(2)2x=3x)-y dxdl、d,l、d (y)2y(y)3 (2)dxd,d2x、d,ydx_300)(y)2-yy)2130)2-y d$)=0)=0y=0 5.验证函数y= e sinx满足关系式 y”-2y+2y=0 解因为 y=e sin x+e cos x=e(sin x+ cos x) y=e(sinx+cos x)+e(cos x-sinx)=2e cosx 故而 y-2y+2y=2e cos x-2e(sin x+cos x)+2e x=0 6.求下列函数的n阶导数的表达式 (1)y (2) y=xIn cos(2x+n)=-2cos(2x+n)=2 sin[2x+(n-D)- (2)y=lmx+1y=1 (-1)”(n-2)=(-1(n-2)-(n≥2) (3)y=e+xex=(x+1)e2,y"=e2+(x+1)e2=(x+2)e2,y)=(x+n)e22 (1) 2 2 3 d d () x y y y ′′ = − ′ ; (2) 3 2 3 5 d 3( ) d () x y yy y y ′′ ′ ′′′ − = ′ . 证 (1) 2 2 23 d d 1 d 1d 1 () () d () () d dd x xy y y yy yy xy y y ′′ ′′ = = =− =− ′′ ′ ′ ′ . (2) 3 2 22 3 2 32 3 6 5 d d d d d 3( ) ( ) ( ) 1 3( ) () ( ) d d () () () dd d x x y x y y y y y yy yy y y y yx y y ′′ ′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′ ′′′ − − = =− = = ′′ ′ ′ . 5. 验证函数 e sin x y x = 满足关系式 y yy ′′ ′ − 2 20 + = . 解 因为 e sin e cos e (sin cos ) xx x y x x xx ′ =+ = + , e (sin cos ) e (cos sin ) 2e cos xx x y x x xx x ′′ = + + −= , 故而 2 2 2e cos 2e (sin cos ) 2e sin 0 xx x y yy x x x x ′′ ′ − += − + + = . 6. 求下列函数的 n 阶导数的表达式: (1) 2 y x = sin ; (2) ln yxx = ; (3) ex y x = ; (4) 2 2 1 y x a = − ; (5) 1 ln 1 x x + − . 解 (1) 2 1 sin (1 cos 2 ) 2 yx x = =− . () 1 1 2 ππ π cos(2 ) 2 cos(2 ) 2 sin[2 ( 1) ] 22 2 2 n n nn y xn xn x n − − =− + =− + = + − . (2) 1 y xy ln 1, x ′ ′′ =+ = , ( ) ( 2) 2 1 1 1 11 ( ) ( 1) ( 2)! ( 1) ( 2)! ( 2) nn n n n n y n nn x x x − − − − = =− − =− − ≥ . (3) ( ) e e ( 1)e , e ( 1)e ( 2)e , ( )e x x x x x xn x y x x y x x y xn ′ ′′ =+ =+ =++ =+ =+ . (4) 11 1 ( ) 2 y ax a x a = − − +