应用随机过程李东风2025-05-16
应用随机过程 李东风 2025-05-16
目录7简介91预备知识91.1概率空间1.2随机变量与分布函数18271.3数字特征、矩母函数与特征函数1.4收敛性45独立性与条件期望491.51.6补充内容6575随机过程的基本概念和基本类型2752.1基本概念762.2有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的基本类型2.3793泊松过程87873.1泊松过程定义3.2与泊松过程相联系的若干分布92993.3泊松过程的推广3.4补充1064更新过程1134.1更新过程的定义及若干分布1134.2119更新方程及其应用3
目录 简介 7 1 预备知识 9 1.1 概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 随机变量与分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 数字特征、矩母函数与特征函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5 独立性与条件期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6 补充内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 随机过程的基本概念和基本类型 75 2.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2 有限维分布与 Kolmogorov 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3 随机过程的基本类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 泊松过程 87 3.1 泊松过程定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2 与泊松过程相联系的若干分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 泊松过程的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.4 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4 更新过程 113 4.1 更新过程的定义及若干分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2 更新方程及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3
4目录4.3更新定理.1294.4更新过程的推厂:1394.5附录：一些证明.1581635马氏链5.1基本概念.1635.2180状态的分类及性质5.3.190极限定理及平稳分布.2115.4马氏链的应用5.5.214连续时间马氏链5.6连续时间连续状态的马氏过程.2335.7补充.2356鞅2456.1基本概念.2456.2鞅的停时定理及其应用.2606.3一致可积性，.2756.4收敛定理，.2786.5连续鞅.2826.6补充材料.2851布朗运动2937.1高斯分布.2937.2布朗运动概念与性质2967.3布朗运动的鞅性质310.3127.4布朗运动的马氏性7.5布朗运动的最大值变量及反正弦律.3147.6布朗运动的几种变化321.3277.7高维布朗运动7.8补充内容:3288随机积分3378.1关于随机游动的随机积分.3378.2Ito积分:339Ito积分定义的鞅8.3.359
4 目录 4.3 更新定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.4 更新过程的推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.5 附录：一些证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5 马氏链 163 5.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2 状态的分类及性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.3 极限定理及平稳分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4 马氏链的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 5.5 连续时间马氏链 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6 连续时间连续状态的马氏过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.7 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6 鞅 245 6.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.2 鞅的停时定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.3 一致可积性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 6.4 鞅收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 6.5 连续鞅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.6 补充材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 7 布朗运动 293 7.1 高斯分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.2 布朗运动概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.3 布朗运动的鞅性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.4 布朗运动的马氏性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 7.5 布朗运动的最大值变量及反正弦律 . . . . . . . . . . . . . . . . 314 7.6 布朗运动的几种变化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7.7 高维布朗运动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.8 补充内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 8 随机积分 337 8.1 关于随机游动的随机积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.2 Itô 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 8.3 Itô 积分定义的鞅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
目录58.4Ito公式.3668.5补充:384随机过程在金融中的应用40799.1金融市场的术语与基本假定.4079.2Black-Scholes模型:41010随机过程在保险中的应用419.41910.1基本概念.41910.2经典破产理论介绍42111MCMC方法42111.1计算积分的蒙特卡洛方法11.2MCMC方法简介.421：42111.3Metropolis-Hastings算法.42111.4Gibbs抽样: 42111.5贝叶斯MCMC估计方法参考文献423
目录 5 8.4 Itô 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 8.5 补充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9 随机过程在金融中的应用 407 9.1 金融市场的术语与基本假定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 9.2 Black-Scholes 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10 随机过程在保险中的应用 419 10.1 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 10.2 经典破产理论介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 11 MCMC 方法 421 11.1 计算积分的蒙特卡洛方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.2 MCMC 方法简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.3 Metropolis-Hastings 算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.4 Gibbs 抽样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 11.5 贝叶斯 MCMC 估计方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 参考文献 423
简介这是北京大学数学科学学院金融数学系《金融中的随机数学》1班的讲义，采用的教材为张波、商豪、邓军（2023）《应用随机过程》第6版，中国人民大学出版社。参考书：(Ross2019):IntroductiontoProbabilityModels.:(Shreve 2004): Stochastic Calculus for Finance II Continuous TimeModels.：（刘勇2024）刘勇.2024.应用随机分析，内部讲义。·（严加安2023）严加安.2023.金融数学引论．第二版.科学出版社：（林元烈2002）林元烈.2002.应用随机过程.清华大学出版社7
简介 这是北京大学数学科学学院金融数学系《金融中的随机数学》1 班的讲义，采用 的教材为张波、商豪、邓军（2023）《应用随机过程》第 6 版，中国人民大学出 版社。 参考书： • (Ross 2019)：Introduction to Probability Models. • (Shreve 2004)：Stochastic Calculus for Finance II Continuous Time Models. • (刘勇 2024) 刘勇. 2024. 应用随机分析，内部讲义。 • (严加安 2023) 严加安. 2023. 金融数学引论. 第二版. 科学出版社. • (林元烈 2002) 林元烈. 2002. 应用随机过程. 清华大学出版社. 7
Chapter 1预备知识1.1概率空间1.1.1样本空间随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先不能准确地预言，但具有如下三个特性：（1）可以在相同的条件下重复进行：（2）每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可能的结果：（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现，基本概念：·样本点（w）：随机试验的基本结果；·样本空间（2)：随机试验所有可能结果组成的集合：：基本事件：2中的样本点w；·必然事件：样本空间2；·不可能事件：空集①：：事件：由基本事件组成的2中的子集A。例1.1.如果想研究掷一次硬币的结果，可以用如下的2表示样本空间：2 = (H,T).9
Chapter 1 预备知识 1.1 概率空间 1.1.1 样本空间 随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先不能准确地预言，但具有如下 三个特性: （1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个, 但预先知道试验的所有可能的结果； （3）每次试验前不能确定哪个结果会出现. 基本概念： • 样本点 (𝜔)：随机试验的基本结果； • 样本空间 (Ω)：随机试验所有可能结果组成的集合； • 基本事件：Ω 中的样本点 𝜔； • 必然事件：样本空间 Ω； • 不可能事件：空集 ∅； • 事件：由基本事件组成的 Ω 中的子集 𝐴。 例 1.1. 如果想研究掷一次硬币的结果，可以用如下的 Ω 表示样本空间： Ω = {𝐻, 𝑇 }. 9
10CHAPTER1.预备知识其中H表示正面，T表示反面。例1.2.如果想研究掷两次硬币的结果，可以用如下的2表示样本空间：2={HH,HT,TH,TT)集合（事件）的运算法则：·交和并都满足交换律：AnB=BnA,AUB=BUA：：交和并都满足结合律：An(BnC）=（AnB)nC，AU(BUC）=（AUB)UC;：交和并之间都满足分配律：（AUB)NC=（ANC)U(BNC)，AnB)UC=(AUC)N(BUC);：德摩根律（对偶法则)：（AUB)c=AcnBcAnB)c=A°UBc。1.1.2代数定义1.1.设2是一个样本空间（或任意一个非空集合），是α的某些子集组成的集合族，满足：(1)2EF;(2)若AE,则A=2\AEg;(3)若An E,n=1,2,..,则 JAn EFn=1则称为上的一个α代数（或事件域，或α域).(2,）称为可测空间，中的元素称为随机事件，简称事件代数F的性质：(1)Eg,0Eg;(2)对求余运算封闭；(3）对有限并和可列并封闭；(4)对有限交和可列交封闭；(5)对减法封闭称事件A,B互不相容，若AnB=O。以2的某些子集为元素的集合称为（2上的）集类.对于2上的任一非空集类C，存在包含C的最小α代数，即N为包含c的代数）
10 CHAPTER 1. 预备知识 其中 𝐻 表示正面，𝑇 表示反面。 例 1.2. 如果想研究掷两次硬币的结果，可以用如下的 Ω 表示样本空间： Ω = {𝐻𝐻, 𝐻𝑇 , 𝑇 𝐻, 𝑇 𝑇 }. 集合（事件）的运算法则： • 交和并都满足交换律：𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴； • 交和并都满足结合律：𝐴∩(𝐵∩𝐶) = (𝐴∩𝐵)∩𝐶, 𝐴∪(𝐵∪𝐶) = (𝐴∪𝐵)∪𝐶; • 交和并之间都满足分配律：(𝐴∪𝐵)∩𝐶 = (𝐴∩𝐶)∪(𝐵∩𝐶), (𝐴∩𝐵)∪𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶); • 德摩根律（对偶法则）：(𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 , (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐。 1.1.2 𝜎 代数 定义 1.1. 设 Ω 是一个样本空间 (或任意一个非空集合)，F 是 Ω 的某些子集 组成的集合族, 满足： (1) Ω ∈ F; (2) 若𝐴 ∈ F, 则𝐴𝑐 = Ω ∖ 𝐴 ∈ F; (3) 若𝐴𝑛 ∈ F, 𝑛 = 1, 2, . , 则 ∞ ⋃ 𝑛=1 𝐴𝑛 ∈ F. 则称 F 为 Ω 上的一个𝜎 代数 (或事件域，或 𝜎 域). (Ω, F) 称为可测空间，F 中的元素称为随机事件，简称事件. 𝜎 代数 F 的性质： (1) Ω ∈ F, ∅ ∈ F; (2) 对求余运算封闭; (3) 对有限并和可列并封闭; (4) 对有限交和可列交封闭; (5) 对减法封闭. 称事件 𝐴, 𝐵 互不相容，若 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅。 以 Ω 的某些子集为元素的集合称为 (Ω 上的) 集类. 对于 Ω 上的任一非空集类 𝒞，存在包含 𝒞 的最小 𝜎 代数，即 ⋂{H |H 为包含𝒞的𝜎代数}
111.1.概率空间称为由C生成的代数，记为(C)例1.3.设9为代数，则[2,0) C9。[2,0也是一个代数.例1.4.设AC2，A≠2A十0。构造一个α代数。取α（A))={2,0,A,A。这代表了与事件A有关的四种情况：一定发生，一定不发生，A发生，A不发生。这个代数包含了A是否发生的信息，如果关于wE2知道A是否发生的信息，则对任意CE（(A)）都可以判断WEC是否成立。比如，设概率空间为掷一次般子的结果，则2=[1,2,3,4,5,6]令A表示“掷出偶数点”，则({A])=[2,0, [2,4,6], [1,3,5]]这个α代数包含了是否掷出偶数点的信息，对wE2，如果我们知道其奇偶信息，则对任意CEα((A))都可以判断wEC是否成立。所以“知道α((A))的信息”，准确含义是对任意wE2以及任意CEo((A))，都可以判断wEA是否成立。如果要研究掷一次般子结果为2点或3点的问题，则令B表示“结果为2点或3点”，代数为({B)) = [2, 0, [2,3], [1,4,5,6]]这个代数包含了是否掷出2点或3点的信息。例1.5.如果想分别研究掷一次般子出现2以及出现3的问题，就需要将2点和3点作为两个事件。令A表示2点，B表示3点，则α代数为0(A,B))={2,0,A,B,A,B,AUB,(AUB))=[2,0,[2],[1,3,4,5,6],[3],[1,2,4,5,6],[2,3],[1,4,5,6]]注意在本例中AnB=の，否则还要包含AnB，AB,BA
1.1. 概率空间 11 称为由 𝒞 生成的 𝜎 代数，记为 𝜎(𝒞). 例 1.3. 设 G 为 𝜎 代数，则 {Ω, ∅} ⊂ G 。 {Ω, ∅} 也是一个 𝜎 代数. 例 1.4. 设 𝐴 ⊂ Ω，𝐴 ≠ Ω, 𝐴 ≠ ∅。构造一个 𝜎 代数。 取 𝜎({𝐴}) = {Ω, ∅, 𝐴, 𝐴𝑐}。这代表了与事件 𝐴 有关的四种情况：一定发生， 一定不发生，𝐴 发生，𝐴 不发生。这个 𝜎 代数包含了 𝐴 是否发生的信息，如果 关于 𝜔 ∈ Ω 知道 𝐴 是否发生的信息，则对任意 𝐶 ∈ ({𝐴}) 都可以判断 𝜔 ∈ 𝐶 是否成立。 比如，设概率空间 Ω 为掷一次骰子的结果，则 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 令 𝐴 表示 “掷出偶数点”，则 𝜎({𝐴}) = {Ω, ∅, {2, 4, 6}, {1, 3, 5}}. 这个 𝜎 代数包含了是否掷出偶数点的信息，对 𝜔 ∈ Ω，如果我们知道其奇偶信 息，则对任意 𝐶 ∈ 𝜎({𝐴}) 都可以判断 𝜔 ∈ 𝐶 是否成立。所以 “知道 𝜎({𝐴}) 的信息”，准确含义是对任意 𝜔 ∈ Ω 以及任意 𝐶 ∈ 𝜎({𝐴})，都可以判断 𝜔 ∈ 𝐴 是否成立。 如果要研究掷一次骰子结果为 2 点或 3 点的问题，则令 𝐵 表示 “结果为 2 点 或 3 点”，𝜎 代数为 𝜎({𝐵}) = {Ω, ∅, {2, 3}, {1, 4, 5, 6}}. 这个 𝜎 代数包含了是否掷出 2 点或 3 点的信息。 例 1.5. 如果想分别研究掷一次骰子出现 2 以及出现 3 的问题，就需要将 2 点 和 3 点作为两个事件。令 𝐴 表示 2 点，𝐵 表示 3 点，则 𝜎 代数为 𝜎({𝐴, 𝐵}) ={Ω, ∅, 𝐴, 𝐵, 𝐴𝑐 , 𝐵𝑐 , 𝐴 ∪ 𝐵, (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐} ={Ω, ∅, {2}, {1, 3, 4, 5, 6}, {3}, {1, 2, 4, 5, 6}, {2, 3}, {1, 4, 5, 6}} 注意在本例中 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅，否则还要包含 𝐴 ∩ 𝐵，𝐴\𝐵, 𝐵\𝐴
12CHAPTER1.预备知识例1.6.考虑连续抛掷3此硬币的问题，给出有关的α代数。解答：用H表示正面，T表示反面2是所有23=8种结果的集合，?是所有的28个2子集的集合。令AH=HHH,HHT,HTH,HTT),AT =THH,THT,TTH,TTT) = AH, =o((AH))= [2,0,AH,AT),则，包含了第一次抛掷的结果信息，如果对wE2已知第一次抛掷结果（可以不知道随后两次的结果信息），则对任意CE，都可以判断wEC是否成立。令AHH =[HHH,HHT)AHT =[HTH,HTT),ATH={THH,THT)ATT =TTH,TTT}, =O(AHH,AHT,ATH,ATT)),则，包含了前两次抛掷的结果信息，如果对wE2已知前两次抛掷的具体结果（可以不知道第三次具体结果），则对任意CE，，可以判断wEC是否成立。3=则包含了所有三次抛掷的结果信息，对wE2，必须明确知道w的三次抛掷的所有信息，才能对3中每个事件C都能判断是否wEC。有91C92C93所包含的信息是逐次递增的。总之，对于一个α代数9，“知道9的信息”，含义是对任意wE和任意CE9，都可以判断wEC是否成立。例1.7.一些典型的α代数：.最小代数，也称平凡。代数，为{2，の)：。最大α代数，即2的所有子集组成的集合族，这是一个代数，记作2？：.事件A生成的代数α((A))={2,0,A,A：
12 CHAPTER 1. 预备知识 例 1.6. 考虑连续抛掷 3 此硬币的问题，给出有关的 𝜎 代数。 解答：用 𝐻 表示正面，𝑇 表示反面 Ω 是所有 2 3 = 8 种结果的集合，F 是所 有的 2 8 个 Ω 子集的集合。令 𝐴𝐻 ={𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇 , 𝐻𝑇 𝐻, 𝐻𝑇 𝑇 }, 𝐴𝑇 ={𝑇 𝐻𝐻, 𝑇 𝐻𝑇 , 𝑇 𝑇 𝐻, 𝑇 𝑇 𝑇 } = 𝐴𝑐 𝐻, F1 =𝜎({𝐴𝐻}) = {Ω, ∅, 𝐴𝐻, 𝐴𝑇 }, 则 F1 包含了第一次抛掷的结果信息，如果对 𝜔 ∈ Ω 已知第一次抛掷结果（可 以不知道随后两次的结果信息），则对任意 𝐶 ∈ F1 都可以判断 𝜔 ∈ 𝐶 是否成 立。 令 𝐴𝐻𝐻 ={𝐻𝐻𝐻, 𝐻𝐻𝑇 } 𝐴𝐻𝑇 ={𝐻𝑇 𝐻, 𝐻𝑇 𝑇 }, 𝐴𝑇 𝐻 ={𝑇 𝐻𝐻, 𝑇 𝐻𝑇 } 𝐴𝑇 𝑇 ={𝑇 𝑇 𝐻, 𝑇 𝑇 𝑇 } F2 =𝜎({𝐴𝐻𝐻, 𝐴𝐻𝑇 , 𝐴𝑇 𝐻, 𝐴𝑇 𝑇 }), 则 F2 包含了前两次抛掷的结果信息，如果对 𝜔 ∈ Ω 已知前两次抛掷的具体结 果（可以不知道第三次具体结果），则对任意 𝐶 ∈ F2，可以判断 𝜔 ∈ 𝐶 是否 成立。 F3 = F 则包含了所有三次抛掷的结果信息，对 𝜔 ∈ Ω，必须明确知道 𝜔 的三 次抛掷的所有信息，才能对 F3 中每个事件 𝐶 都能判断是否 𝜔 ∈ 𝐶。有 F1 ⊂ F2 ⊂ F3 , 所包含的信息是逐次递增的。 总之，对于一个 𝜎 代数 G ，“知道 G 的信息”，含义是对任意 𝜔 ∈ Ω 和任意 𝐶 ∈ G ，都可以判断 𝜔 ∈ 𝐶 是否成立。 例 1.7. 一些典型的 𝜎 代数： • 最小 𝜎 代数，也称平凡 𝜎 代数，为 {Ω, ∅}； • 最大 𝜎 代数，即 Ω 的所有子集组成的集合族，这是一个 𝜎 代数，记作 2 Ω； • 事件 𝐴 生成的 𝜎 代数 𝜎({𝐴}) = {Ω, ∅, 𝐴, 𝐴𝑐}；
131.1.概率空间·分割形成的代数：设集合AC2,i=1.,n，互不相交，2=U-A,称【Ai=1,.，n}为2的一个分割，o（Ai，.，A）是有2n个元素的α代数，表示将样本空间简化为仅考虑这n个事件的信息。定义1.2.设2=R.由所有半无限区间（-0,生成的α代数（即包含集族[(一oo,a],ER)的最小代数）称为R上的Borel α代数，记为(R)，其中的元素称为Borel集合，B（R）的每个成员都是区间或者区间的有限并集或者可列并集，类似地，可定义R上的Borelα代数B(R")，如B(Rn) =o(((-00,ril × ... × (-00, nl : (r1...., rn) E Rn))1.1.3集合极限定义1.3.设【An，n≥1)为一集合序列.令limsupA=OUAkn-ocn=1k=nUOAliminfA,=n→n=1k=n分别称其为（A,}的上极限和下极限。上极限有时也记为（A,，i.o.]显然有limsupAn={ww属于无穷多个An]n→o=(w|Vn E N,3k ≥ n, 使w EA,];liminfAn={wlw至多不属于有限多个An)=[wnEN,V≥n,有wEA,])显然liminfn→A,的条件更严格，而limsuPn→An的条件更宽松，有lim infAn C lim supAnn-→n→oo定义1.4.设[An，n≥1)为一集合序列，且liminfn-ooAn=limsupn-→An，则称【An）的极限存在，并用limn-→oA，表示，即令lim, An = lim inf A, = lim sup Ann→o
1.1. 概率空间 13 • 分割形成的 𝜎 代数：设集合 𝐴𝑖 ⊂ Ω, 𝑖 = 1, . , 𝑛，互不相交，Ω = ⋃ 𝑛 𝑖=1 𝐴𝑖， 称 {𝐴𝑖 , 𝑖 = 1, . , 𝑛} 为 Ω 的一个分割，𝜎({𝐴1 , . , 𝐴𝑛}) 是有 2 𝑛 个元素 的 𝜎 代数，表示将样本空间简化为仅考虑这 𝑛 个事件的信息。 定义 1.2. 设 Ω = ℝ. 由所有半无限区间 (−∞, 𝑥] 生成的 𝜎 代数 (即包含集族 {(−∞, 𝑥], 𝑥 ∈ ℝ} 的最小 𝜎 代数) 称为 ℝ 上的 Borel 𝜎 代数, 记为 B(ℝ), 其 中的元素称为 Borel 集合. B(ℝ) 的每个成员都是区间或者区间的有限并集或者可列并集。 类似地，可定义 ℝ 𝑛 上的 Borel 𝜎 代数 B(ℝ𝑛)，如 B(ℝ𝑛) = 𝜎({(−∞, 𝑥1 ] × ⋯ × (−∞, 𝑥𝑛] ∶ (𝑥1 , . , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛}). 1.1.3 集合极限 定义 1.3. 设 {𝐴𝑛, 𝑛 ≥ 1} 为一集合序列. 令 lim sup 𝑛→∞ 𝐴𝑛 = ∞ ⋂ 𝑛=1 ∞ ⋃ 𝑘=𝑛 𝐴𝑘 ; lim inf 𝑛→∞ 𝐴𝑛 = ∞ ⋃ 𝑛=1 ∞ ⋂ 𝑘=𝑛 𝐴𝑘 , 分别称其为 {𝐴𝑛} 的上极限和下极限。上极限有时也记为 {𝐴𝑛, i.o.} 显然有 lim sup 𝑛→∞ 𝐴𝑛 ={𝜔|𝜔属于无穷多个𝐴𝑛} ={𝜔|∀𝑛 ∈ ℕ, ∃𝑘 ≥ 𝑛, 使𝜔 ∈ 𝐴𝑘}; lim inf 𝑛→∞ 𝐴𝑛 ={𝜔|𝜔至多不属于有限多个𝐴𝑛} ={𝜔|∃𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑘 ≥ 𝑛, 有𝜔 ∈ 𝐴𝑘}. 显然 lim inf𝑛→∞ 𝐴𝑛 的条件更严格，而 lim sup𝑛→∞ 𝐴𝑛 的条件更宽松，有 lim inf 𝑛→∞ 𝐴𝑛 ⊂ lim sup 𝑛→∞ 𝐴𝑛. 定义 1.4. 设 {𝐴𝑛, 𝑛 ≥ 1} 为一集合序列，且 lim inf𝑛→∞ 𝐴𝑛 = lim sup𝑛→∞ 𝐴𝑛， 则称 {𝐴𝑛} 的极限存在，并用 lim𝑛→∞ 𝐴𝑛 表示，即令 lim𝑛→∞ 𝐴𝑛 = lim inf 𝑛→∞ 𝐴𝑛 = lim sup 𝑛→∞ 𝐴𝑛