1 2 3 f x x x ( , , ) 0 ， 1 2 3 2 3 1 3 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 2 x x x x x A x ax a a ,系数矩阵 ①当 a 2 0 ，即 a 2 时， 1 0 2 ( ) 2 3, 0 1 1 0 0 0 r A A