力学季刊 第34卷 中|r"△√④⊙中=厘,,,Ⅴ西∈T”(R") 此定义不依赖于基的选取。需指出,此范数自然诱导的距离为d(φ,y):=|φ-y|P(",并使得张量 赋范空间具有完备性。我们将一般赋范线性空间上微分学应用于张量赋范空间,可得以下系统性结果 22张量场一阶导数(可微性)以及高阶导数 按可微性的定义,有 p(x+h)=(x)+(x)(b)+0(h)∈T”(R"),此处(x)∈L(R",TP(R") 以三阶张量为例,按 中(x+h)=中.(x+h)9(x+h)⑧g(x+h)⑧g2(x+h 考虑各组成项的可微性,可有 A(x+b)=,(x)+当(x)h+0:(h)∈R,式中7=0∈R 0.(x+h)=9(x)+9 aaf(ah+o: (hER: g'(a+ h)=g()+ (a)h+o(h)∈R 结合简单张量的基本性质 ②|②Q5r”=1lk”列151”,Ⅴ,,5∈R,bs ⑧⑧3+B·⑧⑧5,Va,B∈ ,7,7,S∈R 可推导得微分的表达式 迎(x)(h)=[Vp(x)9,⑧9⑧9②g()]·[h"n()]=:(②V)(x)·[h9n(x)] =[h"g(x)]·[V中:(x)9⑧9②y9k]=:[h2(x)]·(V②更)(x) 此处h°g。(x)为参数域中位移h"q对应至物理区域中的位移;式中 Vp:}(x):()+r-P:+r: 张量分析中称为张量场分量的协变导数。类似可引入逆变导数Vφ:}(x)=9V更:(x)。协变导数 与逆变导数之间满足指标升降。 进一步,考虑到自变量h=hi;的向量结构,可以引入张量场的偏导数:以三阶张量为例 D (a)=更 (x)△lim V:(x)9,⑧g⑧9(x)∈T(Rm) 且有:2(x)(h)=(x),在明确张量场偏导数后,我们就可定义任何形式的场论微分算子 d=9 (x)或φ-V≡中 7(x) 7() 可为张量并、点积或者叉积等。 对于高阶导数,一般有 e()(h1…,hn)=D.…D,4(x)=(h2…、1、n,:;(x)9,③g②9:() 此处(x)∈T/Rm×…xR 为p阶(多重)Rm至T(R")的线性映照。对高阶导数2928> !HF $K槡9O9< 93%*3>93% 槡 *3> " P908> !HF $ bàk-ñò76<‚%ö‰"b6I¢£pN<wUv O!9">$&<29B>28> !HF $"RQF}ç ô63{E’xÊ`%€ü…Qô6#`3{áûs'(R)T57}çô63{"cFd[ÀA`TÙ% BIB Àn•šN'$"zYˆ#QZVN'$ 9cû`<àk"’ 9!9=@$<9!9$=L9 L9 !9$!@$=,!@$08> !HF $"b†L9 L9 !9$0)!HF "8> !HF $$ d~[}çv"9 9!9=@$<93 02K!9=@$(3!9=@$M(2!9=@$M(K !9=@$ XYfk…ž<cû`"c’ 93 02K!9=@$<93 02K!9$= "93 02K "9C !9$@C =,3 02K!@$0H"xq9AS@4$ ,3 02K!@$ 2@2HF <$0H (3!9=@$<(3!9$= "(3 "9C!9$@C =,3!@$0HF #(2!9=@$<(2!9$="(2 "9C!9$@C =,2!@$0HF T¨¬v}ç<6i`j @,M!50)9=/0a)$MC<50,M)9MC=/0,Ma)MC"P5"/0H"P,")9"a)"C0HF A 2,M)MC28!!HF $<2,2HF 02)2HF2C2HF " P,")"C0HF cQNFûs<Š5x L9 L9 !9$!@$<(,[930K 02 !9$(3M(2 M(KM( [!9$)0(@X (X!9$)<&!9M,$!9$0(@X (X!9$) <(@X (X!9$)0(,[930K 02 !9$( [ M(3M(2 M(K)<&(@X (X!9$)0!,M9$!9$ b†@X (X!9$vHI|qw*@X 3X íT Ü,|q<w*#xq ,[930K 02 !9$&<"930K 02 "9[ !9$=#3 [C9C0K 02 B#C [2930K 0C =#K [C930C 02 }çsVqrv}çåsç<vÍNI%îøc9:UÍNI,[ 930K 02 !9$<( [C ,C930K 02 !9$%vÍNI SUÍNI~{]^‰L¥å% ‚…+"XYŽ¢Íç@<@3 33 <çTY"cd9:}çå<úNI&d~[}çv T3[ 9!9$L"9 "9[!9$K9AS04$ 9!9=003[$B9!9$ 0 <,[930K 02 !9$(3M(2 M(K!9$08!!HF $ ˆ’&L9 L9 !9$!@$<"9 "9[!9$@[ %o;}çåúNI€"€0càkm5[x<å1ûs•4& ,QB9L ( [ " "9 ( [!9$)QB9K( [ QB"9 "9[!9$Ó 9QB,L9QB ( [ " "9 ( [!9$)K"9 "9[!9$QB( [ Q4cv}çR'¦Ó«â{% í7>[NI"…Q’ L> 9 L9>!9$!@%"*"@>$<T@% Q*QT@> 9!9$<!@C% % *@C> > $(,C% Q*Q,C> 930K 02 !9$)(3M(2 M(K!9$ b†L> 9 L9> !9$08> HF E*EHF >B?,[O "8!!HF ! $$v > [!y¥$HF  8!!HF $<#`˲%í>[NI 786 & ' ( ) !!""