曲线坐标系 谢锡麟 13曲线坐标系下的速度与加速度表示形式 在引入曲线坐标系X(x)∈卻(Dx,Dx)的情况下,首先在参数域中定义曲线 Fx():Ra,3A+rx(入)≡c()= ∈R", 其中{x}m1为曲线坐标系中的坐标 然后,基于曲线坐标系,有物理域中的体积中的曲线 r():R[a,3t→(≡X())=Xom(从)= (入) ∈R". 体积中的曲线,如图3所示 T(A)=E(A) X(x(入)= (x(X)=/r() Figure3:体积中的曲线示意 当曲线以时间为参数时,也称曲线为轨迹 速度定义为位置对时间的变化率,即 u(t) (t+△t)-X(t)dX 考虑到X(t)=Xoc(t),速度可以表示为 dX u(t) (t)=DX()(t) i(t) 1(x),……,gm(c) (t)91(x(t)∈R im(t)张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1.3 曲线坐标系下的速度与加速度表示形式 在引入曲线坐标系 X(x) ∈ C p (Dx, DX) 的情况下, 首先在参数域中定义曲线 Γ x(λ) : R ⊃ [α, β] ∋ λ 7→ Γ x(λ) ≡ x(λ) =   x 1 (λ) . . . x m(λ)   ∈ R m, 其中 {x i} m i=1 为曲线坐标系中的坐标. 然后, 基于曲线坐标系, 有物理域中的体积中的曲线 Γ(λ) : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ Γ(λ) ≡ X(λ) = X ◦ x(λ) =   X1 (λ) . . . Xm(λ)   =   X1 (x(λ)) . . . Xm(x(λ))   ∈ R m. 体积中的曲线, 如图3所示. x 1 x i xm O Dx λ = a λ = b Γx(λ) = x(λ) =   x 1 . . . xm   (λ) λ a λ b Γx X1 Xα Xm O DX X(x(λ)) =   X1 . . . Xm   (x(λ)) =: Γ(λ) X Figure 3: 体积中的曲线示意 当曲线以时间为参数时, 也称曲线为轨迹. 速度定义为位置对时间的变化率, 即 v(t) , lim ∆t→0 X(t + ∆t) − X(t) ∆t = dX dt (t) ∈ R m. 考虑到 X(t) = X ◦ x(t), 速度可以表示为 v(t) = dX dt (t) = DX(x) dx dt (t) = ( g1 (x), · · · , gm(x) )   x˙ 1 (t) . . . x˙ m(t)   = ˙x i (t)gi (x(t)) ∈ R m, 6