上次课重要内容: 引入和剔除变量的选择一方差贡献的计算 逐步回归效果的检验 非线性回归模型 勹限回归模型:思路、门限变元的选取 AC准则 本次课主要内容: 时间序列分析 线性自回归模型 AR(P)模型及参数的确定 非平稳序列的处理、个例分析
1 上次课重要内容： 引入和剔除变量的选择—方差贡献的计算 逐步回归效果的检验 非线性回归模型 门限回归模型:思路、门限变元的选取 AIC准则 本次课主要内容： 时间序列分析： 线性自回归模型 AR（P）模型及参数的确定 非平稳序列的处理、个例分析
第五章自回归模型 基本思想: 把水文要素随时间的变化作为一个随机过 程来研究,分析水文要素前后期演变情况的统 计规律,应用这一规律由前期水文要素的数值 作出后期要素的预报 个随机过程离散化后得到一个水 文时间序列
2 第五章 自回归模型 基本思想： 把水文要素随时间的变化作为一个随机过 程来研究，分析水文要素前后期演变情况的统 计规律，应用这一规律由前期水文要素的数值 作出后期要素的预报。 一个随机过程离散化后得到一个水 文时间序列
第一节随机时间序列的概念 随机过程和时间序列 1随机过程:P129有无数个时间序列组成 ●2时间序列:随机过程的一个样本(现实)。或P127 (1)确定性时间序列 (2)非确定性时间序列-随机时间序列(定义P129) 平稳时间序列(平稳随机过程中的一个现实或样本) 平稳随机过程P130 个随机过程,如果它的数学期望、方差不随时间变 化,相关函数只是时间向隔的函数而与时间无关。称 其为一个广义平稳过程或弱平稳过程
3 第一节 随机时间序列的概念 ⚫ 一、随机过程和时间序列 ⚫ 1.随机过程： P129 有无数个时间序列组成。 ⚫ 2.时间序列：随机过程的一个样本（现实）。或P127 (1)确定性时间序列 (2)非确定性时间序列-随机时间序列 (定义P129) 二、平稳时间序列（平稳随机过程中的一个现实或样本） 平稳随机过程 P130 ⚫ 一个随机过程，如果它的数学期望、方差不随时间变 化，相关函数只是时间间隔的函数而与时间无关。称 其为一个广义平稳过程或弱平稳过程
平稳过程的特点: 数学期望(t)= 方差a2()=a 相关函数R(,2)=R(4,41+)=R()
4 ⚫ 平稳过程的特点： ( , ) ( , ) ( ) ( ) ) 1 2 1 1 2 2 R t t R t t R t t = + = = = 相关函数 方差 数学期望 （
●1、各态历经的平稳随机过程p130 个随机过程的统计特征,如果可 用时间平均代替总体平均,则称之。 平稳时间序列 是各太历经的平稳随机过程中的一个 样本pl30 ●2、非各态历经的平稳随机过程
5 ⚫ 1、各态历经的平稳随机过程p130 一个随机过程的统计特征，如果可 用时间平均代替总体平均，则称之。 ⚫ 平稳时间序列： 是各太历经的平稳随机过程中的一个 样本 p130 ⚫ 2、非各态历经的平稳随机过程
第二节线性平稳自回归模型 模型简介 设有一中心化的水文平稳序列{X},X12X2 t时刻的要素与前期要素之间满足下列关系(5-8) x=qx+92X21+…+9nX+4=∑qX+ 其中:[为刻要素的估计值(预报值 XX X的1个时间间隔到前p个 m的要素值 卯为自回归系数
6 第二节 线性平稳自回归模型 一、模型简介 设有一中心化的水文平稳序列 t时刻的要素与前期要素之间满足下列关系（5-8） 其中： 为t时刻要素的估计值（预报值） 为自身前1个时间间隔到前p个 时间间隔的要素值。 ⚫ 为自回归系数 ⚫ ⚫ ' ' 2 ' 1 ' { }, , ...... Xt X X Xn t p i t t t p t p t i t i X = X + X + + X + a = X + a = − − − − 1 ' ' ' 2 2 ' 1 1 ' ...... Xt Xt− Xt− Xt− p ...... 1, 2, p , ,....... 1 2
a为误差序列,其含义不同又可以分为三种模型 1.ARMA(pq)模型(p阶自回归q阶移动平均模型) 包括三部分与以往的观测值有关 与上步误差有关团a 与上两步不相关的误差有关 模型:P139(5-9) X-9X1-1-92X12 a,-a,-1-b,a t-2 gt-q ●其中 0为模型系数,p为自回归阶数,q移动平均阶数
7 ⚫ 为误差序列，其含义不同又可以分为三种模型： 1 .ARMA(p,q)模型（p阶自回归q阶移动平均模型） ⚫ 包括三部分：与以往的观测值 有关 ⚫ 与上步误差有关 ⚫ 与上两步不相关的误差有关 ⚫ 模型：P139 （5-9） ⚫ 其中： ⚫ θ为模型系数，p为自回归阶数，q移动平均阶数。 at Xt t t t q t q t t t p t p a a a a X X X X − − − − − − = − − − − − − − − ...... ...... 1 1 2 2 ' ' 2 2 ' 1 1 ' at
●2AR(p)模型(p阶纯自回归模型) 起条件 零均值 白色噪音序列方差为1 前步误差与后步误差无关 ●白色噪音过程表示不含有任何规律性波动纯随机过程。 我们知道白光是由各色波长颜色的光所共同组成的, 白噪音就是由强度相同的各种频率振动共同组成的随 机序列 模型 X=qX1+02X12+……+1-p+a ∑ P X-i+ar
8 ⚫ 2.AR（p）模型（p阶纯自回归模型） ⚫ 满足条件： ⚫ 零均值 ⚫ 白色噪音序列 方差为1 ⚫ 前步误差与后步误差无关 ⚫ 白色噪音过程表示不含有任何规律性波动纯随机过程。 我们知道白光是由各色波长颜色的光所共同组成的， 白噪音就是由强度相同的各种频率振动共同组成的随 机序列。 ⚫ 模型： ⚫ （5-8） at t p i i t i t t t p t p t X a X X X X a = + = + + + + = − − − − 1 ' ' ' 2 2 ' 1 1 ' ......
●3.MA(q)模型(q阶渭动平均模型) ●当凶的随机序列与a的线性组合满足 1t-1 ba1-4 ●则为MA(q)模型 ●注意:三模型必须满足平稳、正态、零均值的 条件
9 ⚫ 3. MA(q)模型（q阶滑动平均模型） ⚫ 当 的随机序列与 的线性组合满足： ⚫ 则为MA(q)模型 ⚫ 注意：三模型必须满足平稳、正态、零均值的 条件。 t at X Xt = at − at− − at− − − q at−q ...... 1 1 2 2
二、AR(p)模型参数的确定 1关于四的估计值b的线性方程组P87 对X=9X1+2X2+…+nX+a ●迸行数学期望运算,归纳整理,得到以下方程 组
10 二、AR（p）模型参数的确定 ⚫ 1.关于 的估计值bi的线性方程组 P87 ⚫ 对 ⚫ 进行数学期望运算，归纳整理，得到以下方程 组： t t t p t p t X = X + X + + X + a − − − ' ' 2 2 ' 1 1 ' ...... i