《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 六.全微分方程 1,如果一阶微分方程F(x,y,y)=0写为P(x,y)k+Q(x,y)山=0，且存在可微函数u(x,y), 使得=P+Q,则称P(x,y)+Q(x,y)=0为全微分方程，此时方程可以改写为： dM=0,即u=c,或(x,y)=c即为全微分方程P(xy)+Q(x,y)d=0的通解。 判断P(x,y)k+Q(x,y)=0是否为全微分方程，关键在于P+Q是否是某函数的全 微分，即是否有：.P。 例1.求解微分方程：(2x+y)k+(4y+x)d=0。 解：P=2+,Q=+4,得，是1，中婴得1在四平有内处线成立故 dx dy 此方程为全微分方程。 )x,川=∫0(2x+y+(4y+xd=002x++j(4y+x =后2x+4y+x刘=x+2y2+y 所以，方程的通解1=c为：x2+2y2+y=c; 口0P=2x+,g-0=4+,则 u-小Qx+h=++a,东导得：器-0=x+0,地能可得： c'()=4y,故cy)=2y2+c,从而方程的通解：x2+y+2y2+c=0: I3)分项组合凑微分法：方程(2x+y)d+(4y+x)山=0，可以写为：2xk+4y山+0水+xd)=0 2+d2y2)+dy)=0dx2+2y2+y)=0即x2+2y2+y=c 2.积分因子法 P+Q小=0不是全微分方程，若存在一个函数H=H(x,),使HP+4Q小=0为全 微分方程，则称H=(x,y)为一个积分因子。 常用的几个凑积分因子参考公式： )=+d=迹-达 d的=4- y2 10