第2期 谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 343 自然成立 c)(h d"Φ (x)(hc,…,hp),Va∈P2(P-阶置换),亦即具有作用次序无 关性 基于高阶导数,我们有无限小增量公式:如果Φ(x)在点具有直至p阶导数,则有 (0+h)=φ(x) 1dφ (|h|-) 3张量值映照微分学 3.1张量值映照的一阶导数(可微性)以及高阶导数 张量值映照的一般形式可为 f():T(Rm)2D3φ卜f(∮)∈T(Rm) 按其可微性的定义,有 f(Φ+U)=f(①)+ (φ)(U)+o(|U|r(m)∈T(Rm) 此处(中)∈L(T(R"),T?(R")。按L(TP(Rm),T(Rm))的结构,有 彐!6∈T"(R"),满足:6()U=( 亦即张量映照的导数可由唯一确定的高阶张量(q+p阶)以及p点积表示,此处q,p分别为因变量及自 变量的张量阶数。下文仍以(④)∈TP(Rm)表示r阶导数 对于高阶导数,一般有 db()(Un…,,)=Dn…D,f() d了f (U1⑧…U,)∈T(R 实际中,可能会遇见如下形式的张量映照 T‘(Rm)3卜f(φ)。-9()∈T(R"),此处∫(Φ)∈T”(R"),g(Φ)∈T(Rm) 则有()一9((CD)-[:0(0(:10-0()+(),[出(0(.)]此式左方表示对 的全导数。对此,我们只有微分的表达式,而无法获得导数的表达式[。 另,我们也需研究多变量张量值映照,如 f(,中,日):T"(R)×T(R")xT(Rm)2{,业,已}}f(,y,日)∈T(R") 则有 r(y,(P,Q,R)=5(a,y,6)(.)P+a(0,,)(.)+50,y,)(.)R 此式左方表示对自变量全体{φ,y,e}的微分 3.2张量值映照的隐映照定理 张量值映照的隐映照定理,可以表述为¢£…¿&L> 9 L9>!9$!@%"*"@>$<L> 9 L9>!9$!@6!%$"*"@6!>$$"P60Q>!>B[’&$"GE’u5MS= }`% 67>[NI"€’=¬+6çÚx&ZÙ 9!9$o9$ ¦E’e > [NI"}’ 9!9$=@$<9!9$$= $ 6 7!% % K= 0LK 9 L9K!9$$@"*"@ !KB?,[O$=,!2@2> HF $ D Àn0x®Y9` DIA Àn0x®*šN'$"zYˆ#QZVN'$ }ç;˲<…Q[xcv ?!9$&8> !HF $IT9 J924?!9$08X !HF $ 9Úcû`<àk"’ ?!9=4$<?!9$=L? L9!9$!4$=,!2428> !HF $$08X !HF $ b†L? L9!9$0)!8> !HF $"8X !HF $$%9 )!8> !HF $"8X !HF $$<TY"’(%) R=D08X=> !HF $"]^&D > !0$4<L? L9!9$!4$ G}ç˲<NIcX`…à<>[}ç!X=> [$d> ¦Š‹"b†X"> s3vaÍ獢 Íç<}ç[I%[$šdOA ? L9A!9$08X=A0> !HF $Š‹A [NI% í7>[NI"…Q’ LA ? L9A!9$!4%"*"4A$<T4% Q*QT4A ?!9$ < LA ? L9A!9$> ! !0$4% $> !0$4#* > !0$4A<LA ? L9A!9$ A0> ! 0 $!4%M*M4A$08X !HF $ gKq"c\'RrZ[[x<}ç˲ 8C !HF $J924?!9$QB(!9$08; !HF $"b†?!9$08> !HF $"(!9$08X !HF $ }’&?!9$QB(!9$ 9 !4$< L? L9!9$ C ( !0$4)QB(!9$=?!9$QB L( L9!9$ C ( !0$4)"bx@WŠ‹í 9 <òNI%íb"€‹’ûs<Š5x"=BäFNI<Š5x(%)% ¨"€èö©ªyÍç}ç;˲"Z ?!9":"D$&8A !HF $E8C !HF $E8; !HF $I,9">"D-24?!9">"D$08X !HF $ }’ ?!9">"D$ 0 !Q"^"G$<"? "9!9">"D$ A !0$Q="? ">!9">"D$ C !0$^="? "D!9">"D$ ; !0$G bx@WŠ‹í¢ÍçòÝ,9">"D-<ûs% DIB Àn0x®*{x®ox }ç;˲<;˲à,"cdŠ?v !## ÐY«&67»gGJ¸<Œ}çsV’¬Í[,1^þÝÀ<S}©ª 787