·64 智能系统学报 第3卷 则滑模动态(8)是渐近稳定的， 证明选取如下的Lyapunov函数： 2gns0/≤，+l V()=2∑ln(cosh,x). 10) 式中：s是s(的第i个分量.因此，对廿ls()‖≠ T 0,P()<0.这表明，系统的状态轨迹能在有限时间 式中：：是x()的第i个分量，h是L第i个对角元 内到达滑模面s()=0上并且保持在上面运动」 素，并且1>0，n>0.因为 注3对于确定的：，可以通过选取适当大的”加快达 cosh(l.x=s，≥e)ie=L. 到滑模面的时间，从而可减弱系统抖动对实时控制带来的不 2 利影响 11) 为了便于实现该控制器，假设对1，存在标量， 可知，对x(),并且当lx()I→时，V( ymax(y0,max()>0,并给出如下推论： 因此有 推论1考虑系统(5)和切换函数(6)，取C= p(w=2∑ntanh(Ix) BR并且R是LMI(9)的解，如果采用如下积分滑 模控制器： 2tanhT (Lx()RL u(1 Ktanh(Lx(v)-(ys(1+sgn(s(()), 2tanh (Lx(1)RL[(A BK)tanh(Lx()]= 16) tanh (Lx(1))[RL(A +BK)+(A+ 则系统（⑤）的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模 BK)LR]tanh(Lx() 面s()=0上并且保持在它上面运动. 式中：R=diag(n,ral∈Rx 因此，可以按照下列步骤设计变结构控制器： 应用文献[12]中的逆投影引理，可知式(9)成立 l)设计矩阵K,使A+BK是Hurwitz的； 等价于 2)通过解LMI(9),求得对角正定矩阵R; RL(A +BK)+(A+BKLR 0.(12) 3)取滑模增益矩阵C=B「R,并得到积分切换 如果式(12)成立，则户()<0，即滑模动态是渐近稳 函数s(): 定的. 4)选取适当标量y0,>0,根据式，设计出控 注2因为要求A+BK是Hurwitz的，所以可以根据线 制器u() 性系统反馈设计的方法，例如极点配置、特征向量配置等方 3 仿真例子 法来确定矩阵K,以满足不同的动态性能.当然，同时还要满 足定理1的条件，才能确保滑模动态的稳定性 考虑文献[10]中的连续非线性系统，经过辨识 下一步，需要设计积分滑模控制器，来保证系统 和建模过程？，o1,可以得到它的FHM如下： 的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模面上并且保 x(d Atanh(Lx(D)+Bu(d. 17) 持在它上面运动 定理2为节省空间，如果采用如下积分滑模 0 -0.6 1.3533 0 L= 控制器 式中：A= 0.8 -0.6 0 0.0527 u(1)Ktanh(Lx(1))-(Ys(1 Zsgn(s())). B=1011. (13) 在该例中，取初值为x0)=[0.10.51,并且 式中：Y=diag(y)∈Rxm,y,0,Z=diag(z)∈ 选择矩阵K=207.5333-19.4000],然后求得 Rx,>0,则系统5)的状态轨迹能够在有限时间 304.0499 0 R= ,C=022.48641.取 内到达滑模面s()=0上并且保持在它上面运动. 0 22.4864 证明选取如下的Lyapunov函数： y=0.5,=1,则积分滑模控制器u(可通过式 v(( 14) (16)得出 图1~3分别显示了系统(17)的状态轨迹，控制 把式(13)代入式(6)，可得 信号u()和积分切换函数s()的曲线， s(t)=-CB(Ys(t)Zsgn(s(1))). 15) 仿真结果说明文中所提出的积分滑模控制器设 于是有 计方法对一类能使用FHM逼近的非线性系统是非 户()=sT()(B)s()=-sT()s)+ 常有效的 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net则滑模动态(8) 是渐近稳定的. 证明 选取如下的 Lyap unov 函数 : V ( t) = 2 ∑ n i =1 ri ln (cosh ( li x i) ) . (10) 式中 : xi 是 x ( t) 的第 i 个分量 , li 是 L 第 i 个对角元 素 ,并且 li > 0 , ri > 0. 因为 cosh ( li x i) = e l i x i + e - l i x i 2 ≥(e l i x i ) 1 2 (e - l i x i ) 1 2 = 1 , (11) 可知 ,对 Πx( t) ,并且当 ‖x( t) ‖→∞时 ,V ( t) →∞. 因此有 VÛ( t) = 2 ∑ n i =1 ri tanh ( li x i) liÛx i = 2tanh T (Lx ( t) ) RLÛx = 2tanh T (Lx ( t) ) RL [ ( A + BK) tanh (Lx ( t) ) ] = tanh T (Lx ( t) ) [ RL ( A + BK) + (A + BK) T LR] tanh (Lx ( t) ) . 式中 :R = diag ( r1 , …, rn ) ∈R n×n . 应用文献[ 12 ]中的逆投影引理 ,可知式(9) 成立 等价于 : RL (A + BK) + ( A + BK) T LR < 0. (12) 如果式(12) 成立 ,则 VÛ( t) < 0 ,即滑模动态是渐近稳 定的. 注 2 因为要求 A + B K是 Hurwitz 的 ,所以可以根据线 性系统反馈设计的方法 ,例如极点配置、特征向量配置等方 法来确定矩阵 K,以满足不同的动态性能. 当然 ,同时还要满 足定理 1 的条件 ,才能确保滑模动态的稳定性. 下一步 ,需要设计积分滑模控制器 ,来保证系统 的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模面上并且保 持在它上面运动. 定理 2 为节省空间 ,如果采用如下积分滑模 控制器 u( t) = Ktanh (Lx ( t) ) - ( Ys ( t) + Zsgn (s( t) ) ) . (13) 式中 : Y = diag ( yi) ∈R m ×m , yi ≥0 , Z = diag ( zi) ∈ R m ×m , zi > 0 ,则系统(5) 的状态轨迹能够在有限时间 内到达滑模面 s( t) = 0 上并且保持在它上面运动. 证明 选取如下的 Lyap unov 函数 : V ( t) = 1 2 s T ( t) ( CB) - 1 s( t) . (14) 把式(13) 代入式(6) ,可得 Ûs( t) = - CB ( Ys ( t) + Zsgn (s( t) ) ) . (15) 于是有 VÛ( t) = s T ( t) ( CB) - 1Ûs( t) = - s T ( t) ( Ys ( t) + Zsgn (s( t) ) ) ≤ ∑ m i =1 ( yis 2 i + zi | si | ) . 式中 :si 是 s ( t) 的第 i 个分量. 因此 ,对 Π ‖s( t) ‖≠ 0 , VÛ( t) < 0. 这表明 ,系统的状态轨迹能在有限时间 内到达滑模面 s( t) = 0 上并且保持在上面运动. 注 3 对于确定的 zi ,可以通过选取适当大的 yi 加快达 到滑模面的时间 ,从而可减弱系统抖动对实时控制带来的不 利影响. 为了便于实现该控制器 ,假设对 Πi ,存在标量 , …y ≥max ( yi) ≥0 , …z ≥max ( zi) > 0 ,并给出如下推论 : 推论 1 考虑系统 (5) 和切换函数 (6) ,取 C = B T R 并且 R 是 LMI(9) 的解 ,如果采用如下积分滑 模控制器 : u( t) = Ktanh (Lx ( t) ) - ( …ys ( t) + …zsgn (s( t) ) ) , (16) 则系统(5) 的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模 面 s( t) = 0 上并且保持在它上面运动. 因此 ,可以按照下列步骤设计变结构控制器 : 1) 设计矩阵 K,使 A + B K是 Hurwitz 的 ; 2) 通过解 LMI(9) ,求得对角正定矩阵 R; 3) 取滑模增益矩阵 C = B T R ,并得到积分切换 函数 s( t) ; 4) 选取适当标量 …y ≥0 , …z > 0 ,根据式 ,设计出控 制器 u( t) . 3 仿真例子 考虑文献[10 ]中的连续非线性系统 ,经过辨识 和建模过程[7 ,10 ] ,可以得到它的 F HM 如下 : Ûx ( t) = Atanh (Lx ( t) ) + Bu ( t) . (17) 式中 :A = 0 - 0. 6 0. 8 - 0. 6 , L = 1. 353 3 0 0 0. 052 7 , B = [0 1 ] T . 在该例中 ,取初值为 x (0) = [ 0. 1 0. 5 ] T ,并且 选择矩阵 K= [207. 533 3 - 19. 400 0 ] ,然后求得 R = 304. 049 9 0 0 22. 486 4 , C = [0 22. 486 4 ]. 取 …y = 0. 5 , …z = 1 , 则积分滑模控制器 u ( t) 可通过式 (16) 得出. 图 1～3 分别显示了系统(17) 的状态轨迹 ,控制 信号 u( t) 和积分切换函数 s( t) 的曲线. 仿真结果说明文中所提出的积分滑模控制器设 计方法对一类能使用 F HM 逼近的非线性系统是非 常有效的. · 46 · 智 能 系 统 学 报 第 3 卷 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net