344 力学季刊 第34卷 有映照:f(中,y):T(R")×T(Rm)2D。×Dy3{φ,y}f(,y)∈T(Rm),具有正则性f(φ, y)∈C(D。XDy,T(Rm)。如有:彐(更0,)∈D。Dy,满足 ①f(④0,y0)=0∈T(R");②5(重,y)∈L(T”(R),T(Rm))具有逆算子 则有:彐B(φ0)CD,Bn(0)CDy, 对Ⅴφ∈B,(中),彐!y。∈Bn(),满足f(φ,v。)=0 由此,可构造映照(隐映照):η(φ):B2(φ。)彐φ卜η(Φ):=ψ。,满足 ①n(Φ)∈Bn(y0);②f(重,())=0;③7重)∈C(B4(中);T”(R))。 对∫(φ,(φ))=0,按一般意义的链式求导法则,可得隐映照的导数,即有 ()=-(f(φ,()。f(,中)∈L(T(R"),T(R") 进一步,可得 d 2 (Φ,7(φ) ayr (.)]a(,) (3)(,90),[(0(,(0)3(1),3()(:) 其中,由 (重,())。(,(中)=L4,可得 ay (④,7(φ) ay/(④,(④)(a4ov(,7()+9 a (,())。(④) 上述推导中利用了一般赋范线性空间上微分学的一个结论 引理:如有∫(x):X3}f(x)∈Y可微,B(x):X3xB(x)∈L(Y,Z)可微,X,Y和Z为一般赋范 线性空间,则有:X3上Bf(x)∈Z可微,且有 B(x)°f(x) de (a)(h)of(a)+B(a).(a(h)ez 证明:由f(x)和B(x)的可微性以及B(x)∈L(Y,Z),可有 B(+b),(x+h)[B2+:2(()+0([)+:2(b+b B(x),()+[2(b-x2+B)2(x)]+a∈z 式中a(b∈L(Y,2满足n10(h)12=0∈R:0,()∈y满足,i,mkR o, (hly 考虑到 log(h)f(x)lz≤|oB(h)luy.z·lf(x)ly,可有og(h)of(x)=0(h)∈Z; /°(Y)(m)P (a)(h)≤ dB(a)(h) (x)(l) dB I hI X,L(Y 2) L(X. Y [[(=0)∈,由似分析可,即得证’˲&?!9">$&8> !HF $E8X !HF $IT9 ET> J,9">-24?!9">$08A !HF $"E’‘}`?!9" >$0L%!T9 ET> "8A !HF $$%Z’&R!9$">$$0T9 ET> "]^ @ ?!9$">$$<$08A !HF $#A"? ">!9$">$$0)!8X !HF $"8A !HF $$E’U•4% }’&R00!9$$ST9"0+!>$$ST> " íP9000!9$$"R=>9 00+!>$$"]^?!9">9$<$ Xb"cYZ˲!;˲$&)!9$&00!9$$J924)!9$&<>9"]^ @ )!9$00+!>$$#A?!9")!9$$<$#B )!9$0L%!00!9$$#8X !HF $$% í?!9")!9$$<$"9…Qnk<ÑxDNB}"cF;˲<NI"’ L) L9!9$<B "?!"> $ B% !9")!9$$Q"? "9!9")!9$$0)!8> !HF $"8X !HF $$ ‚…+"cF L# ) L9#!9$> !0$4<B "?!"> $ B% !9")!9$$ 9 > ( !0$4)Q"? "9!9")!9$$ B "?!"> $ B% !9")!9$$Q "# ? "9#!9")!9$$= "# ? ">"9!9")!9$$QL) L9 ! !9$$> ( !0$4) Úq"X "?!"> $ B% !9")!9$$Q"? ">!9")!9$$<*O"cF "?!"> $ B% !9")!9$$ 9 > !0$4 <B "?!">$ B% !9")!9$$Q "# ? "9">!9")!9$$="# ? ">#!9")!9$$QL) "9 ! !9$$> ( !0$4)Q "?!">$ B% !9")!9$$ á?QNq/5R…Qô6#`3{áûs'<…lT1 9,&Z’?!9$&SJ924?!9$0Z cû"0!9$&SJ9240!9$0)!Z"-$cû"S"Z "- v…Qô6 #`3{"}’&SJ9240Q?!9$0- cû"ˆ’ 0 0!9$Q?!9$ !@$< L0 L9( !9$!@$)Q?!9$=0!9$Q L? L9( !9$!@$)0- ;&X?!9$" 0!9$<cû`d 0!9$0)!Z"-$"c’ 0!9=@$Q?!9=@$< 0!9$=L0 L9 ( !9$!@$=,0!@$)Q ?!9$=L? L9 ( !9$!@$=,?!@$) <0!9$Q?!9$= L0 L9( !9$!@$)Q?!9$=0!9$Q L? L9( !9$!@$)=0>K0- xq,0!@$0)!Z"-$]^ 9AS@4$0S 2,0!@$2)!Z"-$ 2@2S <$0H#,?!@$0Z ]^ 9AS@4$0S 2,?!@$2Z 2@2S <$0H% XYŽ& 2,0!@$Q?!9$2- "2,0!@$2)!Z"-$02?!9$2Z"c’,0!@$Q?!9$<,!@$0-# L0 L9( !9$!@$)Q L? L9( !9$!@$)- " L0 L9 !9$!@$)!Z"-$ 0 L? L9 !9$!@$Z " L0 L9 !9$)!S")!Z"-$$ 0 L? L9 !9$)!S"Z$ 02@2# S" c’ L0 L9( !9$!@$)Q L? L9( !9$!@$)<,!@$0-%XîøsV"cF&0>K<,!@$%F% 788 & ' ( ) !!""