第2期 谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 345 作为隐映照定理的一则应用,考虑如下带有约束的张量函数的极值问题: 目标函数:0(④,业)∈R,式中中∈TP(R),业∈T(Rm) 约束映照:∑:={(,y)∈T(R")×T(R")f(中,y)=0∈T(Rm)} 按隐映照定理认识约束,则局部有:f(φ,7(φ))=0。则有,在局部意义下,约束上的目标函数θ(Φ,业) 等价于:θ(φ):=θ(φ,(Φ)),故可计算获得其临界点控制方程 (④,7()+(④,(φ)·(④) Φ,()-(,(更) (φ,())°(重,7(更)) Φ,()-(,(更) (,7()) 更,(更)=0∈T(Rm) 籍此,可构造 Lagrange函数 L(,y;A):=0(,y)+A⊙(,业)=0(更,y)+A”'f;(更,y)∈R 式中A∈T(R")为 Lagrange乘子,⊙表示全点积。可计算得:L(φ,y;λ)的临界点方程相同于上述基 于隐映照定理所确定的目标函数的临界值。 3.3张量值映照的逆映照定理 张量值映照的逆映照定理(局部微分同胚存在性定理),可以表述为 对任意f(中)∈C(T(Rm)2D;T(R")),如有 3∈D满足:(。)∈L(T"(R"),T(R")可逆 则有,局部存在微分同胚∫(更)∈C(B2(更);f(B4()) 对于导数计算,基于:f°f(④)=∈T(Rm),有 dv((p))=/f (φ)∈L(T(R"),T(Rm)) 进-步有F(0)(.)v=(:)(()()()(?) V|,V∈T"(R") 此处(2)()(,)=-(:5)(0)(0(,)1(:)(0),vD∈r(R”) 4张量场多点表示形式 4.1张量场多点表示形式 郭仲衡著《非线性弹性理论》,由于对初始物理构形和当前物理构形都引人曲线坐标系(二者相互独 立),故变形梯度可具有形式F:=(,t)9,(x)②G4(5)。此处构成简单张量的向量分别隶属不同 的局部基{GA()}m=1和{g1(x)}=1(此处仅列出协变基),故将此种张量称为“二点张量”。二点张量的事 例另有转移张量l:=94g⑧G4,此处g4:=(g,GA)am。 考虑到R"中任意二个基之间的相互确定关系,“两点张量”自然可以转换为“一点张量”,由此本文称 张量的“多点表示形式”:对于任意φ∈T(R"),最多可有p点表示形式,亦即其p阶简单张量的构成来 源于p个不同的基。值得指出,“多点表示”仅是同一个张量的不同表示形式,而非不同表示对应不同的 张量。例如,转移张量实际就是度量张量或者单位仿射量:uv;˲à,<…}T5"XYZ[F’¶¦<}ç\I<ë;OP& ŸL\I&%!9">$0H"xq 908> !HF $">08X !HF $ ¶¦Ë²&$&<,!9">$08> !HF $E8X !HF $2?!9">$<$08A !HF $- 9;˲à,ýþ¶¦"}@A’&?!9")!9$$<$%}’"o@Ank["¶¦á<ŸL\I%!9">$ {Ñ7&a%!9$&<%!9")!9$$"2cê•äFÚèl¦NOW0 La% L9!9$<"% "9!9")!9$$="% ">!9")!9$$QL) L9!9$ <"% "9!9")!9$$B"% ">!9")!9$$Q "?!"> $ B% !9")!9$$Q"? "9!9")!9$$ <"% "9!9")!9$$B"% ">!9")!9$$X !0$ "?!"> $ B% !9")!9$$ A !0$"? "9!9")!9$$<$08> !HF $ fb"cYZ2GB@G=B>\I )!9">#0$&<%!9">$=0O!9">$<%!9">$=03%*3A?3%*3A !9">$0H xq008A !HF $v2GB@G=B>,4"OŠ‹ò¦%cê•F&)!9">#0$<èl¦W0SÊ7á?6 7;˲à,Dà<ŸL\I<èl;% DID Àn0x®*|x®ox }ç;˲<U˲à,!@AûsÊ_/o`à,$"cdŠ?v ímn?!9$0L%!8> !HF $IT9#8X !HF $$"Z’ R9$0T9"]^&L? L9!9$$0)!8> !HF $"8X !HF $$cU }’"@A/oûsÊ_?!9$0L%!00!9$$#?!00!9$$$$% í7NIê•"67&?B% Q?!9$<908> !HF $"’ L?B% L> !?!9$$< L?!L9$ B% !9$0)!8X !HF $"8> !HF $$% ‚…+’&L# ?B% L># !?!9$$X !0$J< L?!L9$ B% !9$ 9 > !0$ L?!L9$ B% !9$X ( !0$J)"PJ08X !HF $ b†&L?!L9$ B% !9$ 9 > !0$4<B L?!L9$ B% !9$Q L# ? L9#!9$> ( !0$4)Q L?!L9$ B% !9$"P408> !HF $% E Àn•VKqt EIA Àn•VKqt »gGº:×#`ç`,1;"X7í\]Ü,Y["„ÐÜ,Y[œ9:Å#xLÀ!J«SZ‡ ¿$"2Í[߈cE’[x %&<"93 "," !,";$(3!9$M$" !,$%b†"Y…¬v}ç<çs3i»-Ê <@A6,$"!,$-F "<%",(3!9$-F 3<%!b†‡TvÍ6$"2übõ}çrv1J¦}ç2%J¦}ç<¥ ¨’K*}ç*&<(3 "(3M$" "b†( 3 "&<!( 3 "$"$HF % XYŽHF qmnJl6~{<SZà}À"1Ž¦}ç2¢£cdK&v1…¦}ç2"Xbi$r }ç<1y¦Š‹[x2&í7mn908> !HF $"yc’> ¦Š‹[x"GÚ> [¬v}ç<Y…C G7> l-Ê<6%;F‰"1y¦Š‹2‡Ûʅl}ç<-ʊ‹[x"×-ʊ‹íT-Ê< }ç%Z"K*}çgK0ۈç}çÓ«vwóNç& !## ÐY«&67»gGJ¸<Œ}çsV’¬Í[,1^þÝÀ<S}©ª 789