《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 第四节 估计量的评价标准

数理统计第三节估计量的评价标准引言前面，我们介绍了两种参数点估计的方法一般讲，用不同的方法所建立的估计量是不同的，那么在实际问题中应如何选择估计量呢？这就涉及到衡量一个估计量优劣的标准是什么。实际上，人们建立估计量时并不是盲目的而是总有这样或那样、明确或不明确的标准，如前面介绍的矩法估计量和极大似然估计量，其得来都有一定的依据然而在不同的依据下要比较两个估计量的优劣是不科学的因此我们门须一些可比较的标准。下面介绍三个最基本的标准：无偏性，有效性，相合性，它们都是从估计量与未知参数在某种意义下的接近程度来考虑的

数理统计 引言 第三节 估计量的评价标准 前面，我们介绍了两种参数点估计的方法.一般讲，用 不同的方法所建立的估计量是不同的，那么在实际问题中 应如何选择估计量呢？这就涉及到衡量一个估计量优劣的 标准是什么。实际上，人们建立估计量时并不是盲目的， 而是总有这样或那样、明确或不明确的标准，如前面介绍 的矩法估计量和极大似然估计量，其得来都有一定的依据， 然而在不同的依据下要比较两个估计量的优劣是不科学的， 因此我们须一些可比较的标准。下面介绍三个最基本的标 准：无偏性，有效性，相合性，它们都是从估计量与未知 参数在某种意义下的接近程度来考虑的

数理统计一、无偏性定义：若参数的估计量=0(X,X2,,X,),满足E()=0,则称θ是的一个无偏估计量。若E(0)±0,那么E(0)-0称为估计量的偏差若limE()=θ,则称θ是的渐近无偏估计量n->8例1：设总体X的一阶和二阶矩存在，分布是任意的记E(X)=μ,D(X)=α2,证明：样本均值X和样本方差S2分别是u和。?的无偏估计

数理统计 2       ˆ ˆ , ˆ , n E li E m E             若 那么  若 则 称为估计量 的偏差 称 是 的渐近无偏估计量     1 2 ˆ , , , , ˆ ˆ , X X X n E          满足 则称 若参数 是 的一 的估 个无 定义： 计量 偏估计量。 一、无偏性     2 2 2 , , X E X D X X S       例1：设总体 的一阶和二阶矩存在，分布是任意的， 记 证明：样本均值 和样本方差 分别是 和 的无 偏估计

数理统计证：因X,X,,…,X,与X同分布，故有：E(X)=E(x)=E(X) =nμ=μ故X是u的无偏估计S2=-Z(X,-X)n一E(S-)=E((X,-X)) =[2[(x,-m)-(X-m)])((x,-m)-(x-)-含D(X)-nD(g)n-l(no2-α)=g2故是的无偏估计

数理统计 3 1 2 , , , 证：因 与 同分布，故有： X X X X n 故 是 的无偏估计 X    1 1 n i i E X E X n          2 2 1 1 ( ) 1 n i i S X X n        2 2 1 1 ( ) 1 n i i E S E X X n              2 2 1 1 ( ) 1 n i i E X n X n                  1 2 2 2 1 n n        2 2 故 是 的无偏估计 S    1 1 n i i E X n    1 n n        2 1 1 ( ) 1 n i i E X X n                        1 1 1 n i i D X nD X n           

数理统计例2：设总体X服从U[0,0]，>0未知，样本值为(X,X2…,X,），检验的矩估计量=2X与极大似然估计量é,=X)=max(X,X2,X,}的无偏性。，由于X，X与X同分布解: X~U[0,0], E(X)=号,. E(0)=E(2X) =2ZE(X) =2.n.号=2n因此=2x是的无偏估计为考察é,=X的无偏性，先求X的分布，由第三章第5节知：nx"-10<≤x≤00nFx (x)=[F(x)}，于是 fxm (x)=其它0x.nxn-因此有： E(e)=E(X(o)） =[°ndx/0+0nn+1所以é,=X是有偏的

数理统计 4     1 2 1 2 0, 0 ( , , , ˆ 2 =max{ , , , n L n n X X X X X X X X X         例2：设总体 服从U ， 未知，样本值为 )，检验 的 矩估计量 与极大似然估计量 }的无偏性。 0, , ,     2 X U E X  解：    1 , , 由于 与 同分布 X X X n     ˆ   E E X  2   1 2 n i i E X n    2 2 n n      ˆ 因此 是 的无偏估计    2X     ˆ L X X n n 为考察 的无偏性，先求 的分布，   由第三章第 节知： 5       , n n F x F x X          1 0 0 n n n X nx x f x            于是 其它 1 0 n n x nx dx             ˆ E E X L n 因此有：   1 n n        ˆ L X n 所以 是有偏的。  

数理统计纠偏方法如果E(0)=a0+b,0e0,其中a,b是常数，且a+0则(0b)是的无偏估计。在上述例2中，取X*=h十1X，则X*是的无偏估计7无偏性是对估计量的一个最常见的重要要求，是“好”估计的标准之一。无偏性的统计意义是指在大量重复试验下，由θ(X,,X)所作的估计值的平均恰是，从而无偏性保证了没有系统误差。换言之，对于一次确定的试验，的估计值θ不一定正好就是正真的θ，而且不同的试验所得到的估计值0也不尽相同，有的估计值可能大于，有的估计值可能小于，因此我们不能根据一次确定的试验结果来判断估计量的好坏而是希望在多次重复试验中，用作为的估计没有系统误差。即用作为的估计，其平均偏差为0，用式子表示即E(0-)=0或E(①)=0

数理统计 5  纠偏方法            1  ˆ 1 ˆ , , , 0 1 2 , ˆ , , ˆ n n n n E a b a b a b a n X X X n X X                    如果 其中 是常数，且 则 是 的无偏估计。 在上述例 中，取 则 是 的无偏估计 无偏性是对估计量的一个最常见的重要要求，是“好”估计的标 准之一。 无偏性的 ，由 所作的 估计值的平均恰是 ，从而无偏性保证了 没有系统误差。换言之，对 于一 统计意义是指在大量重复试验下 次确定的试验， 的估计值 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E E - ) 0 ( )= .               不一定正好就是正真的 ，而且不同的 试验所得到的估计值 也不尽相同，有的估计值可能大于 ，有的估计值 可能小于 ，因此我们不能根据一次确定的试验结果来判断估计量的好坏， 而是希望在多次重复试验中，用 作为 的估计没有系统误差。即用 作为 的估计，其平均偏差为0，用式子表示即 ( 或

数理统计有效性上面我们提出了无偏性这一标准，但是一个未知参数的无偏估计量有时不只一个，如（略），那么在这些无偏估计量中又怎样来比较他们的好坏呢？如果D(αl)< D(e2)定义：设01,02是的两个无偏估计，对一切0①成立，则称0比02有效。例3：设总体X～U[0,θ]，X,,,X,是取自X的样本，已知的两个无偏估计为e, =2X,,=n+1x(n)(n≥2)[见例2]，判别与0,哪个有效？

数理统计 6 二、 有效性 1 2 1 2     1 2      , , D D       设 是 的两个无偏估计， 如果 对一切 成立,则称 比 定义： 有效。 上面我们提出了无偏性这一标准，但是一个未知参数的 无偏估计量有时不只一个，如（略），那么在这些无偏估计 量中又怎样来比较他们的好坏呢？       1 1 2 1 2 3 0, , , , 1 2 , , 2 2 X U X X X n n X X n n n               例 ：设总体 是取自 的样本，已知 的两 个无偏估计为 见例 ，判别 与 哪 个有效？

数理统计02解: D(e)=D(2X)=4.%n 123nnr"n-!0n(n+2)=D(e) = 0,比0更有效

数理统计 7     2 2 1 4 2 12 3 D D X n n   解：          1 0 0 n n n X nx x f x            由 其它               2 2 2 2 2 1 n n n D E X E X n         于是       2 2 1 2 2 1 3 2 D D n n n            因为 比 更有效     1 2 2 0 2 n n n nx n E X dx n            2 n n 2   

数理统计三、相合性或一致性无偏性、有效性都是样本容量n确定的情况下讨论的。一个估计量即使是无偏的且方差亦较小，也不一定能满足人们的要求，因为人们总希望当样本容量n无限增大时估计量能在某中意义下充分接近于被估计的参数。如果这种愿望能满足，即使是有偏估计量，在n较大时，人们也乐意接受，因此，人们就提出了衡量估计量好坏的第三个标准一一一致性定义：设(X，,X,)为参数的估计量，若对于任意θe①，当n→+o时,0,依概率收敛于，即>0，有：lim Pn-≥=0n>+o成立，则称0，为的相合估计量或一致估计量

数理统计 8 三、相合性或一致性     1 , , 0, 0 n n n n n X X n lim P                      设 为参数 的估计量，若对于任意 ，当 时， 依概率收敛于 ， 则称 为 的相 定义 合估计量或 即 有： 成立， ： 一致估计量. 无偏性、有效性都是样本容量n确定的情况下讨论的。一 个估计量即使是无偏的且方差亦较小，也不一定能满足人们的 要求，因为人们总希望当样本容量n无限增大时估计量能在某 中意义下充分接近于被估计的参数。如果这种愿望能满足，即 使是有偏估计量，在n较大时，人们也乐意接受，因此，人们 就提出了衡量估计量好坏的第三个标准——一致性

数理统计例4：设总体X～U[0,0]，Xi,,X,是取自X的样本,证明：i=2X和02=n+1x是的相合估计。YQ证: E(0) =E(0.)=0. D(0)=%, D(0)=n(#+2)由契比雪夫不等式，ε>0,当n→+oo时，(0102↓→0有: P(01-0≥33ngH02同理: P(02 -0≥8)≤n(n+2)→02所以0和2都是0的相合估计

数理统计 9 证：E E    1 2      ,     1 1 2 0, , , , 1 2 n n X U X X X n X X n         例4：设总体 是取自 的样本， 证明： 和 是 的相合估计。 由契比雪夫不等式，     0,当n 时，    1  1 2 D P      有：    2 2 0 3n     所以 和 都是 的相合估计。    1 2   2 1 , 3 D n        2 2 2 D n n        2  2 2 D P      同理：      2 2 2 0 n n     