第7章 MATLAB解方程与函数极值 7,1线性方程组求解 7,2非线性方程数值求解 73常微分方程初值问题的数值解法 7.4函数极值
第7章 MATLAB解方程与函数极值 7.1 线性方程组求解 7.2 非线性方程数值求解 7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.4 函数极值
71线性方程组求解 7.1.1直接解法 利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组4x=b,可以利用左除运算符“V求解: X=A\b
7.1 线性方程组求解 7.1.1 直接解法 1．利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求解： x=A\b
例7-1用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下: A=[2,1,5,1;1,5,0,7;0,2,1,1;1,6,-1,4; b=13,-9,6,0’; XA\b
例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; x=A\b
2.利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成 若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、 Cholesky分解,以及 Schur分解、 Hessenberg分解、奇异 分解等
2．利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成 若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、 Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异 分解等
(1)LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明,只 要方阵A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的l函数用于对矩阵进行LU分解,其调用格 式为: LU=u(X:产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L行交换),使之满足X=LU。注意,这里的矩阵X必须 是方阵。 ILU,Pl=u(X:产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 个置换矩阵P,使之满足PX 当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后,线性方程组Ax=b的解x=ULb)或 x=ULPb),这样可以大大提高运算速度
(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只 要方阵A是非奇异的，LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格 式为： [L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵X必须 是方阵。 [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度
例72用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下: A=[2,1,5,1;1,5,0,7;0,2,1,-1;1,6,1,-4; b=[13,-9,6,0’; LL, ULu(a); X=U\(LIb) 或采用LU分解的第2种格式,命令如下: LL,U, PIlu(A); X=U\LIP*b)
例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
(2)QR分解 对矩阵X进行QR分解,就是把X分解为一个正交矩阵Q和 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLABI的函数qr可用于对矩阵进行QR分解,其调用格 式为: Q,R|=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R, 使之满足X=QR。 Q,RE=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵配,使之满足XE=QR。 实现QR分解后,线性方程组Ax=b的解x=R(Qb)或 X-E(RIQIb)
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格 式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R， 使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))
例73用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下: A=[2,1,5,1;1,5,0,7;0,2,1,-1;1,6,1,-4; b=[13,-9,6,0’; IQ,REgr(a); X=RYQIb 或采用QR分解的第2种格式,命令如下: IQ,r,Eqr(A); X=E*(RIQIb))
例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))
(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的,则 Cholesky分解将矩阵X分解成 下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R 则下三角矩阵为其转置,即Ⅹ=RR。 MATLAB函数cho(X) 用于对矩阵X进行 Cholesky分解,其调用格式为: R=cho(X):产生一个上三角阵R,使RR=X。若X为非对称 正定,则输出一个出错信息。 IRyl=cho(X):这个命令格式将不输出出错信息。当X为对 正定的,则p=0,R与上述格式得到的结果相同:否则p 为一个正整数。如果X为满秩矩阵,则R为一个阶数为 q=p-1的上三角阵,且满足RR=X(1:q,1:q) 实现 Cholesky分解后,线性方程组Ax=b变成RRx=b,所以 x=R(R’\b)
(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成 一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R， 则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数chol(X) 用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对称 正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对 称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p 为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为 q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以 x=R\(R’\b)
例7-4用 Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下: A=[2,1,5,1;1,5,0,7;0,2,1,-1;1,6,1,-4; b=[13,-9,6,0’; R=chol(A) ??? Error using chol Matrix must be positive definite 命令执行时,出现错误信息,说明A为非正定矩阵
例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵