解: dt dxdx acos t(-sin t) tan t a cos acos tsint basin 四、相关变化率 设x=x(1)及y=y(1)都是可导函数,而变量x与y之间存在 某种关系从而它们的变化率与中之间也存在一定关 系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例9 汽球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为40米/秒 当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少? 解:设气球上升t秒后,其高度为h,观察员视线的仰角为a,则 tan a= 上式两边对求导得sec2a.= dt 500 dt dh =140米/秒,当h=500时,sec0a=2 d 0.14(弧度/分) 例 河水以8米3/秒的体流量流入水库中,水库形状是长为4000米 顶角为120°的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米? 4000 解:设时刻冰水深为h(),水库内水量为(t),则 ()=40003n2 66 解： dt dx dt dy dx dy = 3 cos ( sin ) 3 sin cos 2 2 a t t a t t − = = − tan t ( ) 2 2 dx dy dx d dx d y = ( cos ) ( tan ) 3  −  = a t t a t t t 3 cos sin sec 2 2 − − = a t t 3 sin sec4 = 四、相关变化率 , . , ( ) ( ) , 系 这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率 某种关系 从而它们的变化率 与 之间也存在一定关 设 及 都是可导函数 而变量 与 之间存在 dt dy dt dx x = x t y = y t x y 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例 9 500 , ? 500 , 140 / . 当气球高度为 米时 观察员视线的仰角增加率是多少 一汽球从离开观察员 米处离地面铅直上升 其速率为 米 秒 解： 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线的仰角为, 则 500 tan h  = 上式两边对t求导得 dt dh dt d  =  500 1 sec2   =140米/秒, dt dh  500 , sec 2 2 当h = 米时  =  = 0.14(弧度/分) dt d 例 10 120 , 20 , ? 8 / , 4000 , 0 3 顶角为 的水槽 问水深 米时 水面每小时上升几米 河水以 米 秒的体流量流入水库中 水库形状是长为 米 解： 设时刻t水深为h(t),水库内水量为V(t), 则 2 V(t) = 4000 3h 0 60 4000 m