第2期 谢锡麟:基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究 n(xs,t)。需指出,上述基于曲面的半正交曲线坐标系为 Euclid曲线坐标系,换言之对梯度算子可有表达 形式 V仝aX (x,t)=i ve(X, t)-a(, t)=g(, t)g(, t),a, 式中{“}m=1代表典则基,{g2(x,t)}=1代表局部逆变基。在区域上开展场论分析,是否采用曲线坐标系 或者采用何种曲线坐标系不影响张量场梯度等场论微分运算的整体形式,但采用基于曲面的半正交系研 究含有曲面边界的流固耦合问题易于揭示边界的几何特征同流动行为之间的关系,因为曲面的几何性质 自然出现于曲面局部标架的运动方程之中。如果实际计算所采用的曲线坐标系不同于基于曲面的半正交 系,则可通过如下方法进行转化,以二阶张量的梯度为例 中⑧V|x=,中:(正,t)9,⑧°⑧g?(,t) ,:a{[(0n9)a"9,+(.,m)n][(,9)a“9,+(g0,n)n]⑧[(y,g)g”9.+(g0,n)an]} 等式右方即为张量梯度相对于曲面半正交系的展开式,另分析中常引人曲面梯度算子△( t),其同全梯度算子V之间有关系,以任意的r阶张量更∈T(R)为例 =(÷+n0-)0 m=V⑧-n如=V②更-n②(n·⑧更) 吴介之等籍借R3中曲面半正交系,获得了可作有限变形运动的固体边界上连续介质变形率张量的 表达形式,推广了经典的 Caswell公式。另,我们可基于曲面半正交系及内蕴形式广义 Stokes公式 推导得对任意p阶张量S∈T(R3)成立的恒等式 n·(V×(n×S)=(nxV)·(n×S)=b(n·S)+y·S=H(n·S)+·S H△b为曲面平均曲率 考虑一般可压缩粘性流动的动量方程( Navier- Stokes方程) P=vI-V×a+pfm,:=-p+(A+2g)0,0:=V·V VX V 可得可作有限变形运动的固体边界上可压缩粘性流动的法向涡量通量表达式 mn×a-×(VⅡ)-Pn×fm+(V②a)·n Pn×a-n×(VⅡ)-Pn×fm-(n×V)·[(n×a)⑧n]+V(a·n)+H(a:n) 相对于静止固体边界情形,边界有限变形运动导致增加项ⅴ(ω·n)+H(a·n)n,ω·n (ⅴ×V)·n,可见此增加项完全由曲面自身运动决定,不直接涉及流固耦合。 2张量场(映照)微分学 2.1张量赋范线性空间 张量场映照指自变量为位置刻画,因变量为张量的映照。不失一般性,三阶张量场具有如下表达式 中(x):R"D3x卜中(x)=中.(x)9(x)⑧g(x)②9(x)∈T(R”) 此处位置刻画一般可为曲线坐标系。针对张量场映照的微分学以及积分学构成了一般曲线坐标系下张量 场分析的主要内容。为此,郭仲衡著《张量(理论和应用)》明确引入了张量范数'!9$ ";$%ö‰"á?67Åï<4‘ÑÅ#xLÀv +<I9ALÅ#xLÀ"&Â~í߈•4c’Š5 [x ,K35 " "S5!S";$<35 "9/ "S5!S";$" "9/!9";$<(/ !9";$" "9/!9";$" 5"/<%"*"F xq,35 -F 5<%ŒŠ’}6",(/ !9";$-F /<%ŒŠ@AUÍ6%o|á^å1sV"Û&r5Å#xLÀ Ó«r55õÅ#xLÀ-HI}çå߈{å1ûsϕ<ŠÝ[x"5r567Åï<4‘ÑÀ© ª/’Åïkl<ætù¨OPœ7g‹kl<•5_ÍÊæ9ƒv~{<}À"avÅï<•5`j ¢£<7Åï@AL<Ï9W0~q%ZÙgKê•Dr5<Å#xLÀ-Ê767Åï<4‘Ñ À"}c~pZ[WB‚ƒKÅ"dJ[}ç<߈v 9M,2$ <N,* N95 0/!99";$(85M(8/ M(8* !99";$ <N,* N95 0/ (85"( ! C $ $ HF(C $ =!(85"'$H ( F')M (8/ "( ! ; $ $ HF(; $ =!(8/ "'$H ( F')M (8* "( ! C $ $ HF(C $ =!(8* "'$H , ( F')- {x{Wv}ç߈Sí7Åï4‘ÑÀ<^x%¨sVqù9:Åï߈•4, $ K(C $ " "9C $ !9$ " ;$"ÚÊò߈•4,~{’}À"dmn<A [}ç908A !HF $v" , $ M9< , $ =' " ! "9F $M9B'M "9 "9F <,M9B'M "9 "9F <,M9B'M!'0,M9$I i­~{f²H! qÅï4‘ÑÀ"äFRcu’¬Í[Ï9<tÝklá+a­jÍ[?}ç< Š5[x"QGRþ’<'GKT>99Úx(&)%¨"€c67Åï4‘ÑÀÞô[xGk P;,K&C Úx(N) QNFímn> [}çP08> !H!$…¿<‘{x '0 , $ ! E!'EP$$<!'E,$ $ 0!'EP$<7[ [!'0P$=, $ 0P<.!'0P$=, $ 0P .K7C C vÅïûÖÅ?% XY…QcX`h`æ9<9çW0!*GEA>@,D8H>KW0$ &+<,GB+,E.=&?F " G&<B>=!0=#+$%"%&<,0J".&<,EJ cFcu’¬Í[Ï9<tÝklácX`h`æ9<Bhç~çŠ5x + ". "' $ <&'E+B'E!, $ G$B&'E?F =+!,M.$0' <&'E+B'E!, $ G$B&'E?F B!'E,$ $ 0(!'E.$M')=, $ !.0'$=.!.0'$' Sí7f 9 t Ý k l ; [(&)"k l ’ ¬ Í [ Ï 9 N Y 6 h ž , $ !.0'$=.!.0'$'".0' < , $ ! EJ$0'"crb6hžxòXÅï¢uÏ9ÿà"-efŒætù¨% B Àn•"x®#Y9` BIA ÀnyÃ|ˆî3 }çå˲‰¢Íçvw’•k"aÍçv}ç<˲%-P…Q`"~[}çåE’Z[Š5x 9!9$&HF ITQ+AJ9249!9$<93 02K!9$(3!9$M(2!9$M(K !9$08!!HF $ b†w’•k…QcvÅ#xLÀ%„í}çå˲<ûs'ds'Y…R…QÅ#xLÀ[}ç åsV<ïðÞî%vb"»gGº:}ç!,1"T5$;;9:R}ç6I !## ÐY«&67»gGJ¸<Œ}çsV’¬Í[,1^þÝÀ<S}©ª 78%