研究生入学考试指南高等代数解题技巧与方法编写黎伯堂刘桂眞山东科学技术出版社
研究生入学考试指南高等代数解题技巧与方法bed黎伯堂刘桂真编写山东科学技术出版社
内容筒介本书系统地介绍了高等代数的解题技巧和方法，并对国内外高等代数习题集中的重要习题以及历年来硕士研究生高等代数考题中的难题给出了详细解答，同时也包含了一些作者教学中的新成果。全，等代数书共分七章。其内容包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间与线性变换、欧氏空间与线性变换、多项式等。每章开始先介绍一些解题要用到的基本理论和结果，然后给出题解。本书的特点是主要对高等代数中中等偏难的题甘给出解答，以证明题为主。本书可作为数学、应用数学、物理、计算机、管理及其他工科类各专业高等代数课的后继教材及参3考书，特别可作为硕士研究生高等代数考试的辅导教材、也可供其他对高等代数有兴趣的人员参考。X研究生入学考试指南高等代数解题技巧与方法黎伯堂刘桂真编写*山东科学技术出版社出版（济南市玉函路16号郏政编码250002）山东科学技术出版社发行（济南市玉函路16号电话2064651）莱芜市圣龙印务书刊有限责任公司印剧*787mm×1092mm1/16开本11印张230千字2001年2月第1版第2次印刷印数3001-5000ISBN75331243590·72定价18.00元
前言高等代数有着悠久的历史，是数学学科中的一门重要基础课，它在线性规划、离散数学、管理科学、计算机以及物理、化学等学科中也有极为广泛的应用。高等代数解决问题的方法千变万化，初学者往往对解题感到十分困难。我们写这本书的主要目的就是帮助读者掌握高等代数的基本理论和基本方法，并掌握综合运用各种解题的技巧和方法，以提高分析问题和解决问题的能力。80年代初为了辅导学生考研究生，山东大学数学系就为考研究生的同学开设了“高等代数补充”课并编写了讲义。本书的两位编者多年来一直从事“高等代数”和“高等代数补充”的教学工作。本书就是编者在参加多年教学实践的基础上阅读了大量国内外文献，以高等代数补充”讲义为基础经过长时间的酿讨论编写的。在编写过程中参考了国内外的代数名著及题解，并精心研究了历年来的研究生考题，总结了高等代数中的基本理论及解题方法，特别提供了综合运用各种知识解题的一些技巧和方法。本书对高等代数中的难题和历年来研究生考题中的典型题目给出了详细解答。另外本书还从国内外高等代数习题集和某些高等代数课本中精选了部分题目进行了详解。本书共分七章，主要内容包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间与线性变换、欧氏空间与线性变换、多项式。每章开始首先介绍解题所用到的基本理论和结果并介绍一些解题方法和技巧，然后对典型题目给出详解。特别在第三章中我们给出了大量的题解。读者应在熟悉高等代数基本知识的基础上阅读本书。本书的前三章由黎伯堂编写，后四章由刘桂真编写，最后由刘桂真统稿。本书可作为数学、计算机、管理及其他理工科类大学生高等代数课的后继教材及参考书，也可供有关专业的教师、研究生及工程技术人员参考，特别适合考研究生的同学作为辅导教材。由于编者水平所限，书中难免会有缺点和错误。希望广大读者批评指正。编者1999年3月
目录第一章行列式一、基本概念和重要结果二、题解第二章线性方程组3131一、基本概念和重要结果二、勘解32第三章矩阵4141一、基本概念和重要结果48二、题解第四童二次型9191一、基本概念和重要结果92二、题解第五章线性空间及线性变换110110一、基本概念和重要结果112二、题解135第六章欧氏空间及线性变换135一、基本概念和重要结果二、题解136第七章多项式·154154一、基本概念和重要结果二、题解155参考文献·172
第一章行列式本章主要研究行列式的性质和计算方法，通过典型例题的解答介绍行列式的几种计算方法，并给出一系列重要习题的详细解法，一、基本概念和重要结果1.行列式的定义行列式有各种不同的定义方法，为了更加深刻地理解行列式的性质和学习行列式的计算方法，特别是处理一些有关行列式的证明题，我们在这里介绍行列式的三种定义，它们在不同的情况下有不同的作用，通常第一种定义方法更为常用，但第二种和第三种定义在某些证明题中有意义.设A是一个n阶方阵，A的行列式通常用IA|表示（1）我们用（s152s）表示数码1，2，*，n的任一排列，用t（siS2"*s）表示排列（s152""s）的反序数，则n阶行列式定义如下：a1na11Q12a21a2na22E (-1)r6,s"a,a2s,"-am.('2"an12n2（2）行列式的归纳法定义：-阶行列式[aul=ali-5a11a12二阶行列式aa22a12a21a21Q22若n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式allα12a1,a21a22a2=a1Au+a12A12+"+a1A1nanianan2其中A1是元素a1的代数余子式（3）一个n阶行列式可以看为n2个数的函数，或者看为n个向量的函数，例如将行列式中第列用表示，则定义（1)中的行列式就可记为（z1，2，…，x）。因此一个行列式可以看为2个数的函数，它满足下面的三个条件：a.f(1, z2,,kx,",w)=kf(r,a2,,,)., rw)+f(ai, , y, , In).b.f(ri,..",r,+yi,，T,)=f(T,Ti1
c.f(ai,ai, a,,, )=-f(r,",a,,a,,,r,)不难证明上述三个定义是等价的，为方便计有时我们也用la,|×表示n阶行列式，或简记为lal.2.行列式的性质(1) 令[a1Q12ain...a22a21a2nAA表示A的转置，tanian2则|A|=[AL.(2)a11a12a1rkai2kainkail=kIAI.-an2annanl(3)..a1lα12a1na11a12aina1zQ11ain+binai2+bi2".ain+ainb,2ailaiz.bi1b,tain..an2anlaanan2an1Qnan2(4)a11a12α1naα12ai1alnailai2ainajlaj2airayaj2ajra:laa2
(5)...allα12alnain+ka,iai2 + kaj2an+kajnIAI.aj2.+ajnajianlan2.anm(6).Q12a1nai1kajnkaj2ka;10.ajnajlaj2EBEanlQa2anAI.Y=i,(7)aA;0,kti.(8）IA/M,A,+M2A2++M,A，M，M2，"，M,是IA|中某行元素的k阶子式，A，是M，的代数余子式，(9）若aj=-aj，n为奇数，则IAl=0.(10)00a11:0a22a21anlan2an3.行列式的计算（1）提公因子法例计算fo(z1)fo(12)fo(su)fi(z1)fi(α2)fi(t,)-Dfu-1(ri)1(r)fu-1(tn)fa-其中f()解择D的第一行有公因子α00，从第一行提出公因子αo，将第一行的-α11倍加到第
二行、从第二行提出公因子α10将第一行乘一α22，第二行乘一a21一起加到第三行，从第三行提出α20、依次作下去，最后将第一行、第二行、…、第n1行分别乘以-an-11一起加到第n行，从第n行提出公因子an-10得..an-1n-25an-1-1,1113132TnHaoD=Iao I (r-r)io1=021-1~1a1（2）消去变换法例计算123r2r1n-1D =1233-137解从第二行开始每行乘一1加到前行，然后令右下角的1=工+（1一），将行列式表为两个行列式之和，得2由2由由1111..11x10111-10011 .1-rD000112...1T3xr11...10111.11a3101".100111-{1.-r0010100111-r-二00000001-xI...1a..α1-.r3TTXrI=(1 -r)" + (-1)*1" =(-1)"[( -1)"- r].（第二个行列式的每列减去最后一列).（3）降阶递推法1) 若 D,= pD,-1,则 D,= Pn-1D1:2）若D,=D,-1+QD，-2，>2、0.我们可以设α、β是2—-9=0的根，则α+β=，-=，于是有(1)D,-βDa-1 = α(Du-1 - βD,-2),(2)D, - αDn-1 = β(Dn-1 - αDn-2),α"-1(D2-βD,) -β"-1(D2αD,)若α≠β，则D，α-β4
注意由(1)和(2)得D,-βD-1=α"-2(D2-βD1),D,-αD-1 = β"-2(D2-αD1).若α=β,则(1)与(2)变为DαD,-1=α(D-1-αD,-2),即D,-αD,-1=α"-2(DzαD,)，于是D,-1 -αD.-2 = α"-3(D2-αD1),D, = αa°D-2 + 2α-2(D2 - αD1),依次作下去得D,= α"-ID + (n- 1)a"-2(D2 - αD,),例计算000cab00000b（三对角线行列式）D.001000bCD,=cD,-1-baD,-2，设α，β是α2-cr+ba=0的根，则解c +2- 4ab2-4abCB=t22若2=4ab0，则α≠β、于是D, = a"-(D, - PD,) - gr-(D, - aD)P易算得DzβD,=α2D2-αD,=β，所以g"+1 -pn+1_ (c +Vc-4ab)n+1 -(c--4ab)+)D, =α-p2n+1/2-4ab若c2=4ab，则α=β，D, = Q"-1D + (n - 1)αn-2(D2 ~ αD,) = (n+ 1)（4）分离线性因子法把行列式看成含其中的一个或多个字母的多项式，变换它，若发现它可被一些线性因子所整除且这些线性因子互质，则它可被这些因子的积整除，例计算32...1n31r+1"n2D =1r+1.n231r+15