工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 于江吕旭滨秦拥军 Experimental study on concrete beams without web reinforcement based on fractal theory YU Jiang.L Xu-bin,QIN Yong-jun 引用本文： 于江，吕旭滨，秦拥军.基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能[J.工程科学学报，2021,43(10：1385-1396.doi: 10.13374j.issn2095-9389.2020.03.19.003 YU Jiang,L Xu-bin,QIN Yong-jun.Experimental study on concrete beams without web reinforcement based on fractal theory[J]. Chinese Journal of Engineering,.2021,43(10:1385-1396.doi:10.13374j.issn2095-9389.2020.03.19.003 在线阅读View online::https:/doi.org/10.13374.issn2095-9389.2020.03.19.003 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 锈蚀植筋下新老混凝土黏结面压剪试验研究 Experimental research on load-shear performance of interface between new and old concrete with corroded planting bar 工程科学学报.2018.40(1)：23 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.01.004 初始损伤对混凝土硫酸盐腐蚀劣化性能的影响 Influence of initial damage on degradation and deterioration of concrete under sulfate attack 工程科学学报.2017,398：1278 https:1doi.org10.13374.issn2095-9389.2017.08.019 聚丙烯纤维加筋固化尾砂强度及变形特性 Strength and deformation properties of polypropylene fiber-reinforced cemented tailings backfill 工程科学学报.2019,41(12：1618htps:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.12.14.002 缝合线分形特征及其对石灰岩强度的影响 Stylolite fractal characteristics and the influence of stylolite on strength of limestone 工程科学学报.2017,3912头：1802 https:/oi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.12.004 侧向冲击荷载下钢筋混凝土墩柱的性能 Performance of reinforced concrete pier columns subjected to lateral impact 工程科学学报.2019.41(3：408 https:/doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.03.015 方钢约束混凝土拱架补强机制研究及应用 Study and application of strengthening mechanism of square confined concrete arch with grouting holes 工程科学学报.2017,398)：1141 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.08.002
基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 于江 吕旭滨 秦拥军 Experimental study on concrete beams without web reinforcement based on fractal theory YU Jiang, L Xu-bin, QIN Yong-jun 引用本文: 于江, 吕旭滨, 秦拥军. 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能[J]. 工程科学学报, 2021, 43(10): 1385-1396. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.03.19.003 YU Jiang, L Xu-bin, QIN Yong-jun. Experimental study on concrete beams without web reinforcement based on fractal theory[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(10): 1385-1396. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.03.19.003 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.03.19.003 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 锈蚀植筋下新老混凝土黏结面压剪试验研究 Experimental research on load-shear performance of interface between new and old concrete with corroded planting bar 工程科学学报. 2018, 40(1): 23 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.01.004 初始损伤对混凝土硫酸盐腐蚀劣化性能的影响 Influence of initial damage on degradation and deterioration of concrete under sulfate attack 工程科学学报. 2017, 39(8): 1278 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.08.019 聚丙烯纤维加筋固化尾砂强度及变形特性 Strength and deformation properties of polypropylene fiber-reinforced cemented tailings backfill 工程科学学报. 2019, 41(12): 1618 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.12.14.002 缝合线分形特征及其对石灰岩强度的影响 Stylolite fractal characteristics and the influence of stylolite on strength of limestone 工程科学学报. 2017, 39(12): 1802 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.004 侧向冲击荷载下钢筋混凝土墩柱的性能 Performance of reinforced concrete pier columns subjected to lateral impact 工程科学学报. 2019, 41(3): 408 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.03.015 方钢约束混凝土拱架补强机制研究及应用 Study and application of strengthening mechanism of square confined concrete arch with grouting holes 工程科学学报. 2017, 39(8): 1141 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.08.002
工程科学学报.第43卷，第10期：1385-1396.2021年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.10:1385-1396,October 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.03.19.003;http://cje.ustb.edu.cn 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 于江区，吕旭滨，秦拥军 新疆大学建筑工程学院，乌鲁木齐830047 ☒通信作者，E-mail:1332506524@94com 摘要基于裂缝的发展及分布形态，探究无腹筋混凝土梁在不同剪跨比和纵筋配筋率作用下的剪切性能，采用剪跨比分别 为1.5、2、2.5和纵筋配筋率分别为1.28%、1.62%、1.99%的9组无腹筋混凝土梁进行四点加载受剪试验，通过应用分形几何理 论对试验梁表面的裂缝进行分析，使用盒计数法计算得到分级荷载及极限荷载作用下梁表面裂缝的分形维数，探讨了梁表面 分形维数与极限荷载、分级荷载及跨中挠度之间的关系.结果表明：剪跨比与极限荷载及开裂荷载成反比，而纵筋配筋率与极 限荷载成正比，但其对于开裂荷载的影响较小.无腹筋混凝土梁不论在分级加载作用下还是极限荷载作用下都具备明显的分 形特征.在分级荷载作用下的分形维数在0.964~1.449.在极限荷载作用下的分形维数在1.33附近.分级荷载、跨中挠度与分 形维数之间呈现较好的对数关系，分级荷载与分形维数的变化曲线受剪跨比及梁纵筋配筋率的影响具有一定的规律性，而跨 中挠度受剪跨比的影响较小，在纵筋配筋率作用下，其曲线的曲率呈现出先增大后减小的趋势，但极限荷载与分形维数之间的关系 具有一定的差异性，极限荷载会随着剪跨比的增大呈现出先增大后减小的趋势，随着纵筋配筋率的增大呈现出的差异性较大 关键词无腹筋：混凝土：分形理论：剪跨比：纵筋配筋率 分类号TU375.1 Experimental study on concrete beams without web reinforcement based on fractal theory YU Jiang,LU Xu-bin,QIN Yong-jun School of Civil Engineering and Architecture,Xinjiang University,Urumqi 830047,China Corresponding author,E-mail:1332506524@qq.com ABSTRACT Based on the development and distribution of cracks,we explored the shear performance of concrete beams without web reinforcement under different shear span ratios and longitudinal reinforcement ratios.Nine groups of concrete beams without web reinforcement with shear-span ratios of 1.5,2,2.5 and longitudinal reinforcement ratios of 1.28%,1.62%,and 1.99%were used for four- point loading shear tests.The cracks on the surface of the test beam were analyzed by applying fractal geometry theory,and the box counting method was used to calculate the fractal dimension of the cracks on the surface of the beam under the effect of the graded load and the ultimate load.The relationship among the fractal dimension of the beam surface,the ultimate load,the graded load and the span was discussed.The results show that the shear-span ratio is inversely proportional to the ultimate load and cracking load,while the longitudinal reinforcement ratio is directly proportional to the ultimate load and exhibit a small influence on the cracking load.Concrete beams without web reinforcement have obvious fractal characteristics under the effect of graded loading or ultimate load.The fractal dimension under the effect of graded load is0.964-1.449,and the fractal dimension under the effect of ultimate load is around 1.33.The graded load,mid-span deflection and fractal dimension show a good logarithmic relationship.The change curve of graded load and fractal dimension is affected by the shear-span ratio and the beam longitudinal reinforcement ratio.The intermediate deflection is less 收稿日期：202003-19 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51668060)
基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 于 江苣，吕旭滨，秦拥军 新疆大学建筑工程学院，乌鲁木齐 830047 苣通信作者， E-mail：1332506524@qq.com 摘 要 基于裂缝的发展及分布形态，探究无腹筋混凝土梁在不同剪跨比和纵筋配筋率作用下的剪切性能，采用剪跨比分别 为 1.5、2、2.5 和纵筋配筋率分别为 1.28%、1.62%、1.99% 的 9 组无腹筋混凝土梁进行四点加载受剪试验，通过应用分形几何理 论对试验梁表面的裂缝进行分析，使用盒计数法计算得到分级荷载及极限荷载作用下梁表面裂缝的分形维数，探讨了梁表面 分形维数与极限荷载、分级荷载及跨中挠度之间的关系. 结果表明：剪跨比与极限荷载及开裂荷载成反比，而纵筋配筋率与极 限荷载成正比，但其对于开裂荷载的影响较小. 无腹筋混凝土梁不论在分级加载作用下还是极限荷载作用下都具备明显的分 形特征，在分级荷载作用下的分形维数在 0.964～1.449，在极限荷载作用下的分形维数在 1.33 附近. 分级荷载、跨中挠度与分 形维数之间呈现较好的对数关系，分级荷载与分形维数的变化曲线受剪跨比及梁纵筋配筋率的影响具有一定的规律性，而跨 中挠度受剪跨比的影响较小，在纵筋配筋率作用下，其曲线的曲率呈现出先增大后减小的趋势，但极限荷载与分形维数之间的关系 具有一定的差异性，极限荷载会随着剪跨比的增大呈现出先增大后减小的趋势，随着纵筋配筋率的增大呈现出的差异性较大. 关键词 无腹筋；混凝土；分形理论；剪跨比；纵筋配筋率 分类号 TU375.1 Experimental study on concrete beams without web reinforcement based on fractal theory YU Jiang苣 ，LÜ Xu-bin，QIN Yong-jun School of Civil Engineering and Architecture, Xinjiang University, Urumqi 830047, China 苣 Corresponding author, E-mail: 1332506524@qq.com ABSTRACT Based on the development and distribution of cracks, we explored the shear performance of concrete beams without web reinforcement under different shear span ratios and longitudinal reinforcement ratios. Nine groups of concrete beams without web reinforcement with shear-span ratios of 1.5, 2, 2.5 and longitudinal reinforcement ratios of 1.28%, 1.62%, and 1.99% were used for fourpoint loading shear tests. The cracks on the surface of the test beam were analyzed by applying fractal geometry theory, and the box counting method was used to calculate the fractal dimension of the cracks on the surface of the beam under the effect of the graded load and the ultimate load. The relationship among the fractal dimension of the beam surface, the ultimate load, the graded load and the span was discussed. The results show that the shear-span ratio is inversely proportional to the ultimate load and cracking load, while the longitudinal reinforcement ratio is directly proportional to the ultimate load and exhibit a small influence on the cracking load. Concrete beams without web reinforcement have obvious fractal characteristics under the effect of graded loading or ultimate load. The fractal dimension under the effect of graded load is 0.964–1.449, and the fractal dimension under the effect of ultimate load is around 1.33. The graded load, mid-span deflection and fractal dimension show a good logarithmic relationship. The change curve of graded load and fractal dimension is affected by the shear-span ratio and the beam longitudinal reinforcement ratio. The intermediate deflection is less 收稿日期: 2020−03−19 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51668060） 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期：1385−1396，2021 年 10 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 10: 1385−1396, October 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.03.19.003; http://cje.ustb.edu.cn
·1386 工程科学学报，第43卷，第10期 affected by the shear-span ratio.Under the effect of the longitudinal reinforcement ratio,the curvature of the curve shows a trend of first increasing and then decreasing,but the relationship between the ultimate load and the fractal dimension has certain differences.The ultimate load first increases and then decreases with the increase of the shear span ratio,and the difference is greater with the increase of the longitudinal reinforcement ratio. KEY WORDS abdominal reinforcement;concrete;fractal theory;shear span ratio;longitudinal reinforcement ratio 混凝土是由粗、细骨料、水泥水化物、未水化 论与损伤力学描述了分形维数D与损伤变量k之 水泥颗粒、孔隙及裂缝等组成的非均匀多相材料 间的联系.Carpinteri等利用分形理论对混凝土与 且由于其成型工艺养护条件等原因，在混凝土搅 岩石的尺寸效应进行了深入的研究，秦子鹏 拌成型前，在其内部已经具有了大量的毛细孔及 等I7探究BFRP布加固钢筋混凝土梁抗弯性能的 微裂纹等初始缺陷四，这些初始裂纹缺陷经过萌 分形效应，周瑞忠分析了混凝土裂纹宽度的分 生，发展，成核几个阶段最终形成宏观的裂纹并导 形现象，验证了裂纹宽度亦具有尺寸效应 致混凝土构件发生破坏四其裂纹发展往往呈现出 上述研究成果表明，分形理论可以利用混凝 “Z”字状并在宏观裂纹四周延伸出众多纵横交错 土的表面裂缝定性地描述混凝土受载过程中的剪 的微小裂纹，这种具有随机性的裂纹分布使得构 切性能，本文通过不同剪跨比及纵筋配筋率作用 件破断裂面呈现出凹凸不平的形态.分形理论被 下的无腹筋混凝土梁的试验加载结果，分析了无 看作为分析处理材料中的不规则现象的一种新型 腹筋混凝土梁在剪切破坏下梁表面的裂缝发展趋 手段，现被广泛应用在混凝土等众多具有大量非 势及分布形式，验证了梁在受载过程中不同剪跨 线性分布的微观、宏观裂纹缺陷的多相复合材料 比作用下的无腹筋混凝土梁表面裂缝的分布具有 对于无腹筋混凝土梁的受剪破坏研究一般采用经 分形特征，并获得其在加载全过程中每级荷载所 典损伤力学、断裂力学等理论进行研究，但利用传 对应的分形维数D:研究了全梁区域的表面裂缝 统的力学分析手段很难对这些混凝土裂缝损伤缺 分形维数与荷载、极限承载力、跨中挠度及延性 陷进行精确的判断，只是局限于某一层面上的解 系数之间的关系.分析的结论可以为无腹筋混凝 释，在实际工程应用中表现较好，但在理论上还是 土梁剪切性能方面的研究及实际工程中分形理论 会有或多或少的不足间，因此我们尝试采用可以定 的运用提供理论依据 量分析描述斜裂纹发展分布等特征的分形理论对 2试验概况 混凝土的裂缝损伤进行分析.本文通过9根无腹 筋混凝土梁试验，应用分形理论得出了在不同剪 2.1试验原材料与配合比 跨比作用下无腹筋混凝土梁斜裂缝的分布规律， 本次试验采用红雁牌PO425普通硅酸盐水 泥，其化学性能如表1，粗骨料采用新疆乌鲁木齐 证明了分形理论是分析无腹筋梁表面裂缝中一种 十分有效的方法 市乌拉泊采石场连续级配为5~25mm的天然卵 石，其物理性能如表2，细骨料选用乌鲁木齐地区 1分形理论 的中砂，细度模数为2.9，表观密度为2640kgm3, 拌合水采用乌鲁木齐当地自来水， 分形理论于l975年被Mandelbrot与Wheeler 定义，被用作分析描述具有“不规则、不平整”等 表1水泥的化学成分（质量分数） 特性的物体.分形维数D是描述结构分形现象特 Table 1 Chemical composition of cement % 征过程中的一个量化定义可，分形理论要求结构应 SiO2 Al2O;Fe2O:Cao Mgo SO:K2O NaO LiO 具有自相似性即结构中的任何一部分应与结构整 21.22 5.053.26 60.240.972.670.500.73- 体具有相似的特征现象.混凝土作为一种集成材 料，根据研究表明其骨料集配、微观孔结构、表面 表2粗骨料的实验性能 裂缝都具有分形效应610董毓利等山对于混凝 Table 2 Properties of coarse aggregate Water 土声发射b值及分形维数建立联系，吴科如教授 Micron Needle-like absorption Ruggedness/ Apparent content/% 及其研究团队2-通过激光法测定了混凝土断裂 rate/% content/% 宠 density/(kgm) 面的分形维数D,徐志斌与谢和平借助分形理 0.3 0.5 5 1 2640
affected by the shear-span ratio. Under the effect of the longitudinal reinforcement ratio, the curvature of the curve shows a trend of first increasing and then decreasing, but the relationship between the ultimate load and the fractal dimension has certain differences. The ultimate load first increases and then decreases with the increase of the shear span ratio, and the difference is greater with the increase of the longitudinal reinforcement ratio. KEY WORDS abdominal reinforcement；concrete；fractal theory；shear span ratio；longitudinal reinforcement ratio 混凝土是由粗、细骨料、水泥水化物、未水化 水泥颗粒、孔隙及裂缝等组成的非均匀多相材料 且由于其成型工艺养护条件等原因，在混凝土搅 拌成型前，在其内部已经具有了大量的毛细孔及 微裂纹等初始缺陷[1] ，这些初始裂纹缺陷经过萌 生，发展，成核几个阶段最终形成宏观的裂纹并导 致混凝土构件发生破坏[2] . 其裂纹发展往往呈现出 “Z”字状并在宏观裂纹四周延伸出众多纵横交错 的微小裂纹，这种具有随机性的裂纹分布使得构 件破断裂面呈现出凹凸不平的形态. 分形理论被 看作为分析处理材料中的不规则现象的一种新型 手段，现被广泛应用在混凝土等众多具有大量非 线性分布的微观、宏观裂纹缺陷的多相复合材料. 对于无腹筋混凝土梁的受剪破坏研究一般采用经 典损伤力学、断裂力学等理论进行研究，但利用传 统的力学分析手段很难对这些混凝土裂缝损伤缺 陷进行精确的判断，只是局限于某一层面上的解 释，在实际工程应用中表现较好，但在理论上还是 会有或多或少的不足[3] ，因此我们尝试采用可以定 量分析描述斜裂纹发展分布等特征的分形理论对 混凝土的裂缝损伤进行分析. 本文通过 9 根无腹 筋混凝土梁试验，应用分形理论得出了在不同剪 跨比作用下无腹筋混凝土梁斜裂缝的分布规律， 证明了分形理论是分析无腹筋梁表面裂缝中一种 十分有效的方法. 1 分形理论 分形理论于 1975 年被 Mandelbrot 与 Wheeler[4] 定义，被用作分析描述具有“不规则、不平整”等 特性的物体. 分形维数 D 是描述结构分形现象特 征过程中的一个量化定义[5] ，分形理论要求结构应 具有自相似性即结构中的任何一部分应与结构整 体具有相似的特征现象. 混凝土作为一种集成材 料，根据研究表明其骨料集配、微观孔结构、表面 裂缝都具有分形效应[6–10] . 董毓利等[11] 对于混凝 土声发射 b 值及分形维数建立联系，吴科如教授 及其研究团队[12–13] 通过激光法测定了混凝土断裂 面的分形维数 D，徐志斌与谢和平[14] 借助分形理 论与损伤力学描述了分形维数 D 与损伤变量 k 之 间的联系. Carpinteri 等利用分形理论对混凝土与 岩石的尺寸效应进行了深入的研究[15– 16] ，秦子鹏 等[17] 探究 BFRP 布加固钢筋混凝土梁抗弯性能的 分形效应，周瑞忠[18] 分析了混凝土裂纹宽度的分 形现象，验证了裂纹宽度亦具有尺寸效应. 上述研究成果表明，分形理论可以利用混凝 土的表面裂缝定性地描述混凝土受载过程中的剪 切性能，本文通过不同剪跨比及纵筋配筋率作用 下的无腹筋混凝土梁的试验加载结果，分析了无 腹筋混凝土梁在剪切破坏下梁表面的裂缝发展趋 势及分布形式，验证了梁在受载过程中不同剪跨 比作用下的无腹筋混凝土梁表面裂缝的分布具有 分形特征，并获得其在加载全过程中每级荷载所 对应的分形维数 D；研究了全梁区域的表面裂缝 分形维数与荷载、极限承载力、跨中挠度及延性 系数之间的关系. 分析的结论可以为无腹筋混凝 土梁剪切性能方面的研究及实际工程中分形理论 的运用提供理论依据. 2 试验概况 2.1 试验原材料与配合比 本次试验采用红雁牌 P·O 42.5 普通硅酸盐水 泥，其化学性能如表 1，粗骨料采用新疆乌鲁木齐 市乌拉泊采石场连续级配为 5～25 mm 的天然卵 石，其物理性能如表 2，细骨料选用乌鲁木齐地区 的中砂，细度模数为 2.9，表观密度为 2640 kg·m–3 ， 拌合水采用乌鲁木齐当地自来水. 表 1 水泥的化学成分 (质量分数) Table 1 Chemical composition of cement % SiO2 Al2O3 Fe2O3 CaO MgO SO3 K2O Na2O Li2O 21.22 5.05 3.26 60.24 0.97 2.67 0.50 0.73 — 表 2 粗骨料的实验性能 Table 2 Properties of coarse aggregate Micron content/% Water absorption rate/% Needle-like content/% Ruggedness/ % Apparent density/(kg·m–3) 0.3 0.5 5 1 2640 · 1386 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
于江等：基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 1387· 2.2试验方案 2根纵筋.梁的腹部不设架立筋及箍筋，在支座外设立 试件采用矩形截面简支梁，梁长1800mm,净跨为 3根直径为6mm的HPB300的箍筋，间距为60mm, 1400mm,矩形截面尺寸是150mm×250mm,梁底设立 保护层厚度为20mm,图1为梁的尺寸及配筋图. 20 6@60 6@60 2(16、18、20) 1504 200 1400 200 1-1 1800 图1无腹筋梁尺寸及配筋图（单位：mm) Fig.I Dimensions and reinforcement drawing of girder without rib(Unit:mm) 为了研究不同剪跨比入及纵筋配筋率作用下 的延性相对更大；挑选纵筋配筋率作为一个主要 无腹筋梁表面裂缝的分形特征与抗剪性能间的联 因素，是为了一方面得到其对无腹筋梁受剪性能 系，本次试验设计采用9根试验梁，共分成3组， 的影响，另一方面通过分形维数得到其对裂纹扩 而剪跨比对无腹筋梁受剪破坏影响程度最大，由 展的影响程度.因此选取下述剪跨比及纵筋配筋率 于不配置腹筋，在此不考虑腹筋率作用，纵筋配筋 因此第一组梁的纵筋配筋率为1.28%，第二组为 率影响次之，为了贴近实际工程应用，设定梁发生 1.62%,第三组为1.99%，且每组设定剪跨比依次为 剪压破坏(1<>3)与适筋破坏，对比斜拉与斜压破 1.5、2、2.5,并分别测试与每组梁同条件养护条件下 坏，剪压破坏延性较大，脆性较低，为了确保试件 的混凝土立方体试块抗压强度，试验参数见表3 表3试件参数信息 Table 3 Parameter information of test pieces Numbering Size/mm Compressive strength/MPa Reinforcement diameter/mm Longitudinal strength Shear span ratio Reinforcement ratio/% WL-I 1800×150×250 41.031 16 HRB400 1.5 1.28 WL-2 1800x150×250 44.103 16 HRB400 2 1.28 WL-3 1800×150×250 42.772 6 HRB400 2.5 1.28 WL4 1800×150×250 38.467 18 HRB400 1.5 1.62 WL-5 1800×150×250 37.003 18 HRB400 2 1.62 WL-6 1800×150×250 36.832 18 HRB400 2.5 1.62 WL-7 1800×150×250 38.607 20 HRB400 1.5 1.99 WL-8 1800×150×250 38.471 20 HRB400 2 1.99 WL-9 1800×150×250 46.219 20 HRB400 2.5 1.99 2.3试验加载方案 改为每级5kN加载，直至梁发生破坏，试验加载装 按照GB50152一2012《混凝土结构试验方法 置及位移计布置图如图2所示 标准》对无腹筋混凝土梁进行四点加载，并在梁顶 试验加载过程中详细记录裂缝的发展趋势与 端放置一个分配梁将力分导为2个对称的集中荷 相应的荷载值，并使用DH3816采集箱采集应变 载，试验加载装置采用液压千斤顶，由于试验条件 (纵筋、跨中混凝土、应变片花)、跨中与支座处的 有限，未采用位移加载选用力加载方式，且为了方 位移及荷载值等数据 便控制加卸载速度和观测分析结构的各种变化， 3试验结果分析 也为了统一各点的加载步调采用分级加载的方 式，加载后持续3min用以记录梁的裂缝等，在梁 3.1梁表面裂缝分布 出现裂缝前采用每级5kN加载，出现裂缝后以 基于试验过程的观察，当9根无腹筋梁受到 10kN加载，当加载到试验梁破坏荷载的90%时， 荷载作用时，在到达开裂荷载之前，并无任何现
2.2 试验方案 试件采用矩形截面简支梁，梁长 1800 mm，净跨为 1400 mm，矩形截面尺寸是 150 mm×250 mm，梁底设立 2 根纵筋，梁的腹部不设架立筋及箍筋，在支座外设立 3 根直径为 6 mm 的 HPB300 的箍筋，间距为 60 mm， 保护层厚度为 20 mm，图 1 为梁的尺寸及配筋图. 250 200 ϕ6@60 20 20 250 150 ϕ6@60 2ϕ(16、18、20) 200 1-1 1400 1 1 1800 图 1 无腹筋梁尺寸及配筋图（单位: mm） Fig.1 Dimensions and reinforcement drawing of girder without rib (Unit: mm) 为了研究不同剪跨比 λ 及纵筋配筋率作用下 无腹筋梁表面裂缝的分形特征与抗剪性能间的联 系，本次试验设计采用 9 根试验梁，共分成 3 组 ， 而剪跨比对无腹筋梁受剪破坏影响程度最大，由 于不配置腹筋，在此不考虑腹筋率作用，纵筋配筋 率影响次之，为了贴近实际工程应用，设定梁发生 剪压破坏（13）与适筋破坏，对比斜拉与斜压破 坏，剪压破坏延性较大，脆性较低，为了确保试件 的延性相对更大；挑选纵筋配筋率作为一个主要 因素，是为了一方面得到其对无腹筋梁受剪性能 的影响，另一方面通过分形维数得到其对裂纹扩 展的影响程度. 因此选取下述剪跨比及纵筋配筋率. 因此第一组梁的纵筋配筋率为 1.28%，第二组为 1.62%，第三组为 1.99%，且每组设定剪跨比依次为 1.5、2、2.5，并分别测试与每组梁同条件养护条件下 的混凝土立方体试块抗压强度，试验参数见表 3. 表 3 试件参数信息 Table 3 Parameter information of test pieces Numbering Size/mm Compressive strength/MPa Reinforcement diameter/mm Longitudinal strength Shear span ratio Reinforcement ratio/% WL-1 1800×150×250 41.031 16 HRB400 1.5 1.28 WL-2 1800×150×250 44.103 16 HRB400 2 1.28 WL-3 1800×150×250 42.772 16 HRB400 2.5 1.28 WL-4 1800×150×250 38.467 18 HRB400 1.5 1.62 WL-5 1800×150×250 37.003 18 HRB400 2 1.62 WL-6 1800×150×250 36.832 18 HRB400 2.5 1.62 WL-7 1800×150×250 38.607 20 HRB400 1.5 1.99 WL-8 1800×150×250 38.471 20 HRB400 2 1.99 WL-9 1800×150×250 46.219 20 HRB400 2.5 1.99 2.3 试验加载方案 按照 GB 50152—2012《混凝土结构试验方法 标准》对无腹筋混凝土梁进行四点加载，并在梁顶 端放置一个分配梁将力分导为 2 个对称的集中荷 载，试验加载装置采用液压千斤顶，由于试验条件 有限，未采用位移加载选用力加载方式，且为了方 便控制加卸载速度和观测分析结构的各种变化， 也为了统一各点的加载步调采用分级加载的方 式，加载后持续 3 min 用以记录梁的裂缝等，在梁 出现裂缝前采用每级 5 kN 加载，出现裂缝后以 10 kN 加载，当加载到试验梁破坏荷载的 90% 时， 改为每级 5 kN 加载，直至梁发生破坏，试验加载装 置及位移计布置图如图 2 所示. 试验加载过程中详细记录裂缝的发展趋势与 相应的荷载值，并使用 DH3816 采集箱采集应变 （纵筋、跨中混凝土、应变片花）、跨中与支座处的 位移及荷载值等数据. 3 试验结果分析 3.1 梁表面裂缝分布 基于试验过程的观察，当 9 根无腹筋梁受到 荷载作用时，在到达开裂荷载之前，并无任何现 于 江等： 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 · 1387 ·
·1388 工程科学学报.第43卷，第10期 (a) Reaction beam/人 人Hlydraulic jacks Displacement meter Distribution Force sensor Displacement meter beam Strain Strain gauge gauge tlower flower Strain gauges 200mm315mm 770mm ↓315mm200mm 1800mm (b) Reaction beam Hydraulic jacks Displacement meter Distribution Force sensor Displacement meter beam A Strain _Strain gauge gauge flower Strain gauges flower 200mm 420mm 560mm 420mm 200mm 1800mm (c) Reaction beam Hydraulic jacks Displacement meter Distribution Force sensor/ Displacement meter beam Strain Strain eauge gauge Strain gauges flower 200mm 525mm 350mm 525mm 200mm 1800mm (d) 图2加载装置布置图.(a)1=1.5:(b)1=2:(c)1=2.5:(d)现场布置图 Fig.2 Load device layout:(a)=1.5;(b)=2;(c)=2.5;(d)site layout 象产生，当加载到极限荷载的20%~25%时，在 段距离后将会沿斜向发展，并且发展的较为迅速 梁的跨中底部会率先出现数条微小的垂直裂缝， 进而演变成一条沿梁高贯穿的临界斜裂缝，其总 随后在无腹筋梁的弯剪区的受拉区边缘产生一 体发展走向是沿支座到加载点部位，而此时跨中 些垂直裂缝，这些垂直裂缝沿垂直方向发展一小 的裂缝也已停止发展且最终停留在梁的23高
象产生，当加载到极限荷载的 20%～25% 时，在 梁的跨中底部会率先出现数条微小的垂直裂缝， 随后在无腹筋梁的弯剪区的受拉区边缘产生一 些垂直裂缝，这些垂直裂缝沿垂直方向发展一小 段距离后将会沿斜向发展，并且发展的较为迅速 进而演变成一条沿梁高贯穿的临界斜裂缝，其总 体发展走向是沿支座到加载点部位，而此时跨中 的裂缝也已停止发展且最终停留在梁的 2/3 高 Reaction beam Hydraulic jacks Distribution beam Distribution beam Force sensor Reaction beam Hydraulic jacks Force sensor 250 mm 250 mm Strain gauge flower Strain gauge flower Strain gauge flower Strain gauge flower Strain gauge flower Strain gauge flower Strain gauges Strain gauges Displacement meter Displacement meter Displacement meter Displacement meter 200 mm 315 mm 770 mm 315 mm 200 mm 1800 mm Reaction beam Hydraulic jacks Distribution beam Force sensor 250 mm Strain gauges Displacement meter Displacement meter 200 mm 525 mm 350 mm 525 mm 200 mm 1800 mm 200 mm 420 mm 560 mm 420 mm 200 mm 1800 mm (a) (b) (c) (d) 图 2 加载装置布置图. （a）λ = 1.5；（b）λ = 2；（c）λ = 2.5；（d）现场布置图 Fig.2 Load device layout: (a) λ = 1.5; (b) λ = 2; (c) λ = 2.5; (d) site layout · 1388 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
于江等：基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 ·1389· 度，而临界斜裂缝的出现也将导致了剪弯段剪压 坏，试验梁加载停止，图3为各组无腹筋梁受载 区高度减小，随着荷载的增加，裂缝宽度也逐渐 过程中裂缝演化分布图，其中粗线为最终主导破 增大，加载点部位混凝土被压碎，最终梁发生破 坏的裂纹 (a) (b) (c) (d" 么量z22 (e) ( (g) (h) 图3试验梁裂缝分布图.(a)WL-1:(b)WL-2:(c)WL-3:(d)WL-4:(e)WL-5:(f)WL-6:(g)WL-7:(h)WL-8:(i)WL-9 Fig.3 Crack distribution of test beam:(a)WL-1;(b)WL-2;(c)WL-3;(d)WL-4;(e)WL-5;(f)WL-6;(g)WL-7;(h)WL-8;(i)WL-9 3.2荷载-挠度曲线 1.62%的梁每级荷载所对应的跨中挠度最小.纵筋 根据试验全过程中所采集的荷载及跨中挠 配筋率为1.99%的梁跨中挠度次之.这表明纵筋配 度，并绘制荷载-挠度曲线，如图4和图5所示 筋率为1.62%的无腹筋梁延性相对较好，纵筋配筋 基于图4的曲线分布情况，在不同纵筋配筋率 率越小，梁抵抗变形能力越弱，而纵筋配筋率偏大对 p的加载作用下，1=1.5时，三种不同纵筋配筋率的 于无腹筋梁的挠度控制会起反作用，因此适当的控 无腹筋梁，每级荷载作用下的跨中挠度值差异值较 制纵筋配筋率可以有效的控制梁的挠度 小，基本处于一条直线，随着剪跨比1的增大，在不 在不同剪跨比作用下，根据图5的描述，在同 同纵筋配筋率的作用下，每级荷载所对应的挠度值 一 纵筋配筋率条件下，剪跨比越大，在同级荷载作 差异性越大，总体趋势表现为纵筋配筋率为1.28% 用下的跨中挠度值越大，剪跨比与无腹筋梁的挠 的梁在每级荷载下的挠度值最大，而纵筋配筋率为 度呈现正相关关系 而伴随着纵筋配筋率的增大， 150 200 110 (a) 140 (b) 100 (c) 180 ■-WL-1 ■-WL-2 ■WL.3 160 。-WL-4 130 。-WL-5 90 ▲-WL-7 120 ▲-WL-8 110 80 -WL-9 ,140 90 60 100 50 80 70 40 60 30 40 40 20 2 1 0 30 2 3 4 0.51.01.52.02.53.03.54.04.5 00.51.01.52.02.53.03.54.0 Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm 图4相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的荷载与挠度间关系.(a)1=1.5:(b)2=2:(c)=2.5 Fig.4 Relationship between load and deflection under the same shear-span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a)=1.5;(b)A=2; (c)1=2.5 200 200 200 180 (a) 180 (b) (c) 160 -WL-1 160 -WL-4 180 -WL-7 。WL.5 160 ●WL-8 140 WL-3 140 w-6 ▲WL-9 ◆ NA/P 120 ◆ 100 80 3 80 100 80 60 0 40 40 20 40 0 2 3 00.51.01.52.02.53.03.54.0 2 4 0.51.01.52.02.53.03.54.04.5 Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm 图5相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下荷载与挠度间的关系.(a)p=1.28%:(b)p=1.62%:(c)p=1.99% Fig.5 Relationship between load and deflection under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios:(a)p=1.28%;(b)p= 1.62%;(c)p=1.99%
度，而临界斜裂缝的出现也将导致了剪弯段剪压 区高度减小，随着荷载的增加，裂缝宽度也逐渐 增大，加载点部位混凝土被压碎，最终梁发生破 坏，试验梁加载停止. 图 3 为各组无腹筋梁受载 过程中裂缝演化分布图，其中粗线为最终主导破 坏的裂纹. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 图 3 试验梁裂缝分布图. （a）WL-1；（b）WL-2；（c）WL-3；（d）WL-4；（e）WL-5；（f）WL-6；（g）WL-7；（h）WL-8；（i）WL-9 Fig.3 Crack distribution of test beam: (a) WL-1; (b) WL-2; (c) WL-3; (d) WL-4; (e) WL-5; (f) WL-6; (g) WL-7; (h) WL-8; (i) WL-9 3.2 荷载–挠度曲线 根据试验全过程中所采集的荷载及跨中挠 度，并绘制荷载–挠度曲线，如图 4 和图 5 所示. 基于图 4 的曲线分布情况，在不同纵筋配筋率 ρ 的加载作用下，λ = 1.5 时，三种不同纵筋配筋率的 无腹筋梁，每级荷载作用下的跨中挠度值差异值较 小，基本处于一条直线，随着剪跨比 λ 的增大，在不 同纵筋配筋率的作用下，每级荷载所对应的挠度值 差异性越大，总体趋势表现为纵筋配筋率为 1.28% 的梁在每级荷载下的挠度值最大，而纵筋配筋率为 1.62% 的梁每级荷载所对应的跨中挠度最小. 纵筋 配筋率为 1.99% 的梁跨中挠度次之. 这表明纵筋配 筋率为 1.62% 的无腹筋梁延性相对较好，纵筋配筋 率越小，梁抵抗变形能力越弱，而纵筋配筋率偏大对 于无腹筋梁的挠度控制会起反作用，因此适当的控 制纵筋配筋率可以有效的控制梁的挠度. 在不同剪跨比作用下，根据图 5 的描述，在同 一纵筋配筋率条件下，剪跨比越大，在同级荷载作 用下的跨中挠度值越大，剪跨比与无腹筋梁的挠 度呈现正相关关系. 而伴随着纵筋配筋率的增大， 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2 Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm 3 4 5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.5 4.5 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Load/kN Load/kN Load/kN 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 WL-1 WL-4 WL-7 WL-2 WL-5 WL-8 WL-3 WL-6 WL-9 (a) (b) (c) 图 4 相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的荷载与挠度间关系. （a） λ = 1.5；（b）λ = 2；（c）λ = 2.5 Fig.4 Relationship between load and deflection under the same shear-span ratio and different longitudinal reinforcement ratios: (a) λ = 1.5; (b) λ = 2; (c) λ = 2.5 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 Inter-span deflection/mm Load/kN 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Load/kN 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Load/kN Inter-span deflection/mm 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 (c) Inter-span deflection/mm 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.5 (a) (b) WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 图 5 相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下荷载与挠度间的关系. （a）ρ = 1.28%；（b）ρ = 1.62%；（c）ρ = 1.99% Fig.5 Relationship between load and deflection under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios: (a) ρ = 1.28%; (b) ρ = 1.62%; (c) ρ = 1.99% 于 江等： 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 · 1389 ·
·1390 工程科学学报，第43卷，第10期 这种规律性亦表现的较为明显 InN(L) D= (1) 3.3开裂荷载与极限荷载 In WL-1、WL-2和WL-3梁在加载过程中，可以 发现伴随着剪跨比λ的增大，其开裂荷载依次减 4.2荷载作用梁表面裂纹的分形研究 小，在跨中率先产生竖向裂缝，随后在剪弯区出现 基于试验梁在分级加载过程中对裂缝的定位 竖向裂纹并逐渐发展为临界斜裂缝，最终无腹筋 及描绘，将每个试件的裂缝转换为数字图像，通过 梁产生破坏，都属于剪压破坏，其相应的极限荷载 盒计数法计算在不同等级荷载作用下的分形维 随着试验梁设定的剪跨比入的增大而逐渐减小 数，设定盒的尺寸为30~150mm,共13种尺寸，每 WL-4、WL-5、WL-6、WL-7、WL-8和WL-9发展趋 种尺寸相隔10mm,将这13种尺寸的盒网格覆盖 势与上述相同，都属于剪压破坏.图6是试验梁开 到无腹筋梁的表面，统计出存在裂缝的格子数 裂荷载及极限荷载的对比图，当剪跨比相同时，各 N(L),并绘制lnWL)-ln(I/L)的图像如图7. 组梁的开裂荷载并无明显的区别，随着纵筋配筋 由图5可以看出，基于不同剪跨比及纵筋配筋 率的增大，极限荷载也有较大的提高，且随着剪跨 率的无腹筋梁，其加载全过程中的裂缝发展分布 比的增大提高的程度也逐步增大 在不同网格尺寸覆盖下所展示的lnNL)-ln(1/L) 曲线具有明显的线性关系，这无腹筋梁表面的裂 200 Cracking load 180 Ultimate loac 缝在一定标度范围内具有分形特征.通过图7能 160 明显的发现荷载等级越大，lnN(L)-ln(l/L)曲线的 140 斜率越大，这代表其分形维数也越大.表4为在不 N/peo 120 同荷载作用下无腹筋梁表面的分形维数 根据表4所示，伴随着每级荷载的增加，分形 60 维数亦在相应的增大.而分形维数可以较好地反 20 映梁内部的损伤程度，分形维数与梁内部的损伤 0 WL-I WL-2 WL-3 WL4WL-5WL6 WL-7WL-8 WL-9 程度成正比关系，分形维数越大，无腹筋梁内部的 No web reinforcement 损伤越大.9组无腹筋梁中，最小和最大分形维数 图6开裂荷载与极限荷载对比图 (Dmn和Dmax)分别为0.964和1.449. Fig.6 Comparison of cracking load and ultimate load 4.3极限荷载作用下梁表面的分形研究 针对无腹筋梁受载破坏时梁表面裂缝分布分 4基于分形理论的试验结果分析 形维数进行探究，可以较好的分析其在不同剪跨 4.1裂缝分形维数D的理论计算 比及纵筋配筋率下的破坏形式.选取每组无腹筋 不规则的图像多种多样，并不是所有都具备 梁基于极限荷载作用下的裂缝进行计算统计，绘 分形特征，唯有在一定标度范围中满足自相似性 制lnN(L)-ln(I/L)曲线，如图8所示 的图像才被称为具有分形特征无腹筋混凝土 通过图8可以发现各组梁的lnN(L)-ln(I/L)曲 梁在加载过程中裂缝分布具有随机性，是否具有 线都具有较好的线性关系，这表明：无腹筋梁在极 分形特征还有待验证，基于分形理论对图像的分 限荷载作用下的梁表面裂缝仍然具有分形特征， 形维数的计算方法有：盒维数法20-2)、分形布朗运 不论在梁加载阶段还是破坏阶段都可以通过分形 动模型法22-2、小岛法2和投影覆盖法Ps2询等 几何学进行分析 针对混凝土梁表面裂缝的分形维数的测量一般选 图9表示在极限荷载作用下各组无腹筋梁表 用盒维数法.计算步骤为：采用规格为L×L的正方 面裂缝分形维数的对比图.通过对比图中各个试 形网格去覆盖无腹筋混凝土全梁的裂缝分布区 件的分形维数，可以发现在极限荷载作用下，各组 域，统计计算出覆盖区域内存在裂缝的网格数目 无腹筋混凝土梁表面的分形维数变化幅度不大， 并记为N(L),随后利用改变网格边长L来改变网 稳定在一个固定的界面，其数值变化范围为1.321~ 格密度并统计N(L),绘制lnNL)-ln(I/L)的图像 1.449,普遍都在1.33附近，这表明在不同剪跨比及 若关系曲线满足线性关系，则证明梁表面的裂缝 纵筋配筋率的作用下，无腹筋梁最终破坏时表面 具有自相似性27，拥有分形特征.lnN(L)-ln(1/L)关 裂缝的分形维数变化范围较小，剪跨比与纵筋配 系曲线的斜率即为分形维数.分形维数D表示为 筋率对其影响较小
这种规律性亦表现的较为明显. 3.3 开裂荷载与极限荷载 WL-1、WL-2 和 WL-3 梁在加载过程中，可以 发现伴随着剪跨比 λ 的增大，其开裂荷载依次减 小，在跨中率先产生竖向裂缝，随后在剪弯区出现 竖向裂纹并逐渐发展为临界斜裂缝，最终无腹筋 梁产生破坏，都属于剪压破坏，其相应的极限荷载 随着试验梁设定的剪跨比 λ 的增大而逐渐减小. WL-4、WL-5、WL-6、WL-7、WL-8 和 WL-9 发展趋 势与上述相同，都属于剪压破坏. 图 6 是试验梁开 裂荷载及极限荷载的对比图，当剪跨比相同时，各 组梁的开裂荷载并无明显的区别，随着纵筋配筋 率的增大，极限荷载也有较大的提高，且随着剪跨 比的增大提高的程度也逐步增大. 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Load/kN Cracking load Ultimate load No web reinforcement WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 图 6 开裂荷载与极限荷载对比图 Fig.6 Comparison of cracking load and ultimate load 4 基于分形理论的试验结果分析 4.1 裂缝分形维数 D 的理论计算 不规则的图像多种多样，并不是所有都具备 分形特征，唯有在一定标度范围中满足自相似性 的图像才被称为具有分形特征[19] . 无腹筋混凝土 梁在加载过程中裂缝分布具有随机性，是否具有 分形特征还有待验证，基于分形理论对图像的分 形维数的计算方法有：盒维数法[20–21]、分形布朗运 动模型法[22– 23]、小岛法[24] 和投影覆盖法[25– 26] 等. 针对混凝土梁表面裂缝的分形维数的测量一般选 用盒维数法. 计算步骤为：采用规格为 L×L 的正方 形网格去覆盖无腹筋混凝土全梁的裂缝分布区 域，统计计算出覆盖区域内存在裂缝的网格数目 并记为 N(L)，随后利用改变网格边长 L 来改变网 格密度并统计 N(L)，绘制 lnN(L)–ln(1/L) 的图像. 若关系曲线满足线性关系，则证明梁表面的裂缝 具有自相似性[27] ，拥有分形特征. lnN(L)–ln(1/L) 关 系曲线的斜率即为分形维数. 分形维数 D 表示为 D = lnN(L) ln( 1 L ) （1） 4.2 荷载作用梁表面裂纹的分形研究 基于试验梁在分级加载过程中对裂缝的定位 及描绘，将每个试件的裂缝转换为数字图像，通过 盒计数法计算在不同等级荷载作用下的分形维 数，设定盒的尺寸为 30～150 mm，共 13 种尺寸，每 种尺寸相隔 10 mm，将这 13 种尺寸的盒网格覆盖 到无腹筋梁的表面 ，统计出存在裂缝的格子数 N(L)，并绘制 lnN(L)–ln(1/L) 的图像如图 7. 由图 5 可以看出，基于不同剪跨比及纵筋配筋 率的无腹筋梁，其加载全过程中的裂缝发展分布 在不同网格尺寸覆盖下所展示的 lnN(L)–ln(1/L) 曲线具有明显的线性关系，这无腹筋梁表面的裂 缝在一定标度范围内具有分形特征. 通过图 7 能 明显的发现荷载等级越大，lnN(L)–ln(1/L) 曲线的 斜率越大，这代表其分形维数也越大. 表 4 为在不 同荷载作用下无腹筋梁表面的分形维数. 根据表 4 所示，伴随着每级荷载的增加，分形 维数亦在相应的增大. 而分形维数可以较好地反 映梁内部的损伤程度，分形维数与梁内部的损伤 程度成正比关系，分形维数越大，无腹筋梁内部的 损伤越大. 9 组无腹筋梁中，最小和最大分形维数 （Dmin 和 Dmax）分别为 0.964 和 1.449. 4.3 极限荷载作用下梁表面的分形研究 针对无腹筋梁受载破坏时梁表面裂缝分布分 形维数进行探究，可以较好的分析其在不同剪跨 比及纵筋配筋率下的破坏形式. 选取每组无腹筋 梁基于极限荷载作用下的裂缝进行计算统计，绘 制 lnN(L)–ln(1/L) 曲线，如图 8 所示. 通过图 8 可以发现各组梁的 lnN(L)–ln(1/L) 曲 线都具有较好的线性关系，这表明：无腹筋梁在极 限荷载作用下的梁表面裂缝仍然具有分形特征， 不论在梁加载阶段还是破坏阶段都可以通过分形 几何学进行分析. 图 9 表示在极限荷载作用下各组无腹筋梁表 面裂缝分形维数的对比图. 通过对比图中各个试 件的分形维数，可以发现在极限荷载作用下，各组 无腹筋混凝土梁表面的分形维数变化幅度不大， 稳定在一个固定的界面，其数值变化范围为 1.321～ 1.449，普遍都在 1.33 附近，这表明在不同剪跨比及 纵筋配筋率的作用下，无腹筋梁最终破坏时表面 裂缝的分形维数变化范围较小，剪跨比与纵筋配 筋率对其影响较小. · 1390 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
于江等：基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 1391· 5.0 5.0 5.0 4.5 4.5 4.5 EE-0 96 三40 4.0 4.0 3.5 35 3.0 3.0 3.0 (a) (b) (c) 2. 2.5 2.5 3.23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.2 .23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.2 .23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.2 In(I/L) n(1/L) In(1/L) 5.0 5.0 : 5.0 ■100W-0.971 0N-0.92 40N9 4.5 4.5 4.5 ,80kN-0986 4.0 4.0 3.5 3.5 3.5 3.0 3.0 (d) (e) 3.0 (⑤ 2 2.5L 3.23.43.63.84.04.24.44.64.85.052 3.23.43.63.84.04.24.44.64.85.052 n(1/L) In(1/L) 2523436384042444.6485052 In(1/L) 5.0 5.0 ■t0kN 00 -0.97 ·20kN-0.954 5.0 80NR-0.976 4.5 4i20yR-0.952 4.5 4.5 40-.98 40kNR-0.994 三40 4.0 4.0 3.5 3.5 3.0 3.0 (g) 3.0 (h) 2. 2. 3.23.43.63.84.04.24.44.64.85.052 3.23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.2 25 .23.43.63.84.04.24.44.64.85.05.2 In(1/L) In(1/L) In(1/L) 图7不同等级荷载下梁表面的lnWL-ln(1/L)图.(a)WL-1:(b)WL-2:(c)WL-3:(d)WL-4:(e)WL-5:(f)wL-6:(g)WL-7:(h)WL-8:(i)WL-9 Fig.7 InM(L)-In(1/L)diagram of beam surface under different grades of load:(a)WL-1;(b)WL-2;(c)WL-3;(d)WL-4;(e)WL-5;(f)WL-6;(g)WL-7; h)WL-8:()WL-9 表4不同荷载作用下梁表面分形维数 Table 4 Fractal dimension of beam surface under different loads Fractal dimension Load/kN WL-I WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 20 0.964 0.951 40 1.018 1.044 1.040 0.991 1.042 1.082 0.991 1.058 0.955 60 1.059 1.1 1.275 1.044 1.075 1.221 0.999 1.072 1.122 80 1.093 1.21 1.336 1.133 1.215 1.330 1.054 1.170 1.161 100 1.164 1.32 1.203 1.283 1.449 1.157 1.248 1.321 120 1.267 一 1.208 1.340 1.188 1.295 一 140 1.304 一 1218 1.357 1.193 1.354 一 160 1.302 1.276 1.207 180 1.335 1.356 1.255 190 一 1.333 4.4分形维数与极限承载力间的关系 验梁极限荷载之间的规律性较弱，在相同剪跨比 统计各组无腹筋梁的极限荷载，并绘制基于 不同纵筋配筋率的条件下，其无腹筋梁表面裂缝 不同剪跨比与纵筋配筋率的分形维数与极限荷载 的分形维数表现为先增大后减小，而在相同配筋 的曲线，如图10和11所示 率不同剪跨比条件下，其分形维数与极限荷载表 根据图10和11所示，可以发现分形维数与试 现的差异性较大，总体而言，在不同剪跨比及纵筋
4.4 分形维数与极限承载力间的关系 统计各组无腹筋梁的极限荷载，并绘制基于 不同剪跨比与纵筋配筋率的分形维数与极限荷载 的曲线，如图 10 和 11 所示. 根据图 10 和 11 所示，可以发现分形维数与试 验梁极限荷载之间的规律性较弱，在相同剪跨比 不同纵筋配筋率的条件下，其无腹筋梁表面裂缝 的分形维数表现为先增大后减小，而在相同配筋 率不同剪跨比条件下，其分形维数与极限荷载表 现的差异性较大，总体而言，在不同剪跨比及纵筋 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 170 kN R 2=0.973 160 kN R 2=0.985 140 kN R 2=0.971 120 kN R 2=0.970 100 kN R 2=0.965 80 kN R 2=0.965 60 kN R 2=0.977 40 kN R 2=0.997 180 kN R 2=0.957 160 kN R 2=0.951 140 kN R 2=0.952 120 kN R 2=0.935 100 kN R 2=0.990 80 kN R 2=0.986 60 kN R 2=0.972 40 kN R 2=0.994 180 kN R 2=0.960 190 kN R 2=0.954 160 kN R 2=0.952 140 kN R 2=0.979 120 kN R 2=0.952 100 kN R 2=0.978 80 kN R 2=0.974 60 kN R 2=0.973 40 kN R 2=0.990 140 kN R 2=0.981 120 kN R 2=0.954 100 kN R 2=0.956 80 kN R 2=0.989 60 kN R 2=0.992 40 kN R 2=0.994 100 kN R 2=0.976 80 kN R 2=0.976 60 kN R 2=0.986 40 kN R 2=0.988 140 kN R 2=0.977 120 kN R 2=0.985 100 kN R 2=0.946 80 kN R 2=0.994 60 kN R 2=0.976 40 kN R 2=0.995 100 kN R 2=0.971 80 kN R 2=0.972 60 kN R 2=0.982 40 kN R 2=0.976 20 kN R 2=0.993 100 kN R 2=0.977 80 kN R 2=0.943 60 kN R 2=0.952 40 kN R 2=0.995 20 kN R 2=0.977 80 kN R 2=0.976 60 kN R 2=0.985 40 kN R 2=0.972 图 7 不同等级荷载下梁表面的 lnN(L)–ln(1/L) 图. （a）WL-1；（b）WL-2；（c）WL-3；（d）WL-4；（e）WL-5；（f）WL-6；（g）WL-7；（h）WL-8；（i）WL-9 Fig.7 lnN(L)–ln(1/L) diagram of beam surface under different grades of load: (a) WL-1; (b) WL-2; (c) WL-3; (d) WL-4; (e) WL-5; (f) WL-6; (g) WL-7; (h) WL-8; (i) WL-9 表 4 不同荷载作用下梁表面分形维数 Table 4 Fractal dimension of beam surface under different loads Load/kN Fractal dimension WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 20 — — 0.964 — — 0.951 — — — 40 1.018 1.044 1.040 0.991 1.042 1.082 0.991 1.058 0.955 60 1.059 1.1 1.275 1.044 1.075 1.221 0.999 1.072 1.122 80 1.093 1.21 1.336 1.133 1.215 1.330 1.054 1.170 1.161 100 1.164 1.32 — 1.203 1.283 1.449 1.157 1.248 1.321 120 1.267 — — 1.208 1.340 — 1.188 1.295 — 140 1.304 — — 1.218 1.357 — 1.193 1.354 — 160 1.302 — — 1.276 — — 1.207 — — 180 1.335 — — 1.356 — — 1.255 — — 190 — — — — — — 1.333 — — 于 江等： 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 · 1391 ·
1392 工程科学学报，第43卷，第10期 ■W1L-1R2=0.973 5.0 ·WL-2R2-=0.977 配筋率作用下，对于极限荷载作用下的裂缝扩展 将产生不同的影响，裂缝的扩展及分布具有不同 4.5 WL-5A WL-6R 的形态，进而使分形维数也产生较大的差异性，规 律性较小，在今后有待深入探究 4。WL-9R2-0.976 4.5分形维数与分级荷载间的关系 3.5 基于无腹筋混凝土梁不论在分级荷载作用下 3.0 还是极限荷载作用下都具有分形特征，通过表4， 2234363840424446485052 建立分形维数D与分级荷载F之间的联系 In(/L) 如图12和图13所示，基于两种不同变量作用 图8极限荷载下梁表面的lnN(L-n(1L)图 下的荷载-分形维数的曲线呈现较好的对数关系， Fig.8 InNL)-In(1/L)diagram of the beam surface under ultimate load 其拟合的数学方程如式2，k和m为参数，数值如表5 所示.1为试验梁剪跨比，P为纵筋配筋率 --D 1.4 D=kaln(F)+mp (2) 1.2 1.0 当荷载按照规范依次增加，分形维数也不断 目0.8 增加，且在不同荷载等级下，不同剪跨比及纵筋配 0.6 筋率作用下，荷载-分形维数拟合曲线呈现出不同 的分布形态.如图13所示，在无腹筋混凝土梁表 0.2 面裂缝的荷载-分形维数曲线的曲率随着剪跨比 的增大逐渐减小.这是在没有腹筋作用情况下，由 WL-I WL-2 WL-3 WL4 WL-5 WL6 WL-7 WL-8 WL-9 Beam number 于剪跨比在一定程度反映截面弯矩与剪力的相对 图9极限荷载作用下梁的分形维数 比值，它对无腹筋梁的斜截面受剪破坏具有决定 Fig.9 Fractal dimension of the beam under ultimate load 性的影响，剪跨比越小，无腹筋梁的承载力越高， (a) (b) WL-5 (c) WL-4 1.360 360 1.46 1.355 WL-8 350 1.44 1.350 1.42 1.40 1.345 7 1.330 19 WL-9 185 WL-1 140 105 3 Ultimate load/kN 175 95 165 155 ate load/kN 85 75 图10相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的极限荷载与分形维数间的关系.(a)2=1.5:(b)2=2:(c)入=2.5 Fig.10 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a)A= 1.5,(b)1=2,(c)1=2.5 (a) (b) (e) WL-I WL-8 38 WL-3 1.355 WL-6 1.46 WL-4 1.42 1.40 WL-7 1330 1.38 .325 320 160 WL-2 318 180 WL-5 200 160 140 100 B 80 Ultimate load/kN 80 图11相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下的极限荷载与分形维数间的关系.(a)p=1.28%:(b)p=1.62%:(c)p=1.99% Fig.11 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios:(a)p= 1.28%:(b)p=1.62%:(c)p=1.999%
配筋率作用下，对于极限荷载作用下的裂缝扩展 将产生不同的影响，裂缝的扩展及分布具有不同 的形态，进而使分形维数也产生较大的差异性，规 律性较小，在今后有待深入探究. 4.5 分形维数与分级荷载间的关系 基于无腹筋混凝土梁不论在分级荷载作用下 还是极限荷载作用下都具有分形特征，通过表 4， 建立分形维数 D 与分级荷载 F 之间的联系. 如图 12 和图 13 所示，基于两种不同变量作用 下的荷载–分形维数的曲线呈现较好的对数关系， 其拟合的数学方程如式 2，k 和 m 为参数，数值如表 5 所示. λ 为试验梁剪跨比，ρ 为纵筋配筋率. D = kλln(F)+mρ （2） 当荷载按照规范依次增加，分形维数也不断 增加，且在不同荷载等级下，不同剪跨比及纵筋配 筋率作用下，荷载–分形维数拟合曲线呈现出不同 的分布形态. 如图 13 所示，在无腹筋混凝土梁表 面裂缝的荷载–分形维数曲线的曲率随着剪跨比 的增大逐渐减小. 这是在没有腹筋作用情况下，由 于剪跨比在一定程度反映截面弯矩与剪力的相对 比值，它对无腹筋梁的斜截面受剪破坏具有决定 性的影响，剪跨比越小，无腹筋梁的承载力越高， WL-1 B B WL-4 WL-5 WL-6 WL-9 WL-3 WL-8 WL-2 WL-7 175 185 165 155 120 130 140 110 100 75 85 95 105 1.360 1.355 1.350 1.345 1.340 1.335 1.330 1.360 1.355 1.350 1.345 1.340 1.335 1.320 1.325 1.330 1.315 Fractal dimension Fractal dimension Fractal dimension Ultimate load/kN Ultimate load/kN Ultimate load/kN 1.46 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.32 (a) (b) (c) 图 10 相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的极限荷载与分形维数间的关系. （a）λ = 1.5；（b）λ = 2；（c）λ = 2.5 Fig.10 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios: (a) λ = 1.5, (b) λ = 2, (c) λ = 2.5 160 140 120 Ultimate load/kN Fractal dimension Fractal dimension Fractal dimension 100 80 160 180 140 120 Ultimate load/kN Ultimate load/kN 100 160 180 200 140120100 80 WL-1 WL-3 WL-2 WL-4 WL-6 WL-5 WL-7 WL-8 WL-9 B B B 1.338 1.46 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.336 1.334 1.332 1.330 1.328 1.326 1.324 1.322 1.320 1.318 1.355 1.350 1.345 1.340 1.335 1.330 1.325 1.320 (a) (b) (c) 图 11 相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下的极限荷载与分形维数间的关系. （a）ρ = 1.28%；（b）ρ = 1.62%；（c）ρ = 1.99% Fig.11 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios: (a) ρ = 1.28%; (b) ρ = 1.62%; (c) ρ = 1.99% 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) WL-1 R 2=0.973 WL-2 R 2=0.977 WL-3 R 2=0.976 WL-4 R 2=0.957 WL-5 R 2=0.977 WL-6 R 2=0.971 WL-7 R 2=0.954 WL-8 R 2=0.981 WL-9 R 2=0.976 图 8 极限荷载下梁表面的 lnN(L)–ln(1/L) 图 Fig.8 lnN(L)–ln(1/L) diagram of the beam surface under ultimate load 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 Beam number WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 Fractal dimension D 图 9 极限荷载作用下梁的分形维数 Fig.9 Fractal dimension of the beam under ultimate load · 1392 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期
于江等：基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 ·1393 1.40 1.40 1.50 1.35 ■WL-I 1.35 ■WL-2 1.45 1.30 WI.4 。WL-5 1.40 ■WL-3 ▲WL-7 1.30 ●WL-6 1.25 WL-8 WL-9 ◆ 1.20 1.15 1.05 1.05 1.00 (a) 1.05 1.00 (b) 0.95 4 (c) 0.9 100 0.90 20406080100120140160180200 30 50 7090110130 150 102030405060708090100110 Load/kN Load/kN Load/kN 图12相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的分级荷载与分形维数间关系.()1=1.5：(b)1=2:(c)1=2.5 Fig.12 Relationship between the graded load and the fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios: (a)1=1.5:(b)1=2:(c)1=2.5 150 1.35■WL-1 ■WL4 1.40 s1.30●wL-2 45 1.40 ●WL-5 1.35 ■WL7 ●WL-8 WL-3 ▲WL-6 ▲WL-9 1.20 号1.15 20 1.10 1.15 1.05 10 1.05 1.00 100 0.95 (a) 0.95 (b) (c) 0.90 0.95 20406080100120140160180200 20406080100120140160180200 20406080100120140160180200 Load/kN Load/kN Load/kN 图13相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下的分级荷载与分形维数间关系.(a)p=1.28%:(b)p=1.62%:(c)p=1.99% Fig.13 Relationship between the graded load and the fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios (a)p=1.28%,(b)p=1.62%,(c)p=1.99% 表5分级荷载与分形维数关系的k、m值 Table 5 k,m values of the relationship between the graded load and the fractal dimension Parameters WL-I WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 0.156 0.149 0.113 0.150 0.141 0.082 0.140 0.120 0.148 合 8.984 -6.25 6.25 8.827 -1.481 27.037 8.693 4.824 -20.653 R 0.926 0.896 0.892 0.943 0.942 0.890 0.898 0.917 0.921 梁表面的裂纹发展越充分，其分形维数也越大，同 同等荷载等级下分形维数也相较更小.因此剪跨 样的在不同纵筋配筋率作用下，如图12所示，随 比与纵筋配筋率对于无腹筋混凝土梁的裂缝发展 着纵筋配筋率的逐渐增大，荷载-分形维数曲线的 及承载力的变化都具有显著的影响 曲率越大，在同一荷载作用下，纵筋配筋率越大， 4.6分形维数与跨中挠度的关系 分形维数越小，裂纹相对较少，这是由于纵筋配筋 采集无腹筋混凝土梁加载全过程的跨中挠 率的增大，纵筋与混凝土黏结强度越高，其抗拉能 度，并拟合在不同变量作用下跨中挠度-分形维数 力越高，在分级荷载作用下裂纹发展较为充分，在 的曲线如图14和图15. 1.40 1.40 1.50 1.35 ■WL-I 1.35 ■WL-2 .45 ■WL-3 =VI.4 ●WL.5 ●WL-6 ▲WL-7 1.30 ▲WL-8 1.35 WL-9 1.25 .4 25 1.15 1.10 5 1.05 &1.10 .00 1.00 (a) 1.05 (b) (c) 0.95 1.00 4 0.51.01.52.02.53.03.54.04.5 00.51.01.52.02.53.03.54.0 Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm 图14相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的跨中挠度与分形维数间的关系.(a)1=1.5:(b)1=2:(c)1=2.5 Fig.14 Relationship between mid-span deflection and fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios (a)1=1.53(b)1=2;(c)1=2.5
梁表面的裂纹发展越充分，其分形维数也越大. 同 样的在不同纵筋配筋率作用下，如图 12 所示，随 着纵筋配筋率的逐渐增大，荷载–分形维数曲线的 曲率越大，在同一荷载作用下，纵筋配筋率越大， 分形维数越小，裂纹相对较少，这是由于纵筋配筋 率的增大，纵筋与混凝土黏结强度越高，其抗拉能 力越高，在分级荷载作用下裂纹发展较为充分，在 同等荷载等级下分形维数也相较更小. 因此剪跨 比与纵筋配筋率对于无腹筋混凝土梁的裂缝发展 及承载力的变化都具有显著的影响. 4.6 分形维数与跨中挠度的关系 采集无腹筋混凝土梁加载全过程的跨中挠 度，并拟合在不同变量作用下跨中挠度–分形维数 的曲线如图 14 和图 15. 1.35 1.40 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 Fractal dimension 1.35 1.40 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 Fractal dimension Fractal dimension WL-1 WL-4 WL-7 20 40 60 80 100 Load/kN Load/kN Load/kN 120140160180200 30 50 70 90 110 130 150 30 50 70 90 110 10 40 60 80 100 20 WL-2 WL-5 WL-8 WL-3 WL-6 WL-9 1.35 1.40 1.45 1.50 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 0.90 (a) (b) (c) 图 12 相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的分级荷载与分形维数间关系. （a）λ = 1.5；（b）λ = 2；（c）λ = 2.5 Fig.12 Relationship between the graded load and the fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios: (a) λ = 1.5; (b) λ = 2; (c) λ = 2.5 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 1.35 1.40 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 Fractal dimension Fractal dimension Fractal dimension 20 40 60 80 100 Load/kN Load/kN Load/kN 120140160180200 20 40 60 80 100120140160180200 20 40 60 80 100120140160180200 1.35 1.40 1.45 1.50 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 0.90 WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 (a) (b) (c) 图 13 相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下的分级荷载与分形维数间关系. （a）ρ = 1.28%；（b）ρ = 1.62%；（c）ρ = 1.99% Fig.13 Relationship between the graded load and the fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios: (a) ρ = 1.28%; (b) ρ = 1.62%; (c) ρ = 1.99% 1.35 1.40 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 Fractal dimension Inter-span deflection/mm WL-1 WL-4 WL-7 WL-2 WL-5 WL-8 WL-3 WL-6 WL-9 (a) 1.35 1.40 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 Fractal dimension Fractal dimension Inter-span deflection/mm Inter-span deflection/mm (b) (c) 0 1 2 3 4 5 1.35 1.40 1.45 1.50 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.05 1.00 0.95 0.90 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 图 14 相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的跨中挠度与分形维数间的关系. （a）λ = 1.5；（b）λ = 2；（c）λ = 2.5 Fig.14 Relationship between mid-span deflection and fractal dimension under the same shear-span ratio and different longitudinal reinforcement ratios: (a) λ = 1.5; (b) λ = 2; (c) λ = 2.5 表 5 分级荷载与分形维数关系的 k、m 值 Table 5 k, m values of the relationship between the graded load and the fractal dimension Parameters WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 k 0.156 0.149 0.113 0.150 0.141 0.082 0.140 0.120 0.148 m 8.984 –6.25 6.25 8.827 –1.481 27.037 8.693 4.824 –20.653 R 2 0.926 0.896 0.892 0.943 0.942 0.890 0.898 0.917 0.921 于 江等： 基于分形理论无腹筋混凝土梁的受剪性能 · 1393 ·