函数展开成幂级数的充要条件 定理18若函数f(x)在(-R,R内有任意阶导数,则f(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是f(x)泰勒余项R(x) 满足imRn(x)=0 证因余项为R(x)=f(x)-∑ k! 而级数收敛,则当x∈(-R,R,时 f(r) k! 所以f(x)=im2 ∫(0) x' e limlf(x)-∑ 0 k! n k! slim (x)=05 二.函数展开成幂级数的充要条件 定理18 若函数ƒ(x)在 (-R, R)内有任意阶导数, 则ƒ(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是ƒ(x)的泰勒余项 满足 ( ) R x n lim ( ) 0. n n R x → = ( ) 0 (0) ( ) ( ) ! n k k n k f R x f x x = k = − x R R  −( , ), ( ) 0 (0) ( ) lim ! n k k n k f f x x → = k 所以 =  ( ) 0 (0) lim[ ( ) ] 0 ! n k k n k f f x x → = k  − =  lim ( ) 0 n n R x →  = 证 因余项为 而级数收敛,则当 ( ) 0 (0) ( ) ! k k k f f x x k  = =  时