第1期 杨2，等：基于模糊双曲模型的积分滑模控制 *63 1)对每一个输出变量，()，(r=1,W而言， 问题化简为确定对应的模糊变量个数问题，辨识的 第k条规则的形式为 复杂性大大降低，辨识参数的个数较少 R If xi is F,x2 is F and xn is F 3)与其他的模糊模型相比，模糊双曲模型更加 Then,(d=±C,±C,±…±C. 适合于所知有限的多变量非线性系统的逼近 k=1,2,…2" 1) 4)模糊双曲模型也是一种递归神经网络模型 式中：F,是与x对应的模糊子集，包括正(P刊和负 因此可以通过神经网络强大的学习功能来获取模型 (NW2个语言值，±C为与F,对应的2n个实常数 参数 2)常数项士C,与F,是一一对应的，即如果在 2积分滑模控制器的设计 f部分包括F,则在Then部分应对应包括士C,: 若考虑控制输入，则模糊双曲模型的数学表达 相反如果在f部分不包括F,则在Then部分也应 式为 不包括±C,·如果F,项所描述的语言值是正 x(t)Atanh(Lx(t)+Bu(t). (5) (p),则+C出现在Then部分；如果F,项所描述 式中：x()=(x1(t),xn()T∈R,u(t)= 的语言值是负(N,则-C,出现在Then部分. (h(t,um()T∈R,L=diag(h,ll,A和B 3)此模糊规则基共有2”条模糊规则，即在f部 是适当维数的常矩阵 分模糊变量包括所有可能的正(P)、负(N)组合 从式(5)中，可以得到如下结论：1)因为 为表达简便，设C,=+C,C,=-C an(=-号+活“一所以当1的值很 引理1给定n组模糊双曲模型的规则基，如 小的时候，FHM可以近似为线性模型x()= 果定义输入变量对应的模糊集合P和N的隶属函 ALx()+Bu();2)函数tanh(·)满足a,b∈R, 数为 |tanh(ad+tanh(,这说明函数tanh)是一类 r(x)=e (x)=(2) 奇函数并满足l-Lipschitz条件. 式中：，为常数，那么应用单点模糊器，乘机推理机， 选取积分切换函数 和中心平均反模糊器，可得 Cee+Co e s()=Cx()- fC(A +BK)tanh(Lx()dy. xr()=∑ ,2e':+e 6 ele 式中：需要设计矩阵C∈Rx,使CB是非奇异的： 设计矩阵K∈Rx,使A+BK是Hurwitz的 p.+2atanh(hx 在理想情况下，当系统进入滑模面以后，系统的 状态轨迹将保持在其上面，即满足s=0,从而有$= 式中：p,= Ce+CN 0.所以，从中可以求出等效控制量： 2 1。-C:C立所以，整个系统 2 ue Ktanh(Lx() 7) 的模型可表示为 把式)代入式(5)，得到在理想情况下系统的滑模 x(t)p Atanh(Lx(1). (3) 动态方程如下： 式中：p是常向量，A是常矩阵，tanh(L= x()=(A BK)tanh(Lx(()). (8) (tanh(hx),tanh(kx2).tanh(x),L= 注1这里采用积分滑模方法的主要目的是：应用它可 diag(h,.). 以较容易的处理一类非线性系统.因为对这类非线性系统， 称式(3)为模糊双曲模型(FHM) 尽管可以使用FHM来逼近，但是也不能与线性系统一样 如果取C和C,互为相反数，那么可得到如下 通过非奇异变换而成为标准型.因而使用常规的切换函数， 的齐次FHM: 即s(d=Cx(),对系统5)是失效的 x(Atanh(Lx(). 4) 为考虑滑模运动的稳定性，基于LMI方法给出 模糊双曲模型具有以下几个优点： 如下结果： 1)模糊双曲模型集合是TS模糊模型集合的 定理1为节省空间，如果存在对角矩阵R> 一个真子集.模糊双曲模型能够逼近定义在致密集 0,矩阵V>0,和适当维数的矩阵W满足： 上的非线性函数，是一种全局模型，因此可以根据此 V-W-WT (A+BKTLR +W <0 模型来逼近未知的非线性系统， LRL(A+BK+W -V 2)模糊双曲模型将传统的模糊模型的结构辨识 (9) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved htp://www.cnki.net1) 对每一个输出变量 Ûx r ( t) , ( r = 1 , …, n) 而言 , 第 k 条规则的形式为 R k :If x1 is Fx 1 , x2 is Fx 2 , …, and x n is Fx n Then Ûx r ( t) = ±C r Fx 1 ±C r Fx 2 ±…±C r Fx n , k = 1 ,2 , …,2 n . (1) 式中: Fx i是与 xi 对应的模糊子集,包括正 ( P) 和负 ( N) 2 个语言值, ±C r Fx i 为与 Fx i对应的 2n个实常数. 2) 常数项 ±C r Fx i 与 Fx i是一一对应的 ,即如果在 If 部分包括 Fx i ,则在 Then 部分应对应包括 ±C r Fx i ; 相反如果在 If 部分不包括 Fx i ,则在 Then 部分也应 不包括 ±C r Fx i . 如果 Fx i 项所描述的语言值是正 ( P) ,则 + C r Fx i 出现在 Then 部分;如果 Fx i 项所描述 的语言值是负( N) ,则 - C r Fx i 出现在 Then 部分. 3) 此模糊规则基共有 2 n 条模糊规则 ,即在 If 部 分模糊变量包括所有可能的正( P) 、负( N) 组合. 为表达简便 ,设 C r Pi = + C r Fx i , C r N i = - C r Fx i . 引理 1 给定 n 组模糊双曲模型的规则基 ,如 果定义输入变量对应的模糊集合 P 和 N 的隶属函 数为 μP ( xi) = e - 1 2 ( x i - l i ) 2 ,μN ( xi) = e - 1 2 ( x i +l i ) 2 . (2) 式中 :li 为常数 ,那么应用单点模糊器 ,乘机推理机 , 和中心平均反模糊器 ,可得 Ûx r ( t) = ∑ n i = 1 C r Pi e l i x i + C r N i e - l i x i e l i x i + e - l i x i = ∑ n i =1 pi + ∑ n i =1 qi e l i x i - e - l i x i e l i x i + e - l i x i = ∑ n i = 1 pi + ∑ n i =1 qi tanh ( li x i) . 式中 : pi = C r Pi + C r N i 2 , qi = C r Pi - C r N i 2 . 所以 ,整个系统 的模型可表示为 Ûx ( t) = p + Atanh (Lx ( t) ) . (3) 式中 : p 是常向量 , A 是常矩阵 ,tanh (L x) = (tanh ( l1 x1 ) ,tanh ( l2 x2 ) , …,tanh ( ln x n ) ) T ,L = diag ( l1 , …, ln ) . 称式(3) 为模糊双曲模型(F HM) . 如果取 C r Pi和 C r N i互为相反数 ,那么可得到如下 的齐次 F HM : Ûx ( t) = Atanh (Lx ( t) ) . (4) 模糊双曲模型具有以下几个优点 : 1) 模糊双曲模型集合是 T2S 模糊模型集合的 一个真子集. 模糊双曲模型能够逼近定义在致密集 上的非线性函数 ,是一种全局模型 ,因此可以根据此 模型来逼近未知的非线性系统. 2) 模糊双曲模型将传统的模糊模型的结构辨识 问题化简为确定对应的模糊变量个数问题 ,辨识的 复杂性大大降低 ,辨识参数的个数较少. 3) 与其他的模糊模型相比 ,模糊双曲模型更加 适合于所知有限的多变量非线性系统的逼近. 4) 模糊双曲模型也是一种递归神经网络模型 , 因此可以通过神经网络强大的学习功能来获取模型 参数. 2 积分滑模控制器的设计 若考虑控制输入 ,则模糊双曲模型的数学表达 式为 Ûx ( t) = Atanh (Lx ( t) ) + Bu ( t) . (5) 式中 : x ( t) = ( x1 ( t) , …, x n ( t) ) T ∈R n , u ( t) = ( u1 ( t) , …, um ( t) ) T ∈R m ,L = diag ( l1 , …, ln ) , A 和 B 是适当维数的常矩阵. 从式 ( 5 ) 中 , 可 以 得 到 如 下 结 论 : 1 ) 因 为 tanh ( xi) = xi - x 3 i 3 + 2 x 5 i 15 - …,所以当| xi ( t) | 的值很 小的时候 , F HM 可以近似为线性模型 Ûx ( t) = AL x( t) + Bu( t) ; 2) 函数 tanh ( ·) 满足 Πa , b ∈R, | tanh ( a) + tanh ( b) | ,这说明函数 tanh ( ·) 是一类 奇函数并满足 12Lip schitz 条件. 选取积分切换函数 s( t) = Cx ( t) -∫ t 0 C( A + BK) tanh (Lx ( v) ) dv. (6) 式中 :需要设计矩阵 C ∈R m ×n ,使 CB 是非奇异的; 设计矩阵 K∈R m ×n ,使 A + B K是 Hurwitz 的. 在理想情况下 ,当系统进入滑模面以后 ,系统的 状态轨迹将保持在其上面 ,即满足 s = 0 ,从而有 Ûs = 0. 所以 ,从中可以求出等效控制量 : ue = Ktanh (Lx ( t) ) . (7) 把式(7) 代入式(5) ,得到在理想情况下系统的滑模 动态方程如下 : Ûx ( t) = ( A + BK) tanh (Lx ( t) ) . (8) 注 1 这里采用积分滑模方法的主要目的是 :应用它可 以较容易的处理一类非线性系统. 因为对这类非线性系统 , 尽管可以使用 FHM 来逼近 ,但是也不能与线性系统一样 , 通过非奇异变换而成为标准型. 因而使用常规的切换函数 , 即 s( t) = Cx( t) ,对系统(5) 是失效的. 为考虑滑模运动的稳定性 ,基于 LMI 方法给出 如下结果 : 定理 1 为节省空间 ,如果存在对角矩阵 R > 0 ,矩阵 V > 0 ,和适当维数的矩阵 W 满足 : V - W - W T ( A + BK) T LR + W T RL (A + BK) + W - V < 0 , (9) 第 1 期 杨 − ,等 :基于模糊双曲模型的积分滑模控制 · 36 · © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net