信号与系统电容 第四章连续系统的s域分析 4.1拉普拉斯变换 从傅里叶变换到拉普拉斯变换〓 二、收敛域冖 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2拉普拉斯变换的性质→ 4.3拉普拉斯变换逆变换 4.4复频域分析 、微分方程的变换解冖 、系统函数 、系统的s域框图 四、电路的s域模型冖 点击目录,进入相关章节 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--11页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 第四章 连续系统的s域分析 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型 点击目录 ，进入相关章节
信号与系统电容 第四章连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号e为基本信号,任意信号 可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求 解得到简化。物理意义清楚。但也有不足 (1)有些重要信号不存在傅里叶变换,如e2te(t); (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率s=σ+j@,以复指数函数e为基本 信号,任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率s,故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 页44日L西安电子科料技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--22页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 第四章 连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号 可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求 解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本 信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难 为此,可用一衰减因子e为实常数)乘信号,° 适当选取σ的值,使乘积信号f(e当t→∞时信号幅 度趋近于0,从而使fteα的傅里叶变换存在, F6G+jo)=升f()eq=」 f(tee Jo dt=」oeod 相应的傅里叶逆变换为 f(teot= Fb(σ+jo)eado 2丌J∞ 0)26(+/o)o令s=+j0do=ds,有 4-3项 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--33页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-σt= ∫∞−∞ σ + ω ω π ω ( ) e d 21 j t b F j Fb(σ+jω)= ℱ[ f(t) e-σt]= f t t f t t t j t j t ( ) e e d ( ) e d ( ) ∫ ∫∞−∞ − + ∞−∞ − − = σ ω σ ω ∫∞−∞ + = σ + ω ω π σ ω ( ) e d 21 ( ) ( j )t b f t F j 令s = σ + jω,d ω=ds/j，有
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 (G)=厂(0)0d边拉普斯变换对 +J∞ Fh(se ds 2丌 0-1∞ F6S)称为t的双边拉氏变换(或象函数), f(称为Fb(S)的双边拉氏逆变换(或原函数)。 收敛域 只有选择适当的σ值才能使积分收敛,信号f的双 边拉普拉斯变换存在。 使f(拉氏变换存在o的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明F(S)收敛域的问题。 4贝14|1 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--44页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 ∫∞−∞ − F s = f t e t st b ( ) ( ) d ∫ + ∞ − ∞ = jj ( ) e d 2 j 1 ( ) σ π σ f t F s s st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。 双边拉普拉斯变换对
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 例1因果信号f1()=ee(t),求其拉普拉斯变换 解 -(s-a)t e Fi(s) = 0 [1-lime o-a)t e-jor S-0 s-a Rels=o>a s-a 不定 无界, 可见,对于因果信号,仅当 0 Re|s=o>α时,其拉氏变换存 在。收敛域如图所示。 收敛边界 收敛域 45页 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--55页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例1 因果信号f1(t)= eαt ε(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lime e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d ( ) j 0 ( ) 0 1 t t t s t t st b s s F s t σ α ω α α α α − − − →∞ ∞ − − ∞ − − − = − − = = ∫ > = = > − = σ α σ α σ α α 无界 ， 不定 ， , Re[ ] 1 s s 可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=σ>α时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 α 收敛域 收敛边界
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 例2反因果信号f4()=epe(-t),求其拉普拉斯变换。 解 e (s-B) F26(s)=eesidt= 0 [1-lime0em门] (S-B) (s-B)1→ 无界,ReS]=a>B 不定 =B Jo B 可见,对于反因果信号,仅当 ReS=o<β时,其拉氏变换存 在。收敛域如图所示。 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--66页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例2 反因果信号f2(t)= eβtε(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 [1 lim e e ] ( ) 1 ( ) e ( ) e e d 0 ( ) j ( ) 0 2 t t t s t st t b s s F s t σ β ω β β β β − − − → −∞ −∞ − − −∞ − − − − = − − = = ∫ = σ β β σ β σ β ， 不定 ， 无界 ( ) 1 , Re[ ] . s s 可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=σ<β时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 σ jω 0 β
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 例3双边信号求其拉普拉斯变换。 B t0 求其拉普拉斯变换。 解其双边拉普拉斯变换Ff()=Fb1()+F12(s) 仅当β>α时,其收敛域 为<Res-β的一个带 状区域,如图所示 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--77页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 >α时，其收敛域 为 α<Re[s]<β的一个带 状区域，如图所示。 σ jω α 0 β
信号与系统电容 4.1拉普拉斯变换 例4求下列信号的双边拉氏变换。 (t=e 3te(t)+zte(t) 2(t)=-e3e(-t)-e2e(-t f3()=ee(t)-e2e(-t) 解f(t)←→>F1(s) Res|=>-2 s+3s+2 f2(1)→2(3)s11 s+3s+2 ReS|=σF3(s) s+3s+2 3<<-2 可见,象函数相同,但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--88页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t ε(t) + e-2t ε(t) f2(t)= – e -3t ε(–t) – e-2t ε(–t) f3(t)= e -3t ε(t) – e-2t ε(– t) 解 2 1 3 1 ( ) ( ) 1 1 + + + ←→ = s s f t F s Re[s]= σ > – 2 2 1 3 1 ( ) ( ) 2 2 + + + ←→ = s s f t F s Re[s]= σ < – 3 2 1 3 1 ( ) ( ) 3 3 + + + ←→ = s s f t F s – 3 < σ < – 2 可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域
信号与系统电容 41拉普拉斯变换 结论: 、对于双边拉普拉斯变换而言,F(S)和收敛域一起, 可以唯一地确定f(t)。即 对应 f(t) F(S)+收敛域 2、不同的信号可以有相同的F(S),但他们的收敛域不同 不同信号如果有相同的收敛域,则他们的F(S)必然不同! 前4-9页 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--99页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 结论： 1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(S)和收敛域一起， 可以唯一地确定f(t)。 即： 2、不同的信号可以有相同的F(S)，但他们的收敛域不同； 不同信号如果有相同的收敛域，则他们的F(S)必然不同！ 一一对应 f(t) F(S)+收敛域
信号与系统电容 41拉普拉斯变换 定义:对于给定的t),把凡是满足下式的s组成的点 集 称作t的绝对收敛域: f(t)e-lt<∞ 收敛域的确定方法(因为:s=σ+jw) 求解适合于如下条件的所有0值或范围: f(tle -dt 第0|4||■ C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 信号与系统 第第44--1010页页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 电子教案 4.1 拉普拉斯变换 定义：对于给定的f(t)，把凡是满足下式的s组成的点 集， 称作f(t)的绝对收敛域： 收敛域的确定方法（因为：s=σ+jw）： 求解适合于如下条件的所有σ值或范围: ( ) 0 lim = → ∞ −∂t f t e t < ∞ ∫ ∞− ∞ − ∂ f t e dt t ( )