《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第三节 条件分布

第三节条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布小结

第三节 条件分布 离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 小结

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念。在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率P(AB)P(A| B) =P(B)推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布这个分布就是条件分布

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B  在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值 的条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布

一、离散型随机变量的条件分布实际念在另一种类似定义在X=x;条件下形式下的随机变量Y的条件分布律定义1设（X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若 P[Y=y;}>0，则称P(x-,Y=y)_ u , i-1,..P(X= x;/Y= y;}=P[Y=y))p.j为在Y=y条件下随机变量X的条件分布律作为条件的那个r.V认为取值是给定的在此条件下求另一r.v的概率分布

一、离散型随机变量的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种 形式下的重复. 定义1 设 ( X,Y ) 是二维离散型随机变量，对 于固定的 j，若 P{Y = yj } > 0，则称 为在 Y = yj条件下随机变量X的条件分布律. P{X= xi |Y= yj }= j i j p p   ，i=1,2, . 类似定义在 X= xi 条件下 随机变量Y 的条件分布律.     , i j j P X x Y y P Y y    作为条件的那个r.v,认为取值是给定的， 在此条件下求另一r.v的概率分布

12n-1 nmn次射击击中击中每次击中目标的概率为pP[X=m,Y=n)=?由射击的独立性知，不论m(m<n)是多少，PX-m,Y=n)都应等于P(X = m,Y= n)= p"(1- p)"-2由此得X和Y的联合分布律为P[X = m,Y= n)= p"(1-p)"(n=2,3, ...; m-1,2, ..., n-1)

( n=2,3, .; m=1,2, ., n-1) 由此得X和Y的联合分布律为 由射击的独立性知，不论m(m<n)是多少，P{X=m,Y=n}都应等于 n次射击 击中 1 2 . m n-1 n 击中 每次击中目标的概率为 p P{X=m,Y=n}=？     2 2 , 1 n P X m Y n p p          2 2 , 1 n P X m Y n p p     

为求条件分布，先求边缘分布X的边缘分布律是：P[X=m)= E P[X =m,Y=n)n=m+1882p2(1- p)"-2= Z(1- p)"-2pn=m+1n=m+1m+1-2(1-p)1-(1-p) =p(I-p)"-1p二(m-1,2, ... )

为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘分布律是： ( m=1,2, . )        1 2 2 (1 ) n m n p p        1 2 2 (1 ) n m n p p 1 (1 ) (1 ) 1 2 2 p p p m       1 (1 )    m p p     1 , n m P X m P X m Y n        

于是可求得：当n=2,3，….时，联合分布P[X = m|Y = n)P(X= m,Y = n)边缘分布P(Y = n)p"(1- p)"-2(n -1)p (1-p)"-2m=-1,2, ...,n-1n-1

于是可求得： 2 2 2 2 ( 1) (1 ) (1 )       n n n p p p p , 1 1   n 当n=2,3, .时， m=1,2, .,n-1 { } { , } P Y n P X m Y n     联合分布 边缘分布 P X m Y n    

当m=1,2，….时，P(Y = nX = m)P(X = m,Y = n)P(X =m)p(1- p)"-2p(1-p)m-1= p(1- p)"-m-1n=m+1,m+2,

n=m+1,m+2, . 当m=1,2, .时， { } { , } P X m P X m Y n     1 2 2 (1 ) (1 )      m n p p p p (1 ) ,  1   n m p p P{Y  n | X  m}

设X和Y的联合概率密度为f(x,J),(X,Y)关于 Y的边缘概率密度为fr(y),若对于固定f(x,y)的y,f(y)>0, 则称为在Y=y的条件下fr(y)X的条件概率密度.记为f(x,y)fxir(xI y)fr(y)类似地，可以定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为rx(y/ x)= f(x,y)fx(x)

( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y  设 X 和 Y 的联合概率密度为 f x y  , ,  X Y,  关于 Y 的边缘概率密度为 f y Y   , 则称   为在 的条件下   , Y f x y f y Y y  X 的条件概率密度. 记为 若对于固定   0, Y 的 y , f y  ( ) ( , ) ( | ) | f x f x y f y x X Y X  类似地,可以定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为

例3：设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为1，x2+y2≤1f(x,y)=元0,其它求frx(y/x)解X的边缘密度为x2/1-x2, 1x1

例 3：设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密 度为        0, 其它 , 1 1 ( , ) 2 2 x y f x y  ( | ) | f y x 求 Y X             0, | | 1 1 , | | 1 2 ( ) ( , ) 2 x x x f x f x y dy X  解 X的边缘密度为 x o y

X作为已知变量即当x<1 时,有11-x2 ≤y≤/1-x?fix(y/x)=32/1-x20,y取其它值X已知的条件下Y的条件密度这里是y的取值范围

( | ) | f y x Y X             y 取其它值 x y x x 0, , 1 1 2 1 1 2 2 2 即 当 |x|<1 时,有 X作为已知变量 这里是y的取值范围 X已知的条件下 Y 的条件密度