1一一11111综合练习题及解一综合练习题综合练习题（）1.（西南交通大学）设（），g（）是两个多项式，（"）十g（)可被++1整除，厕(1)=g(1)=0.2.（中国科技大学）设4一（a）是n阶方阵，aj=aq≠0，i.j=1,2,..,n. 求detA.3.（中国人民大学）已知α=（7，10,1，1,1）αz=（6，--8，2,3,1),α=（5，—6，5,5,1),α—（1，—2,3，—20)都是线性方程组++++20,31十2x2+3+-315-0,?+2+2+60(5x+4+3+3-=0的解向量，试问方程组①的解能否都用ααzα，α线性表出？并求出方程组①的～组包含αt，α2，α，α的一个极大线性无关组的基础解系，4.（日本东京工业大学）设A，BX（n二0，1）都是3阶方阵，X+1=AX.十B，当
综合练习题及解·329·fo000001011000A=0B=00Xp101oj1001.000时，求X,5.（吉林大学）若矩阵A--1和B-I的秩分别为p和g，则矩阵AB一1的秩不大于力十9其中1是单位矩阵6.（南京大学）把二次型f()=42—2—2+3化为标准形式，并求相应的线性变换和二次型的符号差7.（高数三，1998年）设矩阵(101)A-020[101矩阵B=（I十A）,其中为实数，I为单位矩阵.求对角阵Λ，使B与人相似，并求为何值时，B为正定矩阵，8.（北京大学）设线性空间V中向量组α1α2，α，α线性无关，(1）试问：向量组+α+++α是否线性无关？要求说明理由，（2）求向量组十α++α+生成的线性空间W的一个基以及W的维数.-561求：9.（华中师范大学）设A=45（1）A的特征值与特征向量；（2）求A2"（n为正整数）10.（北京大学）设是数域K上3维向量空间V的一个线性变换，在V的一组基1，2E：下的矩阵为
·330·高等代数习题详解15163266A--1343-2（1）求出V的一组基，使&在此组基的矩阵为对角阵；（2）求3阶可逆矩阵T，使T-1AT成为对角矩阵，11.（大连理工大学）求A的全体零化多项式集，其中0ro1110101A=0071OJ[10112.（辽宁大学）若n阶方阵A满足AAAA，称A为正规阵，证明：A为正规阵的充要条件是A与对角阵酉相似综合练习题（二）1.（美国大学生数学竞赛题）求三次方程，使其三个根分别是三次方程3十a?十br+c=0的三个根的立方。计算n阶行列式2.（武汉大学）[1+3y1+12其中r=yzD.=y21+t设α，az，，α为线性方程组AX=03.（高数一，2001年）的一个基础解系，B-ta+ta.,B-ta,+taBtia,+t2a2,其中t,z为实常数，试问t,t2满足什么关系时B，β，，B也为AX一0的一-个基础解系
·331综合练习题及解答bfa其中a，b，c为实数，试求4.（中国科技大学）设A0011a，b，c的一切可能值，使A100015.（吉林大学）对任意方阵A，必存在正整数m，使得矩阵A"之秩等于矩阵A"+1之秩，6.（华中师范大学）求二次型f(=+4++210+6的正惯性指数与符号差7.（高数三，2000年）设有n元二次型f(,***,)=(+a)+(+a)+..+(-1+an-)2+(+an,)其中ai,2，..,n)为实数，试问：当ai,a2,,a,满足何种条件时，二次型f（，2，.，)为正定二次型8.（湖北大学）已知3维向量空间P3的两组基α1一（1，2，1），α2-(2,3,3),α=(3,7,1);B,-(3,1,4),B=(5,2,1),β=(1,1,一6)，向量α在这两组基下的坐标分别为（1,2,)及（y1,y2y3)．求此二坐标之间的关系9.（华中师范大学）设α1，αz,α：为线性空间V的一组基，是V的线性变换，且=α+（1）证明：G是可逆线性变换；（2）求2g—g-在基α，α2,α下的矩阵(B)为准对角阵，名()，名2()，设B-10.（福州大学）B,g（>)是B,B2,B的最小多项式，求证：g(A)=[gr(a),g2(A)]
-一. 332.高等代数习题详解其中［g（a），2（a)是g（a)，g2（a)的首项系数为1的最小公倍式11.（北京大学）设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，V的线性变换?称为?的伴随变换，如果(p(α),B)=(α,p(B)), α,BEV.（1）设9在V的一组标准正交基下的矩阵为A，证明：在这组标准正交基下的矩阵为A：（2）证明：V=（0-1(0)），其中*V为的值域，9-1(0)为的核.12、（武汉大学）R表示实数，在欧氏空间R-（（a1a2,a3alaER}中，其内积a2ta3,at),(b1bz,b3,b,))=11,求α,ER,使a,α2,令(1,0,0,0),α20α3,α成R的标准正交基综合练习题（三）1，（俄罗斯大学生数学竞赛题）设（）是整系数多项式，若/(0)与f(1）都是奇数，求证：/(r）无整数根2.（厦门大学）设多项式(a+0)f(r)=ao"+aia"-i+..+aa-ix+a,的n个根为α1α…，α，得D()-a-2 (α-α,)2is为F(z)的判别式．证明：f()有重根的充要条件是SISa-1So.SnS152=0,N-:::S.52n-S-k
综合练习题及解答333.其中s=吃十α十..十(k=0,1,2,.)3.（北京师范大学）设A=（a）的秩为n，求齐次线性方程组BX=0的一个基础解系，其中B=（a),xnr<n4.（中国科学院）设A为实对称阵.证明：若A30，则A=05.（江西大学）设A，B分别为sXn与nXm矩阵，则秩A十秩B一n≤秩（AB)6.（离数三，2001年）设A为n阶实对称阵，秩A=n，A是A=（aj）x中ai（i,j=1，2，，n）的代数余子式，二次型(2)- （1）记X（，r2，""，），把f（12，*，）写成矩阵形式，并证明二次型f，2，，,)的矩阵为A"；(2）二次型g（x1,2,，）=XAX与f(x1x2,.，)的规范形是否相同？说明理由·7.（高数三，1997年）设A，B分别是m，n阶正定阵，试判定0A是否为正定阵分块阵C=10B8.（北京大学）设V是定义于实数集R的所有实函数组成的集合，对于f.gEV，aER，分别利用下列式子定义f+gaf(f+g)()=f(α)+g(α), zER(af)(x)=af(r),zER则V成为实数域上的一个线性空间，设f。()1,fr()= cosx,f2()=cos(2r),fs()cos(3x),（1）判断f。f，是否线性相关，写出理由（2）用（fg）表示.g生成的线性子空间，判断(fo,f)+s(f2,J3)
334·高等代数习题详解是否为直和？9.（高数三，1997年）设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3.矩阵A属于特征值1，2的特征向量分别是a=(-1,-1,1)", α2-(1,-2,-1).（1）求A属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A.10.（北京航空航天大学）设T是由T(r,y,z)=(0,T,y)所给出的R"→R"的线性变换，试求T,T?,T3的特征多项式。11.（华中师范大学）设P是数域，g是P上n维线性空间V的线性变换，m（r)是A的最小多项式.证明：对任意f(）EP[]，如果（f（），m（））一d（x），则f（a）的秩=d(a）的秩12.（中国人民大学）欧氏空间V中保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？如果是，给出证明；如果不是，举出反例综合练习题（四）1.（北京师范大学）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根必要而且只要存在一个有理系数多项式于（），使得1=f(α)计算2.（郑州大学，河北师范大学）111+a222a2.其中aaa≠oA, =目目:n+atn71设向量α,=(1,一1,1,0),α2=（1,1,03.（华中科技大学）1)，α=（2,0,1，1)，它们生成的子空间为W=（α，α2α），试
综合练习题及解答-335-构造一个齐次线性方程组，使它的解空间为W4.（高数一、高数二，1996年）设A=1一，其中1是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置，证明：（1）A?一A的充要条件是=1：（2）当=1时，A是不可逆矩阵5.（武汉理工大学）设A是秩为r的mXr矩阵（m>r），B是rXs矩阵，证明：（1）存在非奇异矩阵P，使PA的后m-r行全为0：(2）秩（AB)=秩B.6.（北京工业学院，西南交通大学）设A是一个n阶实对称矩阵，且1A|<0，证明：存在实n维向量X，使XAX<07.（北京大学，湖北大学）证明：（1）正定矩阵一定可逆，且逆矩阵也是正定的；（2）两个同级正定矩阵的和也是正定的8.（吉林工业大学，华中师范大学）若以f（）表示实系数多项式，试证W=(f(r)lf(1)=0,次f(x)≤n)是实数域上线性空间，并求它的一组基底。9.（武汉大学）设E是由次数不超过4的一切实系数一元多项式组成的向量空间，对于E中任意P（α），以?一1除所得商及余式分别为Q（）和R（），即P()Q()(-1)+R()设是E到E的映射，使以P(r))=R(),试证甲是一个线性变换，并求它关于基底（1，艾，，的矩阵10.（北京师范大学）令iz，，是1，2，…，n的一个排列，对于任意-一个nXn矩阵A，令gA)表示依次以A的第i，iz，.i
·336-高等代数习题详解行作为第1，2，，n行所得矩阵（1）证明：对任意nXn矩阵A，B，有G(AB)-g(A) .B;（2）对任意nXn矩阵A，α（A)与A是否相似？11.（中国人民大学）设T是n维欧氏空间V的一个线性变换，若T对一个基，，有(TE,TE,)=(E,E)(i-1,2,",n)问T是否为正交变换？对，给出证明；不对，请举出反例，12.（北京大学）用R[X]表示实数域R上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧儿里得空间，其上的内积为<f.g)=['f(x)g(r)dz.设W是由零次多项式组成的子空间，求WI以及它的一个基综合练习题（五）1.（北京大学）设h（），（）,（），g（）是实系数多项式，且(2+1)h(x)+(x+1)f()+(x2)g()=0,(+1)()+(r—1)f()+(+2)g(x)=0,则f），g(r)能被+1整除2.（武汉测绘科技大学）证明：xyz(+y+)(+wy+)(+y+wz),y&V其中w是1的立方根二1+323.（清华大学）已知m个向量αα2，，αm线性相关，但其中任意m一1个都线性无关，证明：
综合练习题及解容·337（1）如果等式k+k22++mm=0则这些k2"，km或者全为0，或者全不为0（2）如果存在两个等式①ka+k,az+...+kmam=0?tiai+1a2+.+mam0,其中10，则k1二2-km?11-12lm4.（中国科技大学）设A是n阶方阵，A十1可逆，且f(A)=(I-A)(I+A)-1试证明：(1)[I+f(A)][I+A]-21;(2) FLf(A)J=A5.（复旦大学）设A是sXn实矩阵，求证：秩(,-AA)一秋(I, 一AA)=n一S证明：正交矩阵的特征值的模等于1.6.（东北工业大学）7.（清华大学）设+2+302+2—6+4=-1,3+2++7=-1,-6+2试讨论，取什么值时，方程组有解或无解，并在有解时，求其全部解8.（中国人民大学）设aα2，"α与B，，*，B是两组n维向量证明：若这两个向量组都线性无关，则空间（α1，2，α)nB，B，，B)的维数等于齐次线性方程组at,++αx,+By++By