《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第四节 随机变量的独立性

第四节随机变量的独立性二维随机变量相互独立的定义例题选讲正态随机变量的独立性n维随机变量的相互独立的一些结论小结

二维随机变量相互独立的定义 例题选讲 正态随机变量的独立性 n维随机变量的相互独立的一些结论 小结 第四节 随机变量的独立性

复习：两个事件A与B独立性的定义P(AB)-P(A)P(B)一、二维随机变量独立性的定义定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的x,有:P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)则称X与Y相互独立

复习: 两个事件A与B独立性的定义 P(AB)=P(A)P(B) 一、二维随机变量独立性的定义 定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的 则 称 与 相互独立。 有 X Y P X x Y y P X x P Y y x y ( , ) ( ) ( ) , :     

二、随机变量独立性的重要结论(1)由定义可知：若X与Y独立，则F(x, y) = Fx(x)F(y)Vx,yER(2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：p(xi,y,)=px(x;)Py(y,)(x;,y,)为任意可能值点(3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为：f(x,y)= fx(x)f(y) Vx,yeR

(1)由定义可知：若X与Y独立,则 p(xi , yj )  pX (xi ) pY ( yj ) (xi , yj )为任意可能值点 (2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: F(x, y)  FX (x)FY ( y) x, y R (3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为: f (x, y) f (x) f ( y)  X Y 二、随机变量独立性的重要结论 x, y R

例1：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：[xe-(x+y), x >0, j>0f(x,y) =0，其他问X与Y是否独立。解: fx(x) = ( f(x, y)dy+8xe-(x+y)dy, x > 0+8xe-'dy= xe-*,x > 0=xeJO

例1: 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为: 问 与 是否独立。 其 他 X Y xe x y f x y x y         0, , 0, 0 ( , ) ( ) 解： , 0 0 ( )        xe dy x x y , 0 0          xe e dy xe x x y x f x f x y dy X     ( )  ( , )

fr(y) = f+ f(x, y)dx+8(x+y)dx, y>0xeJo+82xe-xdx， y>0eJo+8xd(e-*)eJo+8+8e-xdx]=-e-"[xe0T+8e-xdx=e-',y>0e三00

f Y y f x y dx     ( )  ( , ) , 0 0 ( )        xe dx y x y , 0 0        e xe dx y y x ( ) 0 y x e xd e        ] 0 [ 0 e xe e dx y x x           , 0 0          e e dx e y y x y

.x>0xe: fx(x) =其他0,e-y.y>0fr(y)=其他[0,: f(x,y)= fx(x)fy(y)·X与Y相互独立

       0, 其 他 , 0 ( ) xe x f x x X       0, 其 他 , 0 ( ) e y f y y Y f (x, y) f (x) f ( y)   X Y  X与Y相互独立

例2 盒内有n个白球,m个黑球,有放回地摸球两次．设第1次摸到白球X =0第1次摸到黑球1第2次摸到白球Y0第2次摸到黑球试求（1）（X,Y)的联联合分布律和边缘律(2)判断(X,Y)的相互独立性(3）若改为无放回摸球,解上述两个问题

例2 盒内有 个白球 , 个黑球,有放回地摸球 两次. 设 第1次摸到白球 第1次摸到黑球 第2次摸到白球 第2次摸到黑球 试求 (3) 若改为无放回摸球,解上述两个问题. n m     0 1 X     0 1 Y (1) (X,Y)的联 联合分布律和边 缘布 律 (2) 判断(X,Y)的相互独立性

解（1）（X,Y)的联联合分布律和边缘律如下表所示：Y0Pi.1Xm2 /(m+n)mn/(m+n)"0m/m+nmn/(m+ n)n /(m+n)n/m+n1n/m+np.jm/m+n(2)由上表可知Pj= Pi.P.j (i,j=0,1)故(XY)相互独立

Y X 0 1     2 2 2 mn m n n m n   j p i p      2 2 2 0 m m n mn m n   1 m m n n m n   n m n  m m n  解 如下表所示 : (2) 由上表可知 ij i j p p p     i j , 0,1   (1) (X,Y)的联 联合分布律和边 缘布 律 故(X,Y)相互独立

(3)（X,Y)的联联合分布律和边缘緣律表所示:Y01Pi.Xm(m-1)mnm0(m+n)(m+n-1)(m+n)(m+n-1)m+nn(n-1)mnn(m+n)(m+n-1)(m+n)(m+n-1)m+nnmP.jm+nm+n

表所示 : Y X 0 1 j p i p  0 1 n m n  m m n       1 1 m m m n m n     m m n  n m n    1 mn m n m n      1 mn m n m n         1 1 n n m n m n     (3) (X,Y)的联 联合分布律和边 缘布 律

由上表知:m(m-1)P(X = 0,Y = 0)=(m+n)(m+n-1)mmP(X =0)=,P(Y=0)=m+nm+n可见P(X = 0,Y = 0) ± P(X = 0)· P(Y = 0)故X，Y不相互独立

由上表知 :      1 ( 0, 0) , 1 m m P X Y m n m n         0 ,  m P X m n     0 .  m P Y m n    可见 P X Y P X P Y ( 0, 0) 0 0 .           故X，Y不相互独立