信号与图像处理基础 Wavelet Analysis 中国科学技术大学自动化系 曹洋
University of Science and Technology of China 信号与图像处理基础 中国科学技术大学 自动化系 曹 洋 Wavelet Analysis
主要内容 米1.小波介绍 3.哈尔小波变换 1.1小波简史 4.二维哈尔小波变换 1.2小波概念 41二维小波变换举例 13小波分析 42二维小波变换方法 14小波定义 5.多分辨率表示 2.哈尔函数 21哈尔基函数 22哈尔小波函数 23函数的规范化 24哈尔基的结构
主要内容 1. 小波介绍 1.1 小波简史 1.2 小波概念 1.3 小波分析 1.4 小波定义 2. 哈尔函数 2.1 哈尔基函数 2.2 哈尔小波函数 2.3 函数的规范化 2.4 哈尔基的结构 3. 哈尔小波变换 4. 二维哈尔小波变换 4.1 二维小波变换举例 4.2 二维小波变换方法 5. 多分辨率表示
1.小波介绍 小波 wavelet)是什么 ·在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内,它的平均值等于零 Sine wave Haar Wavelet Mexican Hat Wavelet Morlet Wavelet (sum of two Gaussians) (Gaussian-gated sne wave)
1. 小波介绍 • 小波(wavelet)是什么 • 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 • 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 • 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
1.小波介绍(续1) 部分小波 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名,例如, Moret小波函数是 Grossmann和 Morlet在1984年开发的 db6缩放函数和db6小波函数是 Daubechies开发的 Mre小波函数 Mexican hat小波函数 Meyer缩放函数 Meyer小波函数 Har缩放函数 Har小波函数 0.5 505 05 db6缩放函数 db6小波函数 sym6缩放函数 sym6小波函数 eoif2缩放函数 coif2小波函数 0.5 图7-1正弦波与小波——部分小波
1. 小波介绍(续1) • 部分小波 • 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如， • Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 • db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的 图7-1 正弦波与小波——部分小波
1.小波介绍(续2) 小波简史 小波变换( wavelet transform)是什么 老课题:函数的表示方法 新方法: Fourier-Haar- wavelet transform 1807: Joseph Fourier 傅立叶理论指出,一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和,叫做傅立叶展开式
1. 小波介绍(续2) ➢ 1807: Joseph Fourier ◼ 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式 ◼ 小波简史 ➢ 小波变换 (wavelet transform)是什么 ◼ 老课题：函数的表示方法 ◼ 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform
1.小波介绍(续3) F(o)=f(t)e jo dt f(t) F(oe 2丌 where e cos at-JSin at 只有频率分辨率而没有时间分辨率 可确定信号中包含哪些频率的信号,但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候 丢失了信号的时频域的局部特性,而这正是 非平稳信号最重要的性质
1. 小波介绍(续3) where cos sin j t e t j t − = − ( ) ( ) ( ) ( )e j t j t F f t e dt f t F + − − + − = = 1 2 ◼ 只有频率分辨率而没有时间分辨率 ◼ 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候 ◼ 丢失了信号的时频域的局部特性，而这正是 非平稳信号最重要的性质
1.小波介绍(续4) 1909 Alfred haar Alfred haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波,后 来被命名为哈尔小波( Haar wavelets
1. 小波介绍(续4) • 1909: Alfred Haar • Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
1.小波介绍(续5) 1945: Gabor 开发了STFT( short time fourier transform STFT(,@)=s(t)(t-t)e jot where: s(t)=signal g(t=windowing function ~f蠶五 f 时间 STFT的时间频率关系图
1. 小波介绍(续5) • 1945: Gabor • 开发了STFT (short time Fourier transform) ( , ) ( ) where: ( ) signal ( )= windo ( wing ) function j t STFT s t e dt g s t g t t − = = − STFT的时间-频率关系图
1.小波介绍(续6 1980: Morlet ·20世纪70年代,在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家 Jean morlet提出小波变换( wavelet transform,WT)的概念 20世纪80年代,开发了连续小波变换( continuous wavelet transform, CWT) 1986: Y. Meyer 法国科学家 Y. Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数,用于分析函数 用缩放( dilations)与平移( translations)均为2/(0的 整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基,使 小波分析得到发展
1. 小波介绍(续6) • 1980：Morlet • 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 • 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT) • 1986：Y.Meyer • 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 • 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j (j≥0的 整数)的倍数构造了L 2 (R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
1.小波介绍(续7) 1988: Mallat算法 法国科学家 Stephane Mallat提出多分辨率概念 ,从空间上形象说明小波的多分辨率的特性, 并提出了正交小波的构造方法和快速算法,称 为 Mallat算法 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有 方法,其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅 立叶分析中的地位
1. 小波介绍(续7) • 1988：Mallat算法 • 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念 ，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性， 并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称 为Mallat算法 • 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有 方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅 立叶分析中的地位