《土力学与基础工程》课程授课教案（讲义）第六章 土压力、地基承载力及土坡稳定性 6.3 朗金土压力理论

§6.3朗肯土压力理论 朗肯土压力理论是根据半空间的应力状态和土的极限平衡条件而得出的士 压力计算方法。 研究一表面为水平面的半空间（土体向下和沿水平方向都伸展至无穷）。当 整个土体都处于静止状态时，各点都处于弹性平衡状态。 在离地表为z深度处取一单元体，单元体水平截面上的法向应力等于该处土 的自重应力，即竖直截面上的法向应力为：σ：=y: 而水平方向的自重应力为：o,=K。yz 由于为半空间，所以土体内每一竖直面都是对称面，因此竖直截面和水平截 面上的剪应力都等于零，因而相应截面上的法向应力σ和o都是主应力，此 时的应力状态可用莫尔圆表示。由于该点处于弹性平衡状态，所以莫尔圆位于抗 剪强度包线（破坏包线）的下方。 T E=c+ 弹性平衡状态时的莫尔圆 主动朗肯状态时的莫尔圆 如果使整个土体在水平方向均匀伸展(ox减小)或压缩(x增大)，直到 土体由弹性平衡状态转为塑性平衡状态。 1.土体在水平方向伸展 上述单元体在水平截面上的法向应力σ不变，而竖直截面上的法向应力x 却逐渐减小，直至满足极限平衡条件为止（称为主动朗肯状态）。 此时，m达到最低限值m,是小主应力，z是大主应力，莫尔圆与抗 剪强度包线（破坏包线）相切。剪切破坏面与水平面的夹角为45+号：

§6.3 朗肯土压力理论 朗肯土压力理论是根据半空间的应力状态和土的极限平衡条件而得出的土 压力计算方法。 研究一表面为水平面的半空间（土体向下和沿水平方向都伸展至无穷）。当 整个土体都处于静止状态时，各点都处于弹性平衡状态。 在离地表为 z 深度处取一单元体，单元体水平截面上的法向应力等于该处土 的自重应力，即竖直截面上的法向应力为： 而水平方向的自重应力为： 由于为半空间，所以土体内每一竖直面都是对称面，因此竖直截面和水平截 面上的剪应力都等于零，因而相应截面上的法向应力 z 和 x 都是主应力，此 时的应力状态可用莫尔圆表示。由于该点处于弹性平衡状态，所以莫尔圆位于抗 剪强度包线（破坏包线）的下方。 325  0  K  z 0  z  f = c + tg 弹性平衡状态时的莫尔圆 328  0  K  z 0   z a  f = c + tg 主动朗肯状态时的莫尔圆 如果使整个土体在水平方向均匀伸展（x 减小）或压缩（x 增大），直到 土体由弹性平衡状态转为塑性平衡状态。 1.土体在水平方向伸展 上述单元体在水平截面上的法向应力 z 不变，而竖直截面上的法向应力 x 却逐渐减小，直至满足极限平衡条件为止（称为主动朗肯状态）。 此时，x 达到最低限值 a，a 是小主应力，z 是大主应力，莫尔圆与抗 剪强度包线（破坏包线）相切。剪切破坏面与水平面的夹角为 。 z z  =  K z x 0  =  2 45  + 

被动朗背状态时的莫尔圆 2.土体在水平方向压缩 上述单元体在水平截面上的法向应力不变而竖直截面上的法向应力m 却逐渐增大，直至满足极限平衡条件为止（称为被动朗肯状态）。此时，x达到 最高限值m,m是大主应力，m是小法座力，莫尔圆与抗剪强度包线（破坏包 线)相切。剪切破坏面与竖直面的夹角为 朗肯将上述原理应用于挡土墙的土压力计算中，设想用墙背直立的挡土墙代 替半空间左边的土。如果墙背与士的接触面上满足剪应力为零的边界应力条件以 及产生主动或被动朗背状态的边界变形条件，由此可推导出主动和被动土压力计 算公式。而如果挡土墙静止不动，则墙后土体的应力状态不变。 朗肯土压力理论的假设： 1.挡土墙背面竖直： 2.墙背光滑： 3.墙后填土面水平。 一、主动土压力 由莫尔-库伦强度理论知，当土体中某点处于极限平衡状态时，大主应力σ1 和小主应力3之间满足： 1.无粘性土 o1=03g2(45°+号) 或 6,=0g2(45°-号) 或 -0=sin o 万1十万， 2.粘性土 G,=0g2(45+号)+2c×g45+2) 0,=og2(45°-号)-2c×1g(45°-号)

330  0  K  z 0  z p  f = c + tg 被动朗肯状态时的莫尔圆 2.土体在水平方向压缩 上述单元体在水平截面上的法向应力 z 不变而竖直截面上的法向应力 x 却逐渐增大，直至满足极限平衡条件为止（称为被动朗肯状态）。此时，x 达到 最高限值 p，p 是大主应力，z 是小主应力，莫尔圆与抗剪强度包线（破坏包 线）相切。剪切破坏面与竖直面的夹角为 。 朗肯将上述原理应用于挡土墙的土压力计算中，设想用墙背直立的挡土墙代 替半空间左边的土。如果墙背与土的接触面上满足剪应力为零的边界应力条件以 及产生主动或被动朗肯状态的边界变形条件，由此可推导出主动和被动土压力计 算公式。而如果挡土墙静止不动，则墙后土体的应力状态不变。 朗肯土压力理论的假设： 1.挡土墙背面竖直； 2.墙背光滑； 3.墙后填土面水平。 一、主动土压力 由莫尔-库伦强度理论知，当土体中某点处于极限平衡状态时，大主应力 1 和小主应力 3 之间满足： 1.无粘性土 2.粘性土 2 45  +             sin ) 2 (45 ) 2 (45 1 3 1 3 2 3 1 2 1 3 = + − = − = + 或 或   tg tg ) 2 ) 2 (45 2 (45 ) 2 ) 2 (45 2 (45 2 3 1 2 1 3         = − −  − = + +  +     t g c t g t g c t g 或

当挡土墙偏离土体时，由于墙后土体中离地表深度z处的竖向应力（大主应 力)不变，而水平应力x却逐渐减小直至进入主动朗肯状态，此时x为小主 应力四，由极限平衡条件公式可得 1.无粘性土 0,=a1g2(45-号 或 Ga =YKa 2.粘性土 a,=g(45°-号)-2cxg45°-号 2 或 o。=zK。-2cVK 由以上公式可知： 1.无粘性土的主动土压力强度与z成正比，沿墙高的压力呈三角形分布。如 取单位墙长，则主动土压力为： E。=2H21g2(45°-) 或 E。- 无粘性土的主动土压力强度分布图 粘性土的主动土压力强度分布图 2.粘性土的主动士压力强度包括两部分：一部分是由自重引起的土压力度，另 一部分是由粘聚力引起的负侧压力强度，这两部分土压力叠加的结果如图所示。 其中ade部分是负侧压力，对墙背而言是拉力，但实际上墙与土在很小的拉力作 用下就会分离，从而造成土压力为零。所以粘性土的土压力分布仅是abc部分。 a点离填土面的的深度Z。为临界深度，在填土面无荷载的条件下，可令om=0求 得Z。的值，可得：

当挡土墙偏离土体时，由于墙后土体中离地表深度 z 处的竖向应力（大主应 力）不变，而水平应力 x 却逐渐减小直至进入主动朗肯状态，此时 x 为小主 应力 a ，由极限平衡条件公式可得 1.无粘性土 2. 粘性土 由以上公式可知： 1.无粘性土的主动土压力强度与 z 成正比，沿墙高的压力呈三角形分布。如 取单位墙长，则主动土压力为： 339 Ea H 3 H 无粘性土的主动土压力强度分布图 HKa  341 Ea H 3 0 H − z 粘性土的主动土压力强度分布图 HKa  a d e b c 0 z 2.粘性土的主动土压力强度包括两部分：一部分是由自重引起的土压力度 ，另 一部分是由粘聚力引起的负侧压力强度 ，这两部分土压力叠加的结果如图所示。 其中 ade 部分是负侧压力，对墙背而言是拉力，但实际上墙与土在很小的拉力作 用下就会分离，从而造成土压力为零。所以粘性土的土压力分布仅是 abc 部分。 a 点离填土面的的深度 Z0 为临界深度，在填土面无荷载的条件下，可令 a=0 求 得 Z0 的值，可得: a a a zK ztg      = = − 或 ) 2 (45 2  a a a a zK c K ztg c tg 2 ) 2 ) 2 (45 2 (45 2 = − = − −  −       或   a a a E H K E H tg 2 2 2 2 1 ) 2 (45 2 1    = = − 或  Ka c z  2 0 =

单位墙长计算，主动土压力负为： E=H-oX。-2cK) =3WK,-2c1vK+2 二、被动土压力 当墙受到外力作用而推向土体时，填土中任意一点的竖向应力仍不变，而水 平向应力x却逐渐增大，直至出现被动朗肯状态。此时，m达最大限值m, 因此印是大主应力，也就是被动土压力强度，而则是小主应力。由极限平 衡条件公式可得 1.无粘性土 op=1g2(45+号) 或 op=K。 2.粘性土 ,=ag(45+号+2cxg45+2 op=zK。+2cK 从以上公式可知：无粘性土的被动土压力强度呈三角形分布：粘性土的被动 土压力强度呈梯形分布。如取单位墙长计算，则被动土压力可由下式计算： 1.无粘性土 E。=3HK。 2.粘性土 EK,+2cHK 无粘性土的被动土压力强度分布图粘性土的被动土压力强度分布民 当填土面有均布荷载时的土压力计算： 当挡土墙后填土面有连续均布荷载作用时，土压力的计算方法是将均布荷 载换算成当量的土重。当填土面水平时，当量的土层厚度为：

单位墙长计算，主动土压力 Ea 为： 二、被动土压力 当墙受到外力作用而推向土体时，填土中任意一点的竖向应力仍不变，而水 平向应力 x 却逐渐增大，直至出现被动朗肯状态。此时，x 达最大限值 p ， 因此 p 是大主应力，也就是被动土压力强度，而 z 则是小主应力。由极限平 衡条件公式可得 1. 无粘性土 2. 粘性土 从以上公式可知：无粘性土的被动土压力强度呈三角形分布；粘性土的被动 土压力强度呈梯形分布。如取单位墙长计算，则被动土压力可由下式计算： 1.无粘性土 2.粘性土 348 Ep 无粘性土的被动土压力强度分布图 HK p  3 H H 349 Ep p Kp HK + 2c Kp 2c 粘性土的被动土压力强度分布图 当填土面有均布荷载时的土压力计算： 当挡土墙后填土面有连续均布荷载作用时，土压力的计算方法是将均布荷 载换算成当量的土重。当填土面水平时，当量的土层厚度为:    2 2 0 2 2 2 1 ( )( 2 ) 2 1 c H K cH K E H z HK c K a a a a a = − + = − − p p p zK ztg      = = + 或 ) 2 (45 2  p p p p zK c K ztg c tg 2 ) 2 ) 2 (45 2 (45 2 = + = + +  +       或   Ep H Kp 2 2 1 =  p p Kp E H K 2cH 2 1 2 =  +

h=9 h=qly (+H)K. 填土面有均布荷载的土压力计算

351 Ea 填土面有均布荷载的土压力计算 h H Ka  ( + ) H h = q  q  q h =