试卷代号：1080 座位号■ 中央广播电视大学2010一2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本）试题 2011年1月 题 号 二 三 四 总 分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A,B为n阶矩阵，则下列等式成立的是(). A.ABI=BA B.A+BI=A+BI C.(A+B)-1=A-1+B-1 D.(AB)-1=A-1B-1 x1-x2 =a1 2.方程组 x2十x3=a2 相容的充分必要条件是()，其中a,≠0，(i=1,2,3). 十x3=u3 A.a1+a2+a3=0 B.a1+a2-a3=0 C.a1-a2+a3=0 D.-a1+a2十a3=0 3.下列命题中不正确的是(). A.A与A'有相同的特征多项式 B.若入是A的特征值，则(I一A)X=O的非零解向量必是A对应于λ的特征向量 C.若入=0是A的一个特征值，则AX=O必有非零解 D.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量 575
试卷代号 8 0 座位号 中央广播电视大学 2011 第一学期 放本科 末考 工程数学(本)试题 2011 年1 题号 总分 分数 得分|评卷人 一、单项选择题(每小题 3分，共 5分) 1.设 A 下列 等式成立 ). A. IAB I= IBA I C. CA 十B) 一I=A Xl 一-Xz =Ul B. IA+BI = IAI +IBI D. CAB) =A-l B- 1 2. 程组 Xz 十X3 =Uz 相容 条件 ) ，其中向手0，(i=1， 2， +X3 =U3 A. al 十a3=0 B. Ul 十UZ-U3 =0 c. Ul -a2 十a3 =0 D. -Ul 十 向 3. ). A. 与A' B.若 对应 特征 c.若，1.. 特征 有非 D. 性组 57S
4.若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是(). A,P(A十B)=P(A)十P(B) B.P(B)=1-P(A) C.P(A)=P(AB) D.P(AB)=P(A)P(B) 5.设x1,x2,·,xm是来自正态总体N(5,1)的样本，则检验假设H。:4=5采用统计量 U=( ). A.5 B.5 5 1/W5 C.5 1/n D 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 2 6.设1A1=11x2-2,则|A=0的根是 |2x2+14 7.设4元线性方程组AX=B有解且r(A)=1,那么AX=B的相应齐次方程组的基础解 系含有个解向量. 8.设A,B互不相容，且P(A)>0,则P(B|A)= 9.设随机变量X~B(,p),则E(X)=一 10.若样本，2，…，x来自总体X~N(0,1),且元=】 576
4. 件A 与B 互斥 等式 正确 ). A. peA 十B) =P(A)+PCB) c. peA) = peA IB) B. PCB) = 1-peA) D. P(AB) = peA) PCB) 5. 是来 体N (5 , 1)的样本，则检验假设 =μ=5 采用 u=( ). A. - 一5 $ c.王一- 1/.Jn 得分|评卷人 B. - 一5 1/$ D. 王-5 二、填空题(每小题 1 1 2 6. A I= 11 1 X 2 - 2 I ，则 =0 根是 2 4 • 7. 设4 元线性方程组 有解且 AX 次方 系含有个解向量. 8. 不相容 9. 变量 • • 10. . . . - N !) nhEdl • 576
得 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 10 0) 11.设矩阵A= 11 -1 ,求(AA)-1. -10 1 12.求下列线性方程组的通解， 2x1-4x2十5x3+3x4=5 3x1-6x2+5x3+2x4=5 4x1-8x2+15x3+11x4=15 13.设随机变量X~N(3,4).求：(1)P(1<X<7);(2)使P(X<a)=0.9成立的常数a. (已知Φ(1.0)=0.8413，Φ(1.28)=0.9，④(2.0)=0.9773) 14.从正态总体N(4,4)中抽取容量为625的样本，计算样本均值得元=2.5，求：的置信 度为99%的置信区间.（已知uo.995=2.576) 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分）】 15.设n阶矩阵A满足(A一I)(A+I)=O,则A为可逆矩阵. 577
得分|评卷人 三、计算题{每小题 AA nu'inunu'i'i A 12. 下列线性 程组 通解 2Xl -4xz +5X3 +3X4 =5 3Xl 十2X4=5 +15 l1X4 = 15 13. (l) P O < X< 7) ; (2) (已知 ( 1. 0)=0. 8413 ，φ0.28)=0.9，φ(2.0)=0.9773) 14. ，4) 容量为625 样本 王=2.5 置信 度为 9 9 (已知 9 5 =2.576) 得分|评卷人 四、证明题{本题6分) 15. 阶矩阵A 1) 则A 577
试卷代号：1080 中央广播电视大学2010一2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷》 工程数学（本）试题答案及评分标准 (供参考) 2011年1月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 二、填空题（每小题3分，共15分】 6.1,-1,2,-2 7.3 8.0 9.np 10.N(0,1) 2 三、计算题（每小题16分，共64分） 11.解：由矩阵乘法和转置运算得 10 01 1-1 1-17 AA'- .1 3 -2 ……6分 -10 1 0 -1 -2 2 利用初等行变换得 1 1-1 1 0 0> 1 1 -1 10 07 1 -20 1 0 0 2 -1 -11 0 -1-2 2 0 0 1 0 -1 1 10 1 1 0020 17 0 1 0 2 0 17 1 00201 0 0111 1-1 -1 0 -1 0 10 011 -111 0 0 11 2/ 0 01112 2 0 17 即(AA')-1= 0 1 1 16分 1 2 12.解：利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 2 一4 5 3 5 2-45 35 3 —6 2 5 1 -20-10 -8151115 0555 578
试卷代号 0 8 0 中央广播电视大学 2011 年 度 第 学期 半开 工程数学(本)试题答案及评分标准 (供参考) 2011 年1 一、单项选择题(每小题 1. A 2. B 3. D 二、填空题{每小题 6. 一1 ，2 一2 7. 3 8. 0 9. 10.lV(0 ,i ) 三、计算题(每小题 1. 乘法 转 置运算得 1 0 01 f1 1-1 AA' = 1 1 -1 卡1 0 -1 0 1110 -1 1 4. A l 1 1 3 2 5. C . 利用初等行变换得 l 1 O O 1 1 l O O 1 3 -2 O 1 O 一' O 2 1 O 2 O O l O 1 O 1 - 1 O O 2 O 1 1 O O 2 O 1 1 O O 2 O l • 10 O 1 1 1 2 - O 1 O - O 1 O O 1 1 O 1 l O 1 O O 1 1 1 2 O O 1 l 2 2 O 1 AA O l 1 . 16 1 1 2 12. 用初等行 程组 增广 化成行 梯形 4 -8 15 11 15 I \0 0 5 5 5
1-20-10} 1-20-10 0 0555 →0 0111 005550 0000 x1=2x2十x4 方程组的一般解为： ,其中x2,x4是自由未知量。…8分 x3=-x4十1 令x2=x4=0,得方程组的一个特解X。=(0,0,1,0)' 方程组的导出组的一般解为： {巴=2x十x4,其中2，x4是自由未知量， x3= 令x2=1,x4=0,得导出组的解向量X1=(2,1,0,0)′； 令x2=0,x4=1,得导出组的解向量X2=(1,0,一1,1).…13分 所以方程组的通解为： X=X。+k1X1+k2X2=(0,0,1,0)'+k1(2,1,0,0)'+k2(1,0,-1,1)', 其中k1,k2是任意实数.…16分 13.解：(1)P(1<X<7)=P(1,3<X,3<7,3)=P(-1<,3<2) 2 2 2 2 =Φ(2)-Φ（一1）=0.9773+0.8413-1=0.8186…8分 (2)因为r(X<a）=P(X23<23)=(23)=0.9 所以423-1.28，a=3+2X1.28=5.56 ……………16分 14.解：已知=2，n=625,且u=一上~N(0,1) …5分 a/n 因为云=2.5，a=0.01,1-号=0.995,4-9=2.576 4-后-256X √625 =0.206…10分 所以置信度为99%的μ的置信区间为： [宝--4后z+u-4层=[2.2942061. …16分 四、证明题（本题6分） 15.证明：因为(A-I)(A+I)=A2-I=O,即A2=I. 所以，A为可逆矩阵.… 6分 579
一2 0 -1 0 1 11 -2 一1 0 • 10 0 5 5 5 1•10 0 1 1 1 o 0 5 5 5 I \0 0 0 0 0 = 2X2 +X4 方程组的一般解为斗，其中岛，句是自由未知量. X3= -X4 方程组 个特 方程组的导出组的一般解为: Xl =2X2 +X4 AUZ X3= -X4 . 得导 ' ; 1) . . ......……………. 13 所以方程组的通解为: X=Xo+kl Xl +k2X2= (0 , 0, 1,0) ' +kl (2 ，1 ，0 ，0)' 一1 ，1 其中仇 意实 .................. ..............…. ... ...... ............... 16 ~X-3 ~7-3 ~. . ~X-3 13. (1) P O In 所以置信度为 9 9 %的 μ的置信区间为: [王 f J … … … … … … … … … n 四、证明题(本题 15. l) l) 所以， 逆矩 .........................…. ...... ..……. .. ......…. ... ... ..………. 579