西安电子科技大学：《信号与系统》课程教学资源（电子教案）第七章 离散系统的z域分析

信号与系统电容 第七章离散系统z域分析 7.1z变换 从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域 7.2z变换的性质 7.3逆z变换 7.4z域分析 差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、s域与z域的关系 四、系统的频率响应冖 点击目录,进入相关章节 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--11页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 第七章 离散系统z域分析 7.1 z 变换 一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域 7.2 z 变换的性质 7.3 逆z变换 7.4 z 域分析 一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、s域与z域的关系 四、系统的频率响应 点击目录 ，进入相关章节

信号与系统电容 第七章离散系统z域分析 在连续系统中,为了避开解微分方程的困难,可以 通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的 动机,也可以通过一种称为z变换的数学工具,把差分 方程转换为代数方程。 7.1z变换 、从拉氏到z变换 对连续信号进行均匀冲激取样后,就得到离散信号: 取样信号()=f()6()=∑f(k)6(t-km) k 〓一 两边取双边拉普拉斯变换,得 事6 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--22页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 第七章 离散系统z域分析 在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以 通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的 动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分 方程转换为代数方程。 7.1 z变换 一、从拉氏到z变换 对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号: ∑ ∞ =−∞ = = − k S T 取样信号 f (t) f (t)δ (t) f (kT )δ (t kT ) 两边取双边拉普拉斯变换，得

信号与系统电容 f2(s)=∑f()e 令z=e,上式将成为复变量z的函数,用F()表示 f(kT)→f(k),得 F()=∑/(k) (乐唑 F()=∑f(k)= 称为序列f(k)的 k=0 单边z变换 若f(k)为因果序列,则单边、双边z变换相等,否则 不等。今后在不致混淆的情况下,统称它们为z变换。 F(z)=z[(k,f(k)=zF(z);f(k)←→F(z) 事6-3 144D C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--33页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 ∑ ∞ =−∞ − = k kTs Sb F (s) f (kT ) e 令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示； f(kT) →f(k) ，得 ∑ ∞ =−∞ − = k k F(z) f (k)z 的 f(k) 称为序列 变换 z 双边 ∑ ∞ = − = 0 ( ) ( ) k k F z f k z 称为序列f(k)的 单边z变换 若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则 不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Z[f(k)] ,f(k)= Z-1[F(z)] ；f(k)←→F(z)

信号与系统电容 7.1z变换 收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和,显然只有当该幂级 数收敛,即 ∑lf(k)=< 时,其z变换才存在。上式称为绝对可和条件,它是 序列f(k)的z变换存在的充分条件。 收敛域的定义: 对于序列k),满足∑/(k) 所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域 64页 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--44页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级 数收敛，即 ∑ < ∞ ∞ =−∞ − k k f (k)z 时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是 序列f(k)的z变换存在的充分条件。 收敛域的定义： 对于序列f(k)，满足 ∑ < ∞ ∞ =−∞ − k k f (k)z 所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域

信号与系统电容 7.1z变换 例1求以下有限序列的z变换()f1(k=8(k)4k=0 解 (2)f4(k)={1,2,3,2,1 (1)F(=)=∑(k)=∑(k)=1 可见,其单边、双边z变换相等。与z无关, 所以其收敛域为整个z平面 (2)f(k)的双边z变换为 F(z)=2+2z+3+21+2收敛域为00 k=0 对有限序列的变换的收敛域一般为0<k∞,有时 它在0或和∞也收敛。 5 上L口西安电科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--55页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=δ(k) ↓k=0 (2) f2 解 (k)={1 , 2 , 3 , 2,1} (1) 1 ( ) = ∑ ∑ ( ) = ( ) = 1 ∞ =−∞ ∞ =−∞ − − k k k k F z δ k z δ k z 可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关， 所以其收敛域为整个z 平面。 (2) f(k)的双边z 变换为 F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为0 0 对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时 它在0或/和∞也收敛

信号与系统电容 7.1z变换 例2求因果序 0,ka时,其z变换存在。 F,(z) 收敛域为z| Re[-] C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--66页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 例2 求因果序列  ≥a 时，其z变换存在。 z a z F z y − ( ) = Re[z] jIm[z] |a| o 收敛域为|z|>|a|

信号与系统电容 7.1z变换 例3求反因果序列 b,k<0 =be(-k-1) 0.k≥0 的z变换。 解F()=∑(b)=∑(b2-)=lm b--(b-z) 1-b 可见,|bzk,即kkb时,其z变换存在, b 收敛域为|z|<|b Rez 6-7项 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--77页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 例3 求反因果序列 的z变换。 解 ( 1) 0, 0 , 0 ( ) = − −  ≥< = b k k b k f k k k f ε b z b z b z F z bz b z N N m m k k f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) lim − − − + →∞ ∞ = − − =−∞ − − − = ∑ = ∑ = 可见，b-1z<1,即z<b时，其z变换存在， z b z F z f − − ( ) = 收敛域为|z|< |b| |b| Re[z] jIm[z] o

信号与系统电容 7.1z变换 例4双边序列k)=()+(k)=b,k<0 k≥0 的z变换 解F()=F,(=)+F/()= 2 × 2- 可见,其收敛域为 la klzk lb (显然要求akb,否则无共 同收敛域) Re[2] 序列的收敛域大致有一下几种情况: (1)对于有限长的序列,其双边z变换在整个平面; (2)对因果序列,其z变换的收敛域为某个圆外区域; (3)对反因果序列,其z变换的收敛域为某个圆内区域; (4)对双边序列,其z变换的收敛域为环状区域 新6-8 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--88页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解  ≥< , 0 , 0 a k b k kk 的z变换。 z a z z b z F z F z F z y f − + − − ( ) = ( ) + ( ) = 可见，其收敛域为a<z<b （显然要求a<b，否则无共 同收敛域) o |a| |b| Re[z] jIm[z] 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；

信号与系统电容 7.1z变换 注意:对双边z变换必须表明收敛域,否则其对应的原 序列将不唯 f1(k)=2e(k)←→F1(z)= 2, 2 f2(k)=-2e(k-1)←→F2()= z2 2 对单边z变换,其收敛域比较简单,一定是某个圆以 外的区域。可以省略。 结论: 对应 双边F(Z)+收敛域 对应 单边F(Z) 第6-9页 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--99页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原 序列将不唯一。 例 f1(k)=2kε(k)←→F1(z)= z − 2 z , z>2 f2(k)= –2kε(– k –1)←→F2(z)= z − 2 z , z<2 对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以 外的区域。可以省略。 结论： 双边Fb (Z) + 收敛域 f(k) 一一对应 单边F (Z) 一一对应 f(k)

信号与系统电容 7.1z变换 常用序列的z变换: δ(k)←→1,整个Z平面 2 f1(k)=ake(k)←→F1(z) zPa f2(k)=-aE(-k-1)←→F2(z)= z ka 其中:a>0 8(k-m) Z-I E(k) z}>1 e(-k-1)→ k< 第10|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 信号与系统 第第66--1010页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 7.1 z变换 常用序列的z变换： f1(k)=akε(k)←→F1(z)= z a z − , z>a f2(k)= –akε(– k –1)←→F2(z)= z a z − , z0 ε(k) z −1 z ，z>1 –ε(– k –1) ，z0