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46 力学季刊 第34卷 I=,=9⑧g=8kGA⑧GB=GAG4②GB=g,②G4 郭仲衡所著《非线性弹性力学》出现上述关系式。综上所述,本文谨认为,称“张量的多点表示形式”较“多 点张量”可能更为适宜 4.2张量场多点表示形式下的导数计算 连续介质力学研究中,我们可能同时使用初始物理构形以及当前物理构形中的局部基,由此将自然使 用张量场的二点表示形式。 为说明一般情况,我们引入三组基:{GA(4)}A=1,{9(x)}=1,{h。(y)}m=1分别由曲线坐标X= X(),X=X(x),X=X(y)所诱导;基于微分同胚的传递性,曲线坐标{4}A=1,{x2}=1,{y°}m=1之间彼 此为微分同胚。不失一般性,我们考虑四阶张量场的三点表示形式 (,,)=:A(,,y)91(x)⑧h()⑧GA()⑧G()∈T(R”) 对此,如考虑Φ(,x,y)对的偏导数,则有 g(,x,y)g(x)⑧h(y)⑧GA(5)⑧GB( 此处:VAB ①(,,y)+P:;B一F 如考虑Φ():=中(),(),y())对的全导数则有 x)⑧h(y)⑧GA()②GB( 此处:□ (,,y)=V1重:,B(,汇,y) ()·V匝:(,,y) 8)·V 式中:V④:B (,x,y)+T 5非完整基理论 5.1单点形式对应的非完整基理论 具有微分同胚的曲线坐标系可另称为完整系,完整系的局部基称为完整基;而称不具微分同胚的基为 非完整基。一般而言,我们可构造正交的完整基而不易使其为单位正交基。然而,相对单位正交基展开的 张量场可保证其所有分量都保留其原来的量纲。场论中,我们需要获得基于完整系定义的张量场场论微 分算子在非完整的单位正交基下的表示。就此,郭仲衡著《张量(理论与应用)》叙述有非完整系理论(本文 称非完整基理论),对此我们也有思想及方法上的澄清 5.2多点形式对应的非完整基理论 类比于一般非完整系理论,可以将相关思想及方法推广至张量的多点表示形式。设对完整基 {GA()}A=1,{9;(x)}=1,{h。(y)}m1,分别定义对应的非完整基{GA()}A=1,{g;(x)}m=1 {h。(y))m=1。相应的基转换系数记为GA=:CG(B,g=:Cg,h。=:Ch(;转换系数对应有其 对偶,如G(B=:C(BGD,满足 CC=8 具体分析上,首先按完整系定义张量梯度;其次按坐标变化规则确定非完整基下的分量;再次推导得 非完整基下的协变导数计算式。我们获得如下结论*<33 2(3M(2 <(32( 3 M(2 <3" G$" M$0 <$"0$" M$0 <( 3 "(3M$" »gGDº:×#`ç`&';<á?}Àx%ªáD?"i$býv"r1}ç<y¦[x2W1y ¦}ç2c\¤v»% EIB ÀnVKqtê*'$H +aj&'©ªq"c\ÊzQ5\]Ü,Y[dÐÜ,Y[q<@A6"Xbü¢£Q 5}çå<J¦[x% v²;
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