脉冲响应不变法(ImpulseInvariance)·基本原理·脉冲响应不变法设计DF的步骤·H(2)的确定·MATLAB计算脉冲响应不变法的H(z)2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 •基本原理 •脉冲响应不变法设计DF的步骤 •H(z)的确定 •MATLAB计算脉冲响应不变法的H(z) 脉冲响应不变法(Impulse Invariance)
基本原理h[k] = h(t)| =kTH(ej2)和H(jの)的关系H(ej2)=(1/T) Z H(j(Q-2元n)/T)n=-00H(ei0)=(1/T)H(Gj2),[2|≤元无混叠时：T数字滤波器在Q点的频响特性和模拟滤波器の=Q/T频响特性只差一个常数因子2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 t kT h k h t = = [ ] ( ) H(ejW)和H(jw)的关系： H T H( n T ) n (e ) (1/ ) j( 2π )/ j = − =− W W 无混叠时： (e ) (1/ ) (j ), π j = W W W T H T H 数字滤波器在W点的频响特性和模拟滤波器w = W/ T频 响特性只差一个常数因子 基本原理
例：设H（s）是一个3dB截频为.的一阶低通滤波器0.H(s)=s+0.1)用脉冲响应不变法求出H）2)如果用下图所示系统取代H（s)，比较两系统的幅度响应。y(t)[K]x[K]y(0)x(t) →A/DD/A离散系统H(jo)TTTh[k] = 0,e-0,T u[k]1)h(t) = w,e-ocu(t)0c0cH(z)=2)H(ej?)1-e-0 ,-11 -e-o.T e-jQ0cHer(jo)≤0, /2-e-ole-joT 2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 例: 设H (s)是一个3dB截频为wc的一阶低通滤波器， c c s H s w w + ( ) = 1)用脉冲响应不变法求出H(z) 2)如果用下图所示系统取代H (s)，比较两系统的幅度响应。 1) h(t) e u(t) t c w −wc = h[k] e u[k] kT c w −wc = 1 1 ( ) − − − = e z H z T c wc w − − W W − = T j j c e e H e wc w 1 2) ( ) , / 2 1 ( ) T j T s c eff e e H j c w w w w w w − = − − x(t) A/D 离散系统 D/A x[k] Hr (jw) y[k] T ys (t) yr (t) T
0H(ss+o.1-e-orHeff nor0≤0, / 20-e-Te-joT ,wc=2*pi*5;fs=50;ws=2*pi*fs;T=1/fs ;f=linspace(0,fs/2, 512) ;f1=linspace(0,fs/2, 512) ;C=(1-exp(-wc*T)) ;Heff=C./(1-exp(-wc*T)*exp(-j*2*pi*f*T)) ;Ha=wc./ (j*2*pi*f1+wc) ;plot(f,abs(Heff),fl,abs(Ha));grid;xlabel（'Hz');legend(Heff,Ha);2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 wc=2*pi*5;fs=50; ws=2*pi*fs;T=1/fs; f=linspace(0,fs/2, 512); f1=linspace(0,fs/2, 512); C=(1-exp(-wc*T)); Heff=C./(1-exp(-wc*T)*exp(-j*2*pi*f*T)); Ha=wc./(j*2*pi*f1+wc); plot(f,abs(Heff),f1,abs(Ha));grid; xlabel('Hz'); legend('Heff','Ha'); c c s H s w w + ( ) = , / 2 1 1 ( ) eff_nor T j T s T e e e H c c w w w w w w − − = − − −
门Hafr0.80.60.40.2%515251020Hzfs=50Hz1HeffHa0.80.60.40.20020406080100Hzfs-200Hz信息工程学院2025/7/2
2025/7/2 信息工程学院 0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.81 Hz Heff Ha fs=50 Hz 0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.81 Hz Heff Ha fs=200 Hz
脉冲响应不变法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{2]转换为模拟滤波器的频率指标【の]Wk = 2K / T2.1设计模拟滤波器的H(s)。由h[K]=T h(t) -kr从而得出H(z)。3. 12025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 脉冲响应不变法设计DF的步骤 1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为 模拟滤波器的频率指标{wk} w k = W k /T 2. 设计模拟滤波器的H(s)。 3. 由h[k]=T h(t)|t=kT从而得出H(z)
H(z)的确定H(s)es dsh(t)2元] TH(s)esTkdshlk2 元]TH(s)THds =H(Res(STE2 元jkI-eZH(2)的ROCexp(sT )z-exp(sT) = exp(Re( s)T)稳定AF→稳定DF2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 H(z)的确定 h t H s e d s st c ( ) 2π j 1 ( ) = h k TH s d s sT k c ( )e 2π j 1 [ ] = s z TH s H z c sT d 1 e ( ) 2π j 1 ( ) −1 − = pk s sT k z TH s = − − = ) 1 e ( ) Res( 1 H(z)的ROC exp( ) 1 1 − sT z z exp(sT) = exp(Re(s)T) 稳定AF → 稳定DF
MA·TH(s)=Z(s + p,) M)1=1A, d M-1M1H(z)=s =-Pl(M, -1)! ds M-1 1-esT z-1Y[=1-11Texp(-p,T)z-11(s + p,)?(1-e-piT z-l)?1 - e-piT z-ls + pi优点：の=Q/T缺点：混叠2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 Ml l l M l s p A TH s ( ) ( ) 1 + • = = l M sT M l l M l s p M s z A H z l l = − − − = − − − = 1 1 1 1 1 e 1 d d ( 1)! ( ) → + l s p 1 1 1 e 1 − − − z pl T → + 2 ( ) 1 pl s 1 2 1 (1 e ) exp( ) − − − − − z T p T z p T l l 优点：w = W /T 缺点：混叠
例：用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为2,的数字滤波器解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为11)确定模拟滤波器指标模拟滤波器的3dB截频为Q.0.pT2)设计模拟滤波器3dB截频为の,的一阶巴特沃思低通滤波器为0pH(s)=s+0P3）将模拟滤波器转换为数字滤波器?.TH(s)=S+(2, /T)信息工程学院2025/7/2
2025/7/2 信息工程学院 例: 用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计 一个3dB截频为Wp的数字滤波器。 解：设脉冲响应不变法中的取样间隔为T 1)确定模拟滤波器指标 模拟滤波器的3dB截频为 T p p W w = 2)设计模拟滤波器 3dB截频为wp的一阶巴特沃思低通滤波器为 p p ( ) w w + = s H s 3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器 ( / ) ( ) p p s T TH s W W + =
1>1-e-plz-IQs+ piTH(s)=s+(2, /T)?,H(z)=1-e-°*z--结论:1)抽样间隔T的取值和最终的设计结果无关2)由于?,±1H(e1-e-,所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率响应归一化。2025/7/2信息工程学院
2025/7/2 信息工程学院 ( / ) ( ) p p s T TH s W W + = 1 1 e 1 1 − − − → s + p z p T l l 1 p p 1 e ( ) − − − = z H z W W 结论： 1)抽样间隔T的取值和最终的设计结果无关。 2)由于 1 1 e (e ) p j0 p − = −W W H 所以在用脉冲响应不变法设计出数字滤波器后应该将其频率 响应归一化