《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 数理统计的基本概念 第一节 基本概念

第六章数理统计的基本念福基本概念抽样分布未知分布的估计

第六章 数理统计的基本概念 一、基本概念 二、抽样分布 三、未知分布的估计

■引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。?

2 引言： 数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和 推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机 试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从 理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结 果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的 观察永远是有限的，甚至是少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品， 如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验， 不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作 为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息， 这是数理统计学研究的问题之一

第一节基本概念一、总体、个体与样本总体：研究对象的全体。如一批灯泡。个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合（X，X2，，X），n为样本容量简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本（X1X2，X）称为简单随机样本。1.每个X，与X同分布2.X,X2，X是相互独立的随机变量［说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X具有概率密度f（x），则样本（X，X2X）具有联合密度函数：f.(,x2,x)-I1f(x)3=l

3 一、总体、个体与样本 总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,.,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,.,Xn)称 为简单随机样本。 1. 每个Xi与X同分布 2. X1,X2,.,Xn是相互独立的随机变量 [说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)， 则样本（X1,X2,.,Xn）具有联合密度函数：  1 2    1 , , n n n i i f x x x f x   第一节 基本概念

二、 统计量：统计量：样本的不含任何未知参数的函数常用统计量：设（X，Xz，，X）为取自总体X的样本1. 样本均值 X=1X（二）设X,X,X,是总体X的样本，若2: 样本方差 S°=(X,-X),S为样本标准差E(X)= μ, D(X)=α2,则E(X)=μk阶矩：4=x(k=1,2.…)3.样本矩D(X) =0? /n, E(S2)=α?k阶中心矩: B =↓Z(X,-X)°(k=1,2.)思考题：（一）设在总体N（u）中抽取样本（X,XX）,其中u知，未知指出在 (1) X, +X, +X, (2) X, +2μ (3) max(Xj,X2,X,)(4）X（5）X,-X|中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么4答：只有（4）不是统计量

4 二、统计量 统计量：样本的不含任何未知参数的函数。 常用统计量：设（X1,X2,.,Xn）为取自总体X的样本                 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 , , , , 1 X 2 X 2 3 max , , 1 4 5 i i N X X X X X X X X X X X             思考题：(一)设在总体 中抽取样本 其中 已知， 未知 指出在 中哪些是统计量，哪些不是统计量， 为什么？ 1 1 1. X n i i X n  样本均值       1 1 1 3. 1,2, 1 ( ) 1,2, n k k i i n k k i i k A X k n k B X X k n          样本矩 阶矩： 阶中心矩： 2 2 1 1 2. ( ) , 1 n i i S X X S n    样本方差   为样本标准差 2 2 2 , ,., ( ) , ( ) ( ) _, ( ) _, ( ) _. X Xn X E X D X E X D X E S        （二）设 1 X 是 总体 的样本，若 ， 则 答：只有(4)不是统计量。  2  n 2 

三、随机变量独立性的两个定理定理6.l：设X,X2，"X,是相互独立的n个随机变量，又设y=g (x,,x),(x,",x)eR",i=1,2,是k个连续函数,且有n+n,+...+nk=n，则k个随机变量：Y, =gi(X,*-, X.),Y, = g2(Xn.+,*., X.),..,Yr = gk(X..+,**, X,是相互独立的。定理6.2:设t个随机变量(Xn,Xm)(Xi,,X,）是相互独立的,又设对每一个i=1,2,,t,n个随机变量X,,,X,是相互独立的，则随机变量Xu,XnlXir",X,是相互独立的。5

5 三、随机变量独立性的两个定理           1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 6. , , , , , , , , , , , 1,2, , , , , , , , 1 , i i i k n n i n n k Y g X X Y g X X n n n k k n n n X X n y g x x x x R i k k n n n g X n k Y X                设X 是相互独立的 个随机变量， 定 又设 是 个连续函数， 且有 则 个随机变量： 是相互 理 ： 独立的。     1 1 11 1 1 11 1 1 1 , , , , 1,2, , , , , , , , 6 , 2 , . t i t n t n t n n t i n i t i t X X X X i t n X X X X  设 个随机变量 是相互独立的， 又设对每一个 个随机变量X 是相互独立的， 定理 ： 则随机变量X 是相互独立的

四、抽样方法1.简单随机抽样简单随机抽样是指从含有N个单位的总体中，随机抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为n的样本都有相同的机会（概率）被抽中，这样的抽样方式也称纯随机抽样。简单随机抽样是是最基本的抽样方法。即重复简单随机抽样有两种抽取调查单位的具体方法，抽样和不重复抽样

四、抽样方法 1.简单随机抽样

（1）抽签法。当给总体单位编号后，把号码写在结构无效的签上，将签混合均匀后即可以从中抽取。采用这种方法简便易行，然而对较大的总体来说，编号作签工作量很大，而且混匀有困难，所以，这种方法的应用具有一定局限性

（2）随机数字法。随机数字可以借助于计算机获得，也可应用随机数表，其中随机数表方法应用较为普遍。表中数字是按照完全随机的方法排列的。如表7-1是多种随机数表中的一种

7443968365760866247336712362741a广424707411266887025665L11274666565928556706673122999921255随机数字表(部分)666356352844579358224204416279434495558208315837614633355759611.61557969W8376583201268724941830296605442964774

2.分层抽样分层抽样，也称分类抽样，是指在抽样之前先将总体划分为若干层（类），然后从各个层中抽取一定数量的单位组成样本的抽样方式称为分层抽样

2.分层抽样