第3卷第1期 智能系统学报 Vol.3№1 2008年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Fcb.2008 基于模糊双曲模型的积分滑模控制 杨2，张化光 (东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110004) 摘要：针对一般形式的非线性系统，提出一种基于模糊双曲模型(FHM)的积分滑模控制器设计方法.利用模糊双 曲模型来表述这类连续非线性系统.构建出积分滑模面，利用线性矩阵不等式(LM)方法得到滑模动态渐近稳定的 充分条件.设计了积分滑模控制器，保证了系统的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模面上并且保持在它上面运 动.仿真结果表明了该方法的有效性. 关键词：积分滑模控制；模糊双曲模型；非线性系统 中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1673-4785(2008)01-0062-04 Design of integral sliding mode controller based on fuzzy hyperbolic model YAN GJun,ZHANG Hua-guang (School of Information Science and Engineering,Northeastern University,Shenyang 110004,China) Abstract:An integral sliding mode controller design method is presented based on fuzzy hyperbolic model (FHM)for general form nonlinear systems.First,an FHM is employed to represent a class of nonlinear continuous-time systems.Then an integral sliding surface is constructed.A sufficient condition is derived to guarantee the asymptotical stability of the sliding dynamics in terms of linear matrix inequality (LMD). Next,the synthesized sliding mode controller guarantees the reachability of the specified sliding surface in finite time interval.Finally,a simulation example is provided to demonstrate the effectiveness of the pro- posed method. Key words :integral sliding mode control;fuzzy hyperbolic model;nonlinear system 滑模控制（也称变结构控制）以其算法简单，易果，例如文献[3].平行于下S模糊模型，文献[7]提 于实现及良好的鲁棒性等优点，一直受到国内外控 出一种新型模糊模型模糊双曲模型(FHM), 制领域学者的普遍关注.近20年来，针对非线性它同样可以用来描述一类未知非线性系统，并且文 系统，以微分几何为主要工具来研究其滑模控制问 献[8]己经证明FHM具有一致逼近能力.文献[9 题，取得了许多成果)但这类方法往往需要系统满 11]在文献[7]的基础上给出了基于FHM的一类稳 足一些特定的形式，所以针对一般形式的非线性系 定的模糊控制器设计方法，但是基于该模型的滑模 统而研究其滑模控制问题是具有现实意义的 控制的研究还未见报道.文中基于FHM研究了一 模糊控制技术已经被广泛的应用于对复杂的非 类连续非线性系统的积分滑模控制问题，仿真结果 线性系统建模及控制器的实现上，理论证明也显示 表明，该方法是有效的 了模糊模型具有万能逼近能力1.特别是针对下S 模糊模型，近年来被广泛的应用6.实际上，基于下 1模糊双曲模型 S模糊模型的滑模控制问题，也己取得了许多的成 定义1侧已知一个非线性系统由n个输入变 量x(=(x1(),2(t),,xm())T和n个输出变 收稿日期：2007-0611 基金项目：因家自然科学基金资助项目(60325311,60534010,6057 量x()=((),2(d,xm()「组成.如果用来 2070,60521003). 描述系统的模糊规则基满足以下的条件，则称这组 通讯作者：杨君，E-mail:yangjun@se.neu.cdu.cn. 模糊规则基为模糊双曲模型的规则基： 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://ww.cnki.net
2070 , 60521003) . 第 3 卷第 1 期 基金项目 :国家自然科学基金资助项目(60325311 , 60534010 , 6057 Û Û Û Û 智 能 系 统 学 报 Vol. 3 №. 1 2008 年 2 月 CAA I Transactions on Intelligent Systems Feb. 2008 基于模糊双曲模型的积分滑模控制 杨 − , 张化光 (东北大学 信息科学与工程学院 ,辽宁 沈阳 110004) 摘 要 :针对一般形式的非线性系统 ,提出一种基于模糊双曲模型( FHM) 的积分滑模控制器设计方法. 利用模糊双 曲模型来表述这类连续非线性系统. 构建出积分滑模面 ,利用线性矩阵不等式(LMI) 方法得到滑模动态渐近稳定的 充分条件. 设计了积分滑模控制器 ,保证了系统的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模面上并且保持在它上面运 动. 仿真结果表明了该方法的有效性. 关键词 :积分滑模控制 ; 模糊双曲模型 ; 非线性系统 中图分类号 : TP273 文献标识码 :A 文章编号 :167324785 (2008) 0120062204 Design of integral sliding mode controller based on fuzzy hyperbolic model YAN G J un , ZHAN G Hua2guang (School of Information Science and Engineering , Northeastern University , Shenyang 110004 , China) Abstract :An integral sliding mode controller design met hod is presented based on f uzzy hyperbolic model (F HM) for general form nonlinear systems. First , an F HM is employed to represent a class of nonlinear continuous2time systems. Then an integral sliding surface is constructed. A sufficient condition is derived to guarantee the asymptotical stability of t he sliding dynamics in terms of linear matrix inequality (LMI) . Next , t he synt hesized sliding mode controller guarantees t he reachability of t he specified sliding surface in finite time interval. Finally , a simulation example is provided to demonstrate t he effectiveness of t he pro2 posed met hod. Keywords :integral sliding mode control ; f uzzy hyperbolic model ; nonlinear system 收稿日期 :2007206211. 通讯作者 :杨 . E2mail :yangjun @ise. neu. edu. cn. 滑模控制(也称变结构控制) 以其算法简单 ,易 于实现及良好的鲁棒性等优点 ,一直受到国内外控 制领域学者的普遍关注[124 ] . 近 20 年来 ,针对非线性 系统 ,以微分几何为主要工具来研究其滑模控制问 题 ,取得了许多成果[2 ] . 但这类方法往往需要系统满 足一些特定的形式 ,所以针对一般形式的非线性系 统而研究其滑模控制问题是具有现实意义的. 模糊控制技术已经被广泛的应用于对复杂的非 线性系统建模及控制器的实现上. 理论证明也显示 了模糊模型具有万能逼近能力[5 ] . 特别是针对 T2S 模糊模型 ,近年来被广泛的应用[ 6 ] . 实际上 ,基于 T2 S 模糊模型的滑模控制问题 ,也已取得了许多的成 果 ,例如文献[ 3 ]. 平行于 T2S 模糊模型 ,文献[ 7 ]提 出一种新型模糊模型 ———模糊双曲模型 (F HM) , 它同样可以用来描述一类未知非线性系统 ,并且文 献[8 ]已经证明 F HM 具有一致逼近能力. 文献[ 92 11 ]在文献[ 7 ]的基础上给出了基于 F HM 的一类稳 定的模糊控制器设计方法 ,但是基于该模型的滑模 控制的研究还未见报道. 文中基于 F HM 研究了一 类连续非线性系统的积分滑模控制问题 ,仿真结果 表明 ,该方法是有效的. 1 模糊双曲模型 定义 1 [8 ] 已知一个非线性系统由 n 个输入变 量 x ( t) = ( x1 ( t) , x2 ( t) , …, x n ( t) ) T 和 n 个输出变 量 x ( t) = ( x1 ( t) , x2 ( t) , …, x n ( t) ) T 组成. 如果用来 描述系统的模糊规则基满足以下的条件 ,则称这组 模糊规则基为模糊双曲模型的规则基 : ' 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 珺
第1期 杨2，等：基于模糊双曲模型的积分滑模控制 *63 1)对每一个输出变量，()，(r=1,W而言， 问题化简为确定对应的模糊变量个数问题，辨识的 第k条规则的形式为 复杂性大大降低，辨识参数的个数较少 R If xi is F,x2 is F and xn is F 3)与其他的模糊模型相比，模糊双曲模型更加 Then,(d=±C,±C,±…±C. 适合于所知有限的多变量非线性系统的逼近 k=1,2,…2" 1) 4)模糊双曲模型也是一种递归神经网络模型 式中：F,是与x对应的模糊子集，包括正(P刊和负 因此可以通过神经网络强大的学习功能来获取模型 (NW2个语言值，±C为与F,对应的2n个实常数 参数 2)常数项士C,与F,是一一对应的，即如果在 2积分滑模控制器的设计 f部分包括F,则在Then部分应对应包括士C,: 若考虑控制输入，则模糊双曲模型的数学表达 相反如果在f部分不包括F,则在Then部分也应 式为 不包括±C,·如果F,项所描述的语言值是正 x(t)Atanh(Lx(t)+Bu(t). (5) (p),则+C出现在Then部分；如果F,项所描述 式中：x()=(x1(t),xn()T∈R,u(t)= 的语言值是负(N,则-C,出现在Then部分. (h(t,um()T∈R,L=diag(h,ll,A和B 3)此模糊规则基共有2”条模糊规则，即在f部 是适当维数的常矩阵 分模糊变量包括所有可能的正(P)、负(N)组合 从式(5)中，可以得到如下结论：1)因为 为表达简便，设C,=+C,C,=-C an(=-号+活“一所以当1的值很 引理1给定n组模糊双曲模型的规则基，如 小的时候，FHM可以近似为线性模型x()= 果定义输入变量对应的模糊集合P和N的隶属函 ALx()+Bu();2)函数tanh(·)满足a,b∈R, 数为 |tanh(ad+tanh(,这说明函数tanh)是一类 r(x)=e (x)=(2) 奇函数并满足l-Lipschitz条件. 式中：，为常数，那么应用单点模糊器，乘机推理机， 选取积分切换函数 和中心平均反模糊器，可得 Cee+Co e s()=Cx()- fC(A +BK)tanh(Lx()dy. xr()=∑ ,2e':+e 6 ele 式中：需要设计矩阵C∈Rx,使CB是非奇异的： 设计矩阵K∈Rx,使A+BK是Hurwitz的 p.+2atanh(hx 在理想情况下，当系统进入滑模面以后，系统的 状态轨迹将保持在其上面，即满足s=0,从而有$= 式中：p,= Ce+CN 0.所以，从中可以求出等效控制量： 2 1。-C:C立所以，整个系统 2 ue Ktanh(Lx() 7) 的模型可表示为 把式)代入式(5)，得到在理想情况下系统的滑模 x(t)p Atanh(Lx(1). (3) 动态方程如下： 式中：p是常向量，A是常矩阵，tanh(L= x()=(A BK)tanh(Lx(()). (8) (tanh(hx),tanh(kx2).tanh(x),L= 注1这里采用积分滑模方法的主要目的是：应用它可 diag(h,.). 以较容易的处理一类非线性系统.因为对这类非线性系统， 称式(3)为模糊双曲模型(FHM) 尽管可以使用FHM来逼近，但是也不能与线性系统一样 如果取C和C,互为相反数，那么可得到如下 通过非奇异变换而成为标准型.因而使用常规的切换函数， 的齐次FHM: 即s(d=Cx(),对系统5)是失效的 x(Atanh(Lx(). 4) 为考虑滑模运动的稳定性，基于LMI方法给出 模糊双曲模型具有以下几个优点： 如下结果： 1)模糊双曲模型集合是TS模糊模型集合的 定理1为节省空间，如果存在对角矩阵R> 一个真子集.模糊双曲模型能够逼近定义在致密集 0,矩阵V>0,和适当维数的矩阵W满足： 上的非线性函数，是一种全局模型，因此可以根据此 V-W-WT (A+BKTLR +W <0 模型来逼近未知的非线性系统， LRL(A+BK+W -V 2)模糊双曲模型将传统的模糊模型的结构辨识 (9) 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved htp://www.cnki.net
1) 对每一个输出变量 Ûx r ( t) , ( r = 1 , …, n) 而言 , 第 k 条规则的形式为 R k :If x1 is Fx 1 , x2 is Fx 2 , …, and x n is Fx n Then Ûx r ( t) = ±C r Fx 1 ±C r Fx 2 ±…±C r Fx n , k = 1 ,2 , …,2 n . (1) 式中: Fx i是与 xi 对应的模糊子集,包括正 ( P) 和负 ( N) 2 个语言值, ±C r Fx i 为与 Fx i对应的 2n个实常数. 2) 常数项 ±C r Fx i 与 Fx i是一一对应的 ,即如果在 If 部分包括 Fx i ,则在 Then 部分应对应包括 ±C r Fx i ; 相反如果在 If 部分不包括 Fx i ,则在 Then 部分也应 不包括 ±C r Fx i . 如果 Fx i 项所描述的语言值是正 ( P) ,则 + C r Fx i 出现在 Then 部分;如果 Fx i 项所描述 的语言值是负( N) ,则 - C r Fx i 出现在 Then 部分. 3) 此模糊规则基共有 2 n 条模糊规则 ,即在 If 部 分模糊变量包括所有可能的正( P) 、负( N) 组合. 为表达简便 ,设 C r Pi = + C r Fx i , C r N i = - C r Fx i . 引理 1 给定 n 组模糊双曲模型的规则基 ,如 果定义输入变量对应的模糊集合 P 和 N 的隶属函 数为 μP ( xi) = e - 1 2 ( x i - l i ) 2 ,μN ( xi) = e - 1 2 ( x i +l i ) 2 . (2) 式中 :li 为常数 ,那么应用单点模糊器 ,乘机推理机 , 和中心平均反模糊器 ,可得 Ûx r ( t) = ∑ n i = 1 C r Pi e l i x i + C r N i e - l i x i e l i x i + e - l i x i = ∑ n i =1 pi + ∑ n i =1 qi e l i x i - e - l i x i e l i x i + e - l i x i = ∑ n i = 1 pi + ∑ n i =1 qi tanh ( li x i) . 式中 : pi = C r Pi + C r N i 2 , qi = C r Pi - C r N i 2 . 所以 ,整个系统 的模型可表示为 Ûx ( t) = p + Atanh (Lx ( t) ) . (3) 式中 : p 是常向量 , A 是常矩阵 ,tanh (L x) = (tanh ( l1 x1 ) ,tanh ( l2 x2 ) , …,tanh ( ln x n ) ) T ,L = diag ( l1 , …, ln ) . 称式(3) 为模糊双曲模型(F HM) . 如果取 C r Pi和 C r N i互为相反数 ,那么可得到如下 的齐次 F HM : Ûx ( t) = Atanh (Lx ( t) ) . (4) 模糊双曲模型具有以下几个优点 : 1) 模糊双曲模型集合是 T2S 模糊模型集合的 一个真子集. 模糊双曲模型能够逼近定义在致密集 上的非线性函数 ,是一种全局模型 ,因此可以根据此 模型来逼近未知的非线性系统. 2) 模糊双曲模型将传统的模糊模型的结构辨识 问题化简为确定对应的模糊变量个数问题 ,辨识的 复杂性大大降低 ,辨识参数的个数较少. 3) 与其他的模糊模型相比 ,模糊双曲模型更加 适合于所知有限的多变量非线性系统的逼近. 4) 模糊双曲模型也是一种递归神经网络模型 , 因此可以通过神经网络强大的学习功能来获取模型 参数. 2 积分滑模控制器的设计 若考虑控制输入 ,则模糊双曲模型的数学表达 式为 Ûx ( t) = Atanh (Lx ( t) ) + Bu ( t) . (5) 式中 : x ( t) = ( x1 ( t) , …, x n ( t) ) T ∈R n , u ( t) = ( u1 ( t) , …, um ( t) ) T ∈R m ,L = diag ( l1 , …, ln ) , A 和 B 是适当维数的常矩阵. 从式 ( 5 ) 中 , 可 以 得 到 如 下 结 论 : 1 ) 因 为 tanh ( xi) = xi - x 3 i 3 + 2 x 5 i 15 - …,所以当| xi ( t) | 的值很 小的时候 , F HM 可以近似为线性模型 Ûx ( t) = AL x( t) + Bu( t) ; 2) 函数 tanh ( ·) 满足 Πa , b ∈R, | tanh ( a) + tanh ( b) | ,这说明函数 tanh ( ·) 是一类 奇函数并满足 12Lip schitz 条件. 选取积分切换函数 s( t) = Cx ( t) -∫ t 0 C( A + BK) tanh (Lx ( v) ) dv. (6) 式中 :需要设计矩阵 C ∈R m ×n ,使 CB 是非奇异的; 设计矩阵 K∈R m ×n ,使 A + B K是 Hurwitz 的. 在理想情况下 ,当系统进入滑模面以后 ,系统的 状态轨迹将保持在其上面 ,即满足 s = 0 ,从而有 Ûs = 0. 所以 ,从中可以求出等效控制量 : ue = Ktanh (Lx ( t) ) . (7) 把式(7) 代入式(5) ,得到在理想情况下系统的滑模 动态方程如下 : Ûx ( t) = ( A + BK) tanh (Lx ( t) ) . (8) 注 1 这里采用积分滑模方法的主要目的是 :应用它可 以较容易的处理一类非线性系统. 因为对这类非线性系统 , 尽管可以使用 FHM 来逼近 ,但是也不能与线性系统一样 , 通过非奇异变换而成为标准型. 因而使用常规的切换函数 , 即 s( t) = Cx( t) ,对系统(5) 是失效的. 为考虑滑模运动的稳定性 ,基于 LMI 方法给出 如下结果 : 定理 1 为节省空间 ,如果存在对角矩阵 R > 0 ,矩阵 V > 0 ,和适当维数的矩阵 W 满足 : V - W - W T ( A + BK) T LR + W T RL (A + BK) + W - V < 0 , (9) 第 1 期 杨 − ,等 :基于模糊双曲模型的积分滑模控制 · 36 · © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
·64 智能系统学报 第3卷 则滑模动态(8)是渐近稳定的， 证明选取如下的Lyapunov函数： 2gns0/≤，+l V()=2∑ln(cosh,x). 10) 式中：s是s(的第i个分量.因此，对廿ls()‖≠ T 0,P()0，n>0.因为 注3对于确定的：，可以通过选取适当大的”加快达 cosh(l.x=s，≥e)ie=L. 到滑模面的时间，从而可减弱系统抖动对实时控制带来的不 2 利影响 11) 为了便于实现该控制器，假设对1，存在标量， 可知，对x(),并且当lx()I→时，V( ymax(y0,max()>0,并给出如下推论： 因此有 推论1考虑系统(5)和切换函数(6)，取C= p(w=2∑ntanh(Ix) BR并且R是LMI(9)的解，如果采用如下积分滑 模控制器： 2tanhT (Lx()RL u(1 Ktanh(Lx(v)-(ys(1+sgn(s(()), 2tanh (Lx(1)RL[(A BK)tanh(Lx()]= 16) tanh (Lx(1))[RL(A +BK)+(A+ 则系统（⑤）的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模 BK)LR]tanh(Lx() 面s()=0上并且保持在它上面运动. 式中：R=diag(n,ral∈Rx 因此，可以按照下列步骤设计变结构控制器： 应用文献[12]中的逆投影引理，可知式(9)成立 l)设计矩阵K,使A+BK是Hurwitz的； 等价于 2)通过解LMI(9),求得对角正定矩阵R; RL(A +BK)+(A+BKLR 0.(12) 3)取滑模增益矩阵C=B「R,并得到积分切换 如果式(12)成立，则户()0,根据式，设计出控 注2因为要求A+BK是Hurwitz的，所以可以根据线 制器u() 性系统反馈设计的方法，例如极点配置、特征向量配置等方 3 仿真例子 法来确定矩阵K,以满足不同的动态性能.当然，同时还要满 足定理1的条件，才能确保滑模动态的稳定性 考虑文献[10]中的连续非线性系统，经过辨识 下一步，需要设计积分滑模控制器，来保证系统 和建模过程？，o1,可以得到它的FHM如下： 的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模面上并且保 x(d Atanh(Lx(D)+Bu(d. 17) 持在它上面运动 定理2为节省空间，如果采用如下积分滑模 0 -0.6 1.3533 0 L= 控制器 式中：A= 0.8 -0.6 0 0.0527 u(1)Ktanh(Lx(1))-(Ys(1 Zsgn(s())). B=1011. (13) 在该例中，取初值为x0)=[0.10.51,并且 式中：Y=diag(y)∈Rxm,y,0,Z=diag(z)∈ 选择矩阵K=207.5333-19.4000],然后求得 Rx,>0,则系统5)的状态轨迹能够在有限时间 304.0499 0 R= ,C=022.48641.取 内到达滑模面s()=0上并且保持在它上面运动. 0 22.4864 证明选取如下的Lyapunov函数： y=0.5,=1,则积分滑模控制器u(可通过式 v(( 14) (16)得出 图1~3分别显示了系统(17)的状态轨迹，控制 把式(13)代入式(6)，可得 信号u()和积分切换函数s()的曲线， s(t)=-CB(Ys(t)Zsgn(s(1))). 15) 仿真结果说明文中所提出的积分滑模控制器设 于是有 计方法对一类能使用FHM逼近的非线性系统是非 户()=sT()(B)s()=-sT()s)+ 常有效的 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
则滑模动态(8) 是渐近稳定的. 证明 选取如下的 Lyap unov 函数 : V ( t) = 2 ∑ n i =1 ri ln (cosh ( li x i) ) . (10) 式中 : xi 是 x ( t) 的第 i 个分量 , li 是 L 第 i 个对角元 素 ,并且 li > 0 , ri > 0. 因为 cosh ( li x i) = e l i x i + e - l i x i 2 ≥(e l i x i ) 1 2 (e - l i x i ) 1 2 = 1 , (11) 可知 ,对 Πx( t) ,并且当 ‖x( t) ‖→∞时 ,V ( t) →∞. 因此有 VÛ( t) = 2 ∑ n i =1 ri tanh ( li x i) liÛx i = 2tanh T (Lx ( t) ) RLÛx = 2tanh T (Lx ( t) ) RL [ ( A + BK) tanh (Lx ( t) ) ] = tanh T (Lx ( t) ) [ RL ( A + BK) + (A + BK) T LR] tanh (Lx ( t) ) . 式中 :R = diag ( r1 , …, rn ) ∈R n×n . 应用文献[ 12 ]中的逆投影引理 ,可知式(9) 成立 等价于 : RL (A + BK) + ( A + BK) T LR 0 ,则系统(5) 的状态轨迹能够在有限时间 内到达滑模面 s( t) = 0 上并且保持在它上面运动. 证明 选取如下的 Lyap unov 函数 : V ( t) = 1 2 s T ( t) ( CB) - 1 s( t) . (14) 把式(13) 代入式(6) ,可得 Ûs( t) = - CB ( Ys ( t) + Zsgn (s( t) ) ) . (15) 于是有 VÛ( t) = s T ( t) ( CB) - 1Ûs( t) = - s T ( t) ( Ys ( t) + Zsgn (s( t) ) ) ≤ ∑ m i =1 ( yis 2 i + zi | si | ) . 式中 :si 是 s ( t) 的第 i 个分量. 因此 ,对 Π ‖s( t) ‖≠ 0 , VÛ( t) 0 ,并给出如下推论 : 推论 1 考虑系统 (5) 和切换函数 (6) ,取 C = B T R 并且 R 是 LMI(9) 的解 ,如果采用如下积分滑 模控制器 : u( t) = Ktanh (Lx ( t) ) - ( ys ( t) + zsgn (s( t) ) ) , (16) 则系统(5) 的状态轨迹能够在有限时间内到达滑模 面 s( t) = 0 上并且保持在它上面运动. 因此 ,可以按照下列步骤设计变结构控制器 : 1) 设计矩阵 K,使 A + B K是 Hurwitz 的 ; 2) 通过解 LMI(9) ,求得对角正定矩阵 R; 3) 取滑模增益矩阵 C = B T R ,并得到积分切换 函数 s( t) ; 4) 选取适当标量 y ≥0 , z > 0 ,根据式 ,设计出控 制器 u( t) . 3 仿真例子 考虑文献[10 ]中的连续非线性系统 ,经过辨识 和建模过程[7 ,10 ] ,可以得到它的 F HM 如下 : Ûx ( t) = Atanh (Lx ( t) ) + Bu ( t) . (17) 式中 :A = 0 - 0. 6 0. 8 - 0. 6 , L = 1. 353 3 0 0 0. 052 7 , B = [0 1 ] T . 在该例中 ,取初值为 x (0) = [ 0. 1 0. 5 ] T ,并且 选择矩阵 K= [207. 533 3 - 19. 400 0 ] ,然后求得 R = 304. 049 9 0 0 22. 486 4 , C = [0 22. 486 4 ]. 取 y = 0. 5 , z = 1 , 则积分滑模控制器 u ( t) 可通过式 (16) 得出. 图 1～3 分别显示了系统(17) 的状态轨迹 ,控制 信号 u( t) 和积分切换函数 s( t) 的曲线. 仿真结果说明文中所提出的积分滑模控制器设 计方法对一类能使用 F HM 逼近的非线性系统是非 常有效的. · 46 · 智 能 系 统 学 报 第 3 卷 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第1期 杨2，等：基于模糊双曲模型的积分滑模控制 *65* [4]NIU Y,HO D W C,LAM J.Robust integral sliding 10 一x0 mode control for uncertain stochastic systems with time- -(t0） varying delay [J].Automatica,2005,41(5):873-880. [5]WANGL X,MENDEL J M.Fuzzy basis functions,uni- versal approximation and orthogonal least-square learning 21 [J ]IEEE Trans Neural Netw,1992,3(5):807-814. s [6]WANG H O,TANAKA K,GRIFFIN M F.An ap- 图1闭环系统的响应曲线 proach to fuzzy control of nonlinear systems:stability Fig.1 State response of closed-loop system and design issues [J].IEEE Trans Fuzzy System,1996, 4(1):14-23. 30 230 [7]ZHANG H,QUAN Y.Modeling,identification and 10 control of a class of nonlinear system [J].IEEE Trans Fuzzy Syst,2001,9(2):349354. 10 [8]ZHANG H,WANG Z.Chaotifying fuzzy hyperbolic model using adaptive inverse optimal control approach s [U].Int J Bifurc Cha0s,2004,14(10):350s3517. 图2控制信号 [9]张化光，全永兵.基于模糊双曲正切模型的一类稳定的 Fig.2 Control signal 模糊控制器设计[J].控制与决策，2002,17(6)：956 0.06 957. ZHANG Huaguang,QUAN Yongbing.Design of stable 0.04 fuzzy controller based on fuzzy hyperbolic model [J]. 0.02 Control and Decision,2002,17(6):956-957. [10]YANGJ,LIU D,FENGJ,et al.Controller design for 12 a class of nonlinear systems based on fuzzy hyperbolic model[C]//Proc of WCICA06.Dalian,China,2006. 图3积分切换函数 [11]ZHANG H,YANGJ.Delay-dependent stability of a Fig.3 Integral switching function class of nonlinear systems with time delays based on fuzzy hyperbolic model [C]//ICIC 2006.[S.1.] 4 结束语 Springer,2006. 针对一类连续非线性系统，研究了基于模糊双 [12]APKARIAN P,TUAN H D,BERNUSSOU J.Contim 曲模型的积分滑模控制问题.通过基于LMI的方 uous-time analysis,eigenstructure assignment,and syn- thesis with enhanced linear matrix inequalities character- 法，给出了使滑模动态渐近稳定的充分条件.并且积 izations [J ]IEEE Trans Autom Control,2001,46 分切换函数和积分滑模控制器的实现都依赖于 (12):1941-1946. LMI的解.因为滑模控制也是一种有效的鲁棒控制 作者简介： 方法，所以对这类非线性系统的鲁棒控制将是进一 杨珺，男，1976年生，博士研究生，主 步的研究方向 要研究方向为模糊控制、非线性系统、智能 算法等。 参考文献： [I]UTKIN V I.Sliding modes in control and optimization [M].New York:Springer-Verlag,1992. [2]CHEN Y C,CHANG S.Output tracking design of af- fine nonlinear plant via variable structure system [J]. 张化光，男，1959年生，教授，博士生导 IEEE Trans Autom Control,1992,37(11):1823-1828. 师，主要研究方向为复杂系统的智能控制、非 [3]ZHENG F,WANG Q W,LEE T H.Output tracking 线性控制、混沌控制等.发表论文200余篇， control of MIMO fuzzy nonlinear systems using variable 出版专著4部 structure control approach [J ]IEEE Trans Fuzzy Syst, 2002,10(6):686697. 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
4 结束语 针对一类连续非线性系统 ,研究了基于模糊双 曲模型的积分滑模控制问题. 通过基于 LMI 的方 法 ,给出了使滑模动态渐近稳定的充分条件. 并且积 分切换函数和积分滑模控制器的实现都依赖于 LMI 的解. 因为滑模控制也是一种有效的鲁棒控制 方法 ,所以对这类非线性系统的鲁棒控制将是进一 步的研究方向. 参考文献 : [1 ]U T KIN V I. Sliding modes in control and optimization [ M ]. New York : Springer2Verlag , 1992. [2 ]CHEN Y C , CHAN G S. Output tracking design of af2 fine nonlinear plant via variable structure system [J ]. IEEE Trans Autom Control , 1992 , 37 (11) : 182321828. [3 ] ZHEN G F , WAN G Q W , L EE T H. Output tracking control of MIMO fuzzy nonlinear systems using variable structure control approach [J ]. IEEE Trans Fuzzy Syst , 2002 , 10 (6) : 6862697. [4 ]NIU Y , HO D W C , LAM J. Robust integral sliding mode control for uncertain stochastic systems with time2 varying delay [J ]. Automatica , 2005 ,41 (5) : 8732880. [5 ]WAN G L X , MENDEL J M. Fuzzy basis functions , uni2 versal approximation and orthogonal least2square learning [J ]. IEEE Trans Neural Netw , 1992 , 3 (5) : 8072814. [6 ] WAN G H O , TANA KA K , GRIFFIN M F. An ap2 proach to fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issues [J ]. IEEE Trans Fuzzy System , 1996 , 4 (1) : 14223. [ 7 ] ZHAN G H , QUAN Y. Modeling , identification and control of a class of nonlinear system [J ]. IEEE Trans Fuzzy Syst , 2001 , 9 (2) : 3492354. [ 8 ] ZHAN G H , WAN G Z. Chaotifying fuzzy hyperbolic model using adaptive inverse optimal control approach [J ]. Int J Bifurc Chaos , 2004 , 14 (10) : 350523517. [9 ]张化光 , 全永兵. 基于模糊双曲正切模型的一类稳定的 模糊控制器设计[J ]. 控制与决策 , 2002 , 17 (6) : 9562 957. ZHAN G Huaguang , QUAN Yongbing. Design of stable fuzzy controller based on fuzzy hyperbolic model [J ]. Control and Decision , 2002 , 17 (6) : 9562957. [10 ] YAN G J , L IU D , FEN GJ , et al. Controller design for a class of nonlinear systems based on fuzzy hyperbolic model[C]/ / Proc of WCICA06. Dalian , China , 2006. [11 ] ZHAN G H , YAN G J. Delay2dependent stability of a class of nonlinear systems with time delays based on fuzzy hyperbolic model [ C ]/ / ICIC 2006. [ S. l. ] : Springer , 2006. [12 ]APKARIAN P , TUAN H D , BERNUSSOU J. Contin2 uous2time analysis , eigenstructure assignment , and syn2 thesis with enhanced linear matrix inequalities character2 izations [J ]. IEEE Trans Autom Control , 2001 , 46 (12) : 194121946. 作者简介 : 杨 ,男 ,1976 年生 ,博士研究生 ,主 要研究方向为模糊控制、非线性系统、智能 算法等. 张化光 ,男 ,1959 年生 ,教授 ,博士生导 师 ,主要研究方向为复杂系统的智能控制、非 线性控制、混沌控制等. 发表论文 200 余篇 , 出版专著 4 部. 第 1 期 杨 − ,等 :基于模糊双曲模型的积分滑模控制 · 56 · © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 珺
