高等代数习题集第一章多项式一、内容提要$1.1数域数域定义设F是由一些复数组成的集合，其中包括0和1.如果F中任意两数（这两个数可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，那么F就称为一个数域S1.2一元多项式1．一元多项式定义设n是一非负整数．形式表达式a,x" +a,-xn-I +...+ao.其中αo,a，,a,属于数域F，称为数域F上的一元多项式.2．多项式的运算（1）加法设f(x)=a,x" +an-i-I +...+a =a,x,g(x)=b,x" +bn--x-I +...+b, =bxi=0i=0（如果二者的次数不相等，则可以在次数小的前面加一些系数为零的项），定义f(x)与g(x)的加法为(a, +b,)x"+(an-- +b.-)x"-...+(ao +b)=)(a, +b)xi=0记作f(x)+g(x)，称为f(x)与g(x)的和（2）数乘设f(x)=a,r"+an-xn-l+.+α，ceF.定义数c与多项式f(x)的乘法为ca,x"+caw-+*"-++.+cao.（3）乘法设f(x)=a,x"+a-+"++.+aog(x)=b.x"+b.-*" +..+bo.定义它们的乘法为-1-
高等代数习题集 - 1 - 第一章 多项式 一、内容提要 §1.1 数域 数域定义 设F是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1. 如果F中任意两数（这两个数可以相 同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，那么F就称为一个数域. §1.2 一元多项式 1． 一元多项式定义 设 n 是一非负整数. 形式表达式 1 1 0 n n n n ax a x a − + − + + " , 其中 0 1 , , n aa a " 属于数域F，称为数域F上的一元多项式. 2．多项式的运算 （1）加法 设 1 1 10 10 0 0 () , () n n n n i nn i n n i nn i i i f x a x a x a ax g x b x b x b bx − − − − = = = + ++ = = + ++= " " ∑ ∑ , （如果二者的次数不相等，则可以在次数小的前面加一些系数为零的项）， 定义 f ( ) x 与 g x( ) 的加法为 1 1 1 00 0 ( )( ) ( ) ( ) n nn i nn n n ii i a b x a b x a b a bx − − − = + + + ++= + " ∑ , 记作 f () () x gx + ，称为 f ( ) x 与 g x( ) 的和. （2）数乘 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ − " ，c∈F . 定义数c 与多项式 f ( ) x 的乘法为 1 1 0 n n n n ca x ca x ca − + ++ − " , （3）乘法 设 1 1 0 1 1 0 () , () , n n n n m m m m f x ax a x a gx bx b x b − − − − = + ++ = + ++ " " 定义它们的乘法为
高等代数习题集a,bmx+m+(a,bm-+an--bm)x**m- +.+ Ea,b,x*+...+(ab+aob)x+aobi+i=记作f(x)g(x)，称为f(x)与g(x)的积3. 定理若f(x),g(x)eF[x]，则a(f(x)g(x) = af(x)+og(x),a(f(x)+ g(x)≤max(af(x),og(x)$1.3整除的概念整除定义1.设f(x),g(x)eF[x)，若存在h(x)eF[xl，使得f(x)= g(x)h(x),则称g(x)整除，记作g(x)If(x)2．整除性质设f(x),g(x),h(x)eF[x],0+ceF，则.f(x)If(x);clf(x);2若f(x)/g(x),g(x)|h(x)，则f(x)|h(x);若f(x)/g(x),g(x)/f(x),则f(x)=cg(x)，其中c为非零常数；;若f(x)lg(x)，i=1,2,,r,则f(x)l(u(x)gi(x)+u(x)g2(x)+...+u,(x)g,(x),其中u(x)，i=1,2,",r，是数域F上的任意多项式.3．带余除法对于任意两个多项式f(x),g(x)eF[x)，其中g(x)+0，一定存在F[x]中的多项式q(x),r(x)使得(1.3.1)f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中Or(x)<og(x)或者r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一的。g(x)称为-2-
高等代数习题集 - 2 - 1 1 1 10 01 00 ( ) () nm nm k nm nm n m i j i jk a b x a b a b x ab x ab ab x ab + +− − − + = + + ++ ++ + + " " ∑ 记作 f ()() xgx , 称为 f ( ) x 与 g x( ) 的积. 3．定理 若 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，则 ( ( ) ( )) ( ) ( ), ( ( ) ( )) max( ( ), ( )). f xgx f x gx f x gx f x gx ∂ =∂ +∂ ∂ + ≤ ∂∂ §1.3 整除的概念 1. 整除定义 设 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，若存在 hx x () [] ∈F ，使得 f () ()() x gxhx = , 则称 g x( ) 整除，记作 gx f x ( )| ( ). 2. 整除性质 设 f x gx hx x c ( ), ( ), ( ) [ ],0 ∈ ≠∈ F F ，则 z f ( )| ( ) x fx ； z cfx | () ； z 若 f ( ) | ( ), ( ) | ( ) x gx gx hx ，则 f ( )| ( ) x hx ； z 若 f ( ) | ( ), ( ) | ( ), x gx gx f x 则 f () () x cg x = ，其中c 为非零常数; z 若 ( ) | ( ), 1,2, , , i f x gx i r = " 则 11 2 2 ( ) | ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )), r r f x u xg x u xg x u xg x + + + " 其中 ( ) i u x ，i r =1,2, , " , 是数域F 上的任意多项式. 3．带余除法 对于任意两个多项式 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，其中 g x() 0 ≠ ，一定存在F[ ] x 中的多项式 qx rx ( ), ( ) 使得 f () ()() () x qxgx rx = + （1.3.1） 成立，其中 ∂ <∂ rx gx () () 或者 r x() 0 = ，并且这样的 qx rx ( ), ( ) 是唯一的. q x( ) 称为
高等代数习题集g(x)除f(x)的商式，r(x)称为g(x)除f(x)的余式81.4最大公因式1.最大公因式定义设f(x),g(x)是F[x)中的任意两个多项式，F[x)中的多项式d(x)称为f(x),g(x)的最大公因式，如果它满足下面两个条件：1)d(x)是f(x),g(x)的一个公因式；2）f(x),g(x)的任一公因式是d(x)的因式2.引理如果等式f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，则f(x),g(x)的公因式与g(x),r(x)的公因式相同。3.定理对于F[x]中的任意两个不全为0多项式f(x),g(x)，在F[x]中，它们有最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一个组合，即有F[x)中多项式u(x),v(x)使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) .4.互素定义设f(x),g(x)eF[x]，若(f(x),g(x)=1,则称f(x)与g(x)互素5.定理设f(x),g(x)eF[x],则f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在多项式u(x)和v(x)使得1=u(x)f(x)+v(x)g(x).6.推论(1) 设f(x)Ig(x),f(x)/g(x),且(f(x),f(x)=1,则 f(x)f(x)Ig(x)(2) 若(f(x),g(x))=1,且f(x)Ig(x)h(x),则f(x)|h(x).(3)若(f(x),g(x)=d(x), f(x)= d(x)f(x),g(x)=d(x)g(x),则(f(x),g(x)=1.(4）设(f(x),g(x))=d(x)且h(x)是首项系数为1的多项式，则(f(x)h(x),g(x)h(x)= d(x)h(x).(5) 若(f(x),gi(x)=1,(f(x),g2(x)=1, 则(f(x),g(x)g2(x))=1.-3
高等代数习题集 - 3 - g x( ) 除 f ( ) x 的商式，r x( ) 称为 g x( ) 除 f ( ) x 的余式. §1.4 最大公因式 1．最大公因式定义 设 f ( ), ( ) x gx 是F[ ] x 中的任意两个多项式，F[ ] x 中的多项式 d x( ) 称为 f ( ), ( ) x gx 的 最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1）d x( ) 是 f ( ), ( ) x gx 的一个公因式； 2） f ( ), ( ) x gx 的任一公因式是 d x( ) 的因式. 2．引理 如果等式 f () ()() () x qxgx rx = + 成立，则 f ( ), ( ) x gx 的公因式与 gx rx ( ), ( ) 的公因式 相同. 3． 定理 对于F[ ] x 中的任意两个不全为 0 多项式 f ( ), ( ) x gx ，在F[ ] x 中, 它们有最大公因式 d x( ) ，且 d x( ) 可以表示成 f ( ), ( ) x gx 的一个组合，即有F[ ] x 中多项式ux vx ( ), ( ) 使 dx ux f x vxgx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + . 4． 互素定义 设 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，若( ( ), ( )) 1 f x gx = ，则称 f ( ) x 与 g x( ) 互素. 5． 定理 设 f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ,则 f ( ) x 与 g x( ) 互素的充分必要条件是存在多项式u x( ) 和 v x( ) 使得 1 () () ()() = + ux f x vxgx . 6．推论 （1）设 1 2 f ( ) | ( ), ( ) | ( ) x gx f x gx ，且 1 2 ( ( ), ( )) 1 fx fx = ，则 1 2 f ( ) ( )| ( ) xf x gx . （2）若( ( ), ( )) 1 f x gx = ，且 f ( ) | ( ) ( ), x gxhx 则 f ( )| ( ) x hx . （3）若 1 1 ( ( ), ( )) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) f x gx dx f x dx f x gx dxg x == = ，则 1 1 ( ( ), ( )) 1 fxgx = . （4）设( ( ), ( )) ( ) f x gx dx = 且 h x( ) 是首项系数为 1 的多项式，则 ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ) ( ) f xhx gxhx d xhx = . （5）若 1 2 ( ( ), ( )) 1,( ( ), ( )) 1 fx gx fxg x = = ，则 1 2 ( ( ), ( ) ( )) 1 f x g xg x =
高等代数习题集$1.5因式分解定理1.（不）可约多项式定义设f(x)是数域F上次数大于零的多项式，如果f(x)可以分解成两个次数比它低的数域F上多项式的乘积，则称f(x)为数域F上的可约多项式；否则称为数域F上的不可约多项式.2.定理若P(t)是数域F上的不可约多项式，(x),g(x)eF[x]，且P(x)If(x)g(x)，则或者P(x)If(x), 或者 P(x)Ig(x),3.推论设P(t)是不可约多项式，且P(x)I.(x)(x) .(x),则P(x)必整除其中之一:4.定理设(x)是数域F上次数大于零的多项式，则(x)可分解为F上不可约多项式的乘积；若f(x)=p(x)p2(x).p,(x)=qi(x)q2(x).q,(x)是(x)的两个不可约分解，即P(x),9,()都是F上次数大于零的不可约多项式，则S=1,且经过适当调换因式的顺序后，有p,(x)=c,q,(x),i=1,2,,s其中c是F中的非零数.5.重因式定义不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式，如果p*(x)IJ(x)，而pk+(x)/f(x).当k=0时，p(x)可能不是f(x)的因式：当k=1时，p(x)称为f(x)的单因式；当k≥2时，p(x)称为f(x)的重因式6.定理如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1),那么它是f(x)的k-1重因式7.推论(1)如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1 ），那么p(x)是f(x),f(x),,J(k-"(x)的因式，但不是()(x)的因式-4-
高等代数习题集 - 4 - §1.5 因式分解定理 1．（不）可约多项式定义 设 f ( ) x 是数域F 上次数大于零的多项式，如果 f ( ) x 可以分解成两个次数比它低的数域 F 上多项式的乘积，则称 f ( ) x 为数域F 上的可约多项式; 否则称为数域F 上的不可约多项 式. 2．定理 若 p( ) x 是数域F 上的不可约多项式， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈F ，且 p( )| ( ) ( ) x f xgx ，则或 者 p( )| ( ) x fx ，或者 p( )| ( ) x gx . 3． 推论 设 p( ) x 是不可约多项式，且 1 2 ( )| ( ) ( ) ( ) m p x f xf x f x " ,则 p( ) x 必整除其中之一. 4． 定理 设 f ( ) x 是数域F 上次数大于零的多项式，则 f ( ) x 可分解为F 上不可约多项式的乘积； 若 1 2 12 () () () () () () () s t f x p xp x p x q xq x q x = = " " 是 f ( ) x 的两个不可约分解，即 ( ), ( ) i j p xqx 都是F 上次数大于零的不可约多项式，则 s t = ， 且经过适当调换因式的顺序后，有 ( ) ( ), 1,2, , i ii p x cq x i s = = " , 其中 i c 是F 中的非零数. 5．重因式定义 不可约多项式 p( ) x 称为多项式 f ( ) x 的 k 重因式 ， 如 果 ( )| ( ) k p x fx , 而 1 ( )| ( ) k p x fx + / .当 k = 0 时， p( ) x 可能不是 f ( ) x 的因式；当 k =1时， p( ) x 称为 f ( ) x 的 单因式；当k ≥ 2 时， p( ) x 称为 f ( ) x 的重因式. 6.定理 如果不可约多项式 p( ) x 是 f ( ) x 的 k 重因式（ k ≥1），那么它是 f '( ) x 的 k −1重因式. 7.推论 (1) 如果不可约多项式 p( ) x 是 f ( ) x 的 k 重因式（ k ≥1 ）,那么 p( ) x 是 ( 1) ( ), '( ), , ( ) k f xfx f x " − 的因式，但不是 ( ) ( ) k f x 的因式
高等代数习题集(2)不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)f(x）的公因式.(3）多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f(x))=1.81.6多项式函数1．多项式函数定义设f(x)=a,x"+an-x"- ++ao是Fxl中的多项式，其中记号x表示在F取值的变量α是F中的数，在（1.6.1）中用α替代x所得的数f(α)=a,α"+a.-α"- +...+ao称为f(x)在x=α的值，记作f(α).如果f(x)在x=α时函数值f(α)=0,那么x=α称为f(x)的一个根或零点由上述确定的函数称为数域F上的多项式函数2.（余数定理）用一次多项式x一α去除多项式f（x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α).3.推论x=α是f(x)的根的充分必要条件是(x-α)Lf(x)4.定理F[x]中的n次多项式（n≥O)在数域F中的根不可能多于n个，重根按重数计算5.定理如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数αi,α2,αn+有相同的值，即f(α,)=g(α,), i=1,2,..,n+1,那么f(x)=g(x)s1.7复系数与实系数多项式的因式分解1.代数基本定理-5
高等代数习题集 - 5 - （2） 不可约多项式 p( ) x 是 f ( ) x 的重因式的充分必要条件为 p( ) x 是 f ( ) x f '( ) x 的公因式. （3） 多项式 f ( ) x 没有重因式的充分必要条件是( ( ), '( )) 1 fx f x = . §1.6 多项式函数 1． 多项式函数定义 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ − " 是F[ ] x 中的多项式，其中记号 x 表示在F 取值的变量. α 是F 中的数，在（1.6.1）中用 α 替代 x 所得的数 1 1 0 ( ) n n n n f αα α aa a − = + ++ − " 称为 f ( ) x 在 x =α 的值，记作 f ( ) α .如果 f ( ) x 在 x＝α 时函数值 f () 0 α = ，那么 x＝α 称 为 f ( ) x 的一个根或零点. 由上述确定的函数称为数域F 上的多项式函数. 2．（余数定理） 用一次多项式 x −α 去除多项式 f ( ) x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值 f ( ) α . 3．推论 x＝α 是 f ( ) x 的根的充分必要条件是( )| ( ) x −α f x . 4. 定理 F[ ] x 中的 n 次多项式( 0) n ≥ 在数域F 中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算. 5.定理 如果多项式 f ( ), ( ) x gx 的次数都不超过 n ， 而它们对 n +1个不同的数 12 1 , α α α " n+ 有 相同的值，即 ( ) ( ), 1,2, , 1 i i f α = gi n α = + " , 那么 f () () x gx = . §1.7 复系数与实系数多项式的因式分解 1. 代数基本定理
高等代数习题集每个次数大于或等于1的复系数多项式在复数域中有根，即，每个次数大于或等于1的复系数多项式在复数域上一定有一次因式2．复系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积因此，复系数多项式标准分解式f(x)=a,(x-α)(x-α2)s...(x-α,)其中ααz，",α,是不同的复数，,2",1,是正整数3．实系数多项式因式分解定理每个次数大于或等于1的实系数多项式f(x)在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.因此，实系数多项式f(x)的标准分解式f(x)=a,(x-c)"...(x-c,)"(x+px+q)...(x?+p,x+q,),其中,Pi,r,qi,q,全是实数，l,,l,,是正整数，并且x+p,x+q,(i=1,2,,r)在实数域上是不可约的$1.8有理系数多项式1.本原多项式的定义如果一个非零整系数多项式g(x)=b,x" +b.+" +.+bo的系数b,b-1,",b.没有异于±1的公因子，也就是说，它们是互素的，就称为一个本原多项式.2.高斯引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式，3.定理如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积4.推论设f(x),g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的.如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)-是有理系数多项式，那么h(x)一定是整系数的5.定理设f(x)=a,x"+an-}"-"+.+ao-6-
高等代数习题集 - 6 - 每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域中有根，即，每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域上一定有一次因式. 2． 复系数多项式因式分解定理 每个次数大于或等于 1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此，复系数多项式标准分解式 1 2 1 2 () ( )( ) ( ) s l l l n s fx a x x x =− − − αα α " , 其中 1 2 , α α α " s 是不同的复数， 1 2 , , s ll l " 是正整数. 3． 实系数多项式因式分解定理 每个次数大于或等于 1 的实系数多项式 f ( ) x 在实数域上都可以唯一地分解成一次因式 与二次不可约因式的乘积.因此，实系数多项式 f ( ) x 的标准分解式 1 1 2 2 1 11 () ( ) ( )( ) ( ), s r l kk l n s rr f x a x c x c x px q x px q = − − ++ ++ " " 其 中 11 1 , , , s r r c cp pq q """ 全是实数， 1 1 , , , , s r l lk k " " 是正整数，并且 2 ( 1,2, , ) i i x ++ = px q i r " 在实数域上是不可约的. §1.8 有理系数多项式 1．本原多项式的定义 如果一个非零整系数多项式 1 1 0 ( ) n n n n g x bx b x b − = + ++ − " 的系数 1 0 , , n n bb b − " 没有异于 ±1的公因子, 也就是说, 它们是互素的，就称为一个本原多项 式. 2．高斯引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 3． 定理 如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么 它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. 推论 设 f ( ), ( ) x gx 是整系数多项式，且 g x( ) 是本原的. 如果 f () ()() x gxhx = ，其中 h x( ) 是有理系数多项式，那么 h x( ) 一定是整系数的. ■ 5. 定理 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ −
高等代数习题集是一个整系数多项式，而二是它的一个有理根，其中r,s互素，那么必有slan,rla：特s别地，如果f(x)的首项系数a,=1，那么f(x)的有理根都是整数根，而且是a的因数.6.定理（艾森斯坦因判别法）设f(x)=a,x"+an--"++...+ao是一个整系数多项式．如果有一个素数p使得1. pla.:2. plan-1an-2,ao;3. pao,那么f(x)在有理数域上是不可约的81.9多元多项式1.多元多项式的定义设F是一个数域，x,x2,…,x，是n个文字，符号axx…x称为关于文字x,x2,"",x,的单项式，其中aeF，k,k,",k,是非负整数。如果两个单项式中每一个文字的指数对应都相等，则称它们为同类项。有限个单项式的和，二，“号与中xxh...xk.k2",k,称为，x2，x，的多元多项式2.定理当f(x)0g(x2x）0时，乘积(,x2,)g()的首项等于它们首项的乘积3，推论（1）有限个非零多元多项式的首项等于各多项式首项的乘积（2）非零多元多项式的乘积也不等于零.81.10对称多项式1.对称多项式的定义在n元多项式f(x,x2，",x)中，如果对任意两个i,j(l<i<j≤n)，都有f(x,",x,",x,",x)= f(x,,x,,x,,x),那么这个多项式称为对称多项式-7-
高等代数习题集 - 7 - 是一个整系数多项式，而 r s 是它的一个有理根，其中 r s, 互素，那么必有 0 | ,| n sa ra . 特 别地，如果 f ( ) x 的首项系数 1 n a = , 那么 f ( ) x 的有理根都是整数根，而且是 0 a 的因数. 6.定理（艾森斯坦因判别法） 设 1 1 0 ( ) n n n n f x ax a x a − = + ++ − " 是一个整系数多项式. 如果有一个素数 p 使得 1． | n p / a ; 2． 12 0 | , , n n p aa a − − " ; 3． 2 0 p /| a , 那么 f ( ) x 在有理数域上是不可约的. §1.9 多元多项式 1.多元多项式的定义 设 F 是一个数域， 1 2 , n x x x " 是 n 个文字，符号 1 2 1 2 n n k k k ax x x " 称为关于文字 1 2 , n x x x " 的单项式, 其中 a∈F ， 1 2 , n kk k " 是非负整数. 如果两个单项式中每一个文 字的指数对应都相等，则称它们为同类项. 有限个单项式的和 1 2 12 1 2 1 2 , , , n n n n k k k kk k kk k ∑ a xx x " " " 称为 1 2 , n x x x " 的多元多项式. 2．定理 当 12 12 ( , , ) 0, ( , , ) 0 n n f x x x gx x x " " ≠ ≠ 时，乘积 12 12 ( , , )( , , ) n n f x x x gx x x " " 的首项 等于它们首项的乘积. 3，推论 （1） 有限个非零多元多项式的首项等于各多项式首项的乘积. （2） 非零多元多项式的乘积也不等于零. §1.10 对称多项式 1． 对称多项式的定义 在n 元多项式 1 2 , n （ ） f xx x " 中，如果对任意两个ij i j n , (1 ) ≤ < ≤ ，都有 1 1 , , , , , , , , , , i jn jin （ ）（ ） f x x x x fx x x x """ """ = , 那么这个多项式称为对称多项式
高等代数习题集2.定理对于任意一个n元对称多项式f(x,x，,x），都有一个n元多项式y,y2,,y）使得f(x,x2,..,x)=d(o1,02,..,o.).二、训练题、填空题1一个数域所含元素的个数是2时，才有最大公因式；它们的最大公因当两个多项式满足条件式与它们的公因式之间的关系是3对于任意正整数n存在有理数域上不可约的n次多项式吗，如果存在请举例；如果不存在请说明。X实数域上不可约多项式的次数是：如果多项式有一个非实数的复数根，则它有另外一个与之相伴的根，它们的关系是5.当，多项式f(x）=x-3x2+tx-1有重根？如果(x-1)?Ax*+Bx2+1，则A=,B=6.7.如果整系数多项式有既约分数根一，则有理根的分子和分母与首系数和常数项的关系是s多项式f(x)=2x3-x2+2x-1的有理根是69.设f(x)=3x3+ax2-x+b,g(x)=x2+2x+1，若用g(x)除f(x)的余式为2x+6，则a=,b=10如果x?+ax+1x+2x?+bx+c，则a,b,c满足条件二、选择题1.如果多项式f(x)Ig(x)，则（（A）f(x)是非零多项式；(B）f(x)和g(x)均是非零多项式；(C）f(x)和g(x)均是非零多项式；(D)g(x)的因式均是f(x)的因式。2.如果两个多项式互素，则（）(A）它们的最大公因式是常数；(B）它们的最大公因式是1;(C）它们的最大公因式是非零常数；(D）它们的最大公因式只有±1。下面陈述正确的是（）3.(A）如果r是多项式f(x)的微商f(x)的二重根，则r是f(x)的单根；-8-
高等代数习题集 - 8 - 2． 定理 对于任意一个 n 元对称多项式 1 2 , n （ ） f xx x " , 都有一个 n 元多项式 1 2 , n φ（ ） y y y " 使得 12 1 2 , (, , ) n n （ ） fxx x " " = φ σσ σ . 二、训练题 一、填空题 1. 一个数域所含元素的个数是_。 2. 当两个多项式满足条件_时，才有最大公因式；它们的最大公因 式与它们的公因式之间的关系是_。 3. 对于任意正整数 n 存在有理数域上不可约的 n 次多项式吗，如果存在请举例 _；如果不存在请说明。 4. 实数域上不可约多项式的次数是_；如果多项式有一个非实数的复 数根，则它有另外一个与之相伴的根，它们的关系是_。 5. 当，多项式 3 2 f () 3 1 x x x tx = − +− 有重根？ 6. 如果 24 2 ( 1) | 1 x Ax Bx − ++ ，则 A B = _, _ = 。 7. 如果整系数多项式有既约分数根 r s ，则有理根的分子和分母与首系数和常数项的关系是 _。 8. 多项式 3 2 f () 2 2 1 x xx x = −+ − 的有理根是_。 9. 设 32 2 f () 3 , () 2 1 x x ax x b g x x x = + −+ = + + ，若用 g x( ) 除 f ( ) x 的余式为 2 6 x + ， 则 a b = = _, _ 。 10. 如果 2 32 x ++ + ++ ax x x bx c 1| 2 ，则 abc , , 满足条件_。 二、选择题 1. 如果多项式 f ( )| ( ) x gx ，则（ ） （A） f ( ) x 是非零多项式； （B） f ( ) x 和 g x( ) 均是非零多项式； （C） f ( ) x 和 g x( ) 均是非零多项式； (D) g x( ) 的因式均是 f ( ) x 的因式。 2. 如果两个多项式互素，则（ ） (A) 它们的最大公因式是常数； (B) 它们的最大公因式是 1； (C) 它们的最大公因式是非零常数； (D) 它们的最大公因式只有 ±1。 3. 下面陈述正确的是（ ） (A) 如果 r 是多项式 f ( ) x 的微商 f '( ) x 的二重根，则 r 是 f ( ) x 的单根；
高等代数习题集(B）如果r是多项式f(x)和微商f(x)的根，则r是f(x)的重根：(C）r是f(x)的根的充分必要条件是x-r是f(x)的一次因式；(D)多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f(x)的互素。对于一个数域F上的n次多项式f(x)(n≥1)，下面结论不成立的是（）。4.(B)f(x)在F[x]中一定有一次因式;(A）在复数域中一定有根；(C）它的根的个数不超过n；(D)f(x)在复数域上一定有一次因式。5、设f(x)是一个多项式，f(x)是它的微商，x=a是f(x)的根，则（）(A）x=a是f(x)的重根；(B）x=a不一定是f(x)的根；(C）x=a不是f(x)的根；(D）x-a是f(x)的重因式。6．设f(x),g(x)是有理系数多项式，则下面陈述正确的是（）（A）如果它们在有理数域上互素，则它们在实数域上也互素：(B）如果它们在实数域上互素，则它们在有理数域上也互素；(C）如果在有理数域上f(x)Ig(x)，则在实数域上也有f(x)Ig(x);(D)如果在实数域上f(x)Ig(x)，则在有理数域上也有f(x)Ig(x)。7.设F是数域，f(x),g(x)eF[x)并且f(x)±0，则在下面的命题中（）不是f(x)1g(x)的充分必要条件。(A）对任意的正整数k，f*(x)Ig*(x)；(B）用f(x)除g(x)，余式为零：(C)f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式：(D)f(x)的不可约因式一定是g(x)的因式。8．本原多项式对下面运算（）不是封闭的。(A）多项式的乘法；(B)多项式加法；(C)取整系数因式；(D)取负多项式。9.设f(x）是整系数多项式，则下面命题正确的是（）。(A）f(x)有有理根的充分必要条件是f(x)在有理数域上可约-9-
高等代数习题集 - 9 - (B) 如果r 是多项式 f ( ) x 和微商 f '( ) x 的根，则 r 是 f ( ) x 的重根； (C) r 是 f ( ) x 的根的充分必要条件是 x − r 是 f ( ) x 的一次因式； (D) 多项式 f ( ) x 没有重因式的充分必要条件是 f ( ) x 与 f '( ) x 的互素。 4. 对于一个数域 F 上的n 次多项式 fxn ( )( 1) ≥ ，下面结论不成立的是（ ）。 (A) 在复数域中一定有根； (B) f ( ) x 在 F[ ] x 中一定有一次因式； (C) 它的根的个数不超过 n ； (D) f ( ) x 在复数域上一定有一次因式。 5. 设 f ( ) x 是一个多项式， f '( ) x 是它的微商， x = a 是 f ( ) x 的根，则（ ） (A) x = a 是 f ( ) x 的重根； (B) x = a 不一定是 f ( ) x 的根； (C) x = a 不是 f ( ) x 的根； (D) x − a 是 f ( ) x 的重因式。 6. 设 f ( ), ( ) x gx 是有理系数多项式，则下面陈述正确的是（ ） (A) 如果它们在有理数域上互素，则它们在实数域上也互素； (B) 如果它们在实数域上互素，则它们在有理数域上也互素； (C) 如果在有理数域上 f ( )| ( ) x gx ，则在实数域上也有 f ( )| ( ) x gx ； (D) 如果在实数域上 f ( )| ( ) x gx ，则在有理数域上也有 f ( )| ( ) x gx 。 7. 设 F 是数域， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈ F 并且 f x() 0 ≠ ，则在下面的命题中（ ）不是 f ( )| ( ) x gx 的充分必要条件。 (A) 对任意的正整数 k ， ( )| ( ) k k f xgx ； (B) 用 f ( ) x 除 g x( ) ，余式为零； (C) f ( ) x 是 f ( ) x 与 g x( ) 的一个最大公因式； (D) f ( ) x 的不可约因式一定是 g x( ) 的因式。 8. 本原多项式对下面运算（ ）不是封闭的。 (A) 多项式的乘法； (B) 多项式加法； (C) 取整系数因式； (D) 取负多项 式。 9. 设 f ( ) x 是整系数多项式，则下面命题正确的是（ ）。 (A) f ( ) x 有有理根的充分必要条件是 f ( ) x 在有理数域上可约；
高等代数习题集(B）若既约分数号是f(x)的根，则q整除f(x)的常数项；(C）若p是素数且能整除f(x)的除首项外的所有项系数，则f(x)在有理数上不可约：(D）若f(x)有重因式，则它在有理数上必有重根，10若(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1，则下列多项式不一定互素的是（)。(A) f(x),f(x)+g(x)(B) f(x),h(x)+g(x)(C) f(x),h(x)g(x)(D) f(x)g(x),f(x)+g(x)三、计算题1.设多项式f(x)=x +2x -5x-6， g(x)=x +x-2。求(f(x),g(x)),并且求u(x),v(x)使得(f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。2．求以√2+i为根的最小有理系数多项式。求多项式+x-x+2x2-x-2的有理根，并写出它在有理数域上的标准分解式。3.4.用初等对称多项式表示对称多项式(+)+)x+x)。四、证明题1.证明：如果d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式当且仅当d(x)/f(x),d(x)Ig(x)。2.证明：如果(f(x),g(x))=p(x)是一个不可约多项式，那么存在正整数k使得(f(x)g(x), f(x)+g(x)= p*(x) 。3.设f(x),g(x)是实数域上的多项式且(x)和g(x)在复数域上无公共根。证明：(f(x),g(x)=1 。4.设F是数域，f(x),g(x)eF[x)。证明：如果g(x)If(x)，则g(x)If(x)。5.设F,F是数域，且FF，f(x),g(x)F[x]。证明：(1)如果在F[x]中有g(x)f(x)，则在F[x]中也有g(x)If(x)。(2)f(x)和g(x)在F[x]中互素当且仅当f(x)和g(x)在F[x]中互素。- 10 -
高等代数习题集 - 10 - (B) 若既约分数 p q 是 f ( ) x 的根，则 q 整除 f ( ) x 的常数项； (C) 若 p 是素数且能整除 f ( ) x 的除首项外的所有项系数，则 f ( ) x 在有理数上不可约； (D) 若 f ( ) x 有重因式，则它在有理数上必有重根。 10. 若( ( ), ( )) 1,( ( ), ( )) 1 f x gx f x hx = = ，则下列多项式不一定互素的是（ ）。 (A) f ( ), ( ) ( ) x f x gx + (B) f ( ), ( ) ( ) x hx gx + (C) f ( ), ( ) ( ) x hxgx (D) f ( ) ( ), ( ) ( ) xgx f x gx + 三、计算题 1. 设多项式 ( ) 2 5 6 3 2 f x = x + x − x − ， ( ) 2 2 g x = x + x − 。 求( f (x), g(x)),并且 求ux vx ( ), ( ) 使得( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) f x gx ux f x vxgx = + 。 2. 求以 2 + i 为根的最小有理系数多项式。 3. 求多项式 543 2 x + − + −− xx xx 2 2的有理根，并写出它在有理数域上的标准分解式。 4. 用初等对称多项式表示对称多项式 1 22 33 1 ( )( )( ) x + xx xx x + + 。 四、证明题 1. 证明：如果d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) ，则d(x)是 f (x)与 g(x)的最大公因 式当且仅当d(x) | f (x),d(x) | g(x)。 2. 证明：如果 ( ( ), ( )) ( ) f x gx px = 是一个不可约多项式，那么存在正整数 k 使得 ( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ) k f xgx f x gx p x + = 。 3. 设 f ( ), ( ) x gx 是实数域上的多项式且 f ( ) x 和 g x( ) 在复数域上无公共根。证明： ( ( ), ( )) 1 f x gx = 。 4. 设 F 是数域， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈ F 。证明：如果 3 3 gx f x ( )| ( ) ，则 gx f x ( )| ( )。 5. 设 1 F,F 是数域，且 F ⊆ F1， f ( ), ( ) [ ] x gx x ∈ F 。证明： （1） 如果在 1 F [ ] x 中有 gx f x ( )| ( )，则在 F[ ] x 中也有 gx f x ( )| ( )。 （2） f ( ) x 和 g x( ) 在 F[ ] x 中互素当且仅当 f ( ) x 和 g x( ) 在 1 F [ ] x 中互素