曲线坐标系 谢锡麟 此处(t)表示函数x()对时间t的导数,本书采用此记号,以后不再特别说明 加速度定义为速度对时间的变化率,即 △ U(t+△t)-v(t)d △t 表示为分量形式即为 a(t)=a2(t)g((t)=a1(t)g2(c(t), 其中 a (t)=(a(t), 9'(a(t)))3, ai (t)=(a(t), 9;(a(t)Rm 下面考虑a(t),有 a1(t)=(a(t,g1(x(t1)im=(x(t),g1(x(t) d d (v(t),g:(x(t)m-(v(t),元,9(a(t) 为了计算上式,引入二元向量值函数(x,)=ig;(x),式中的x和金是相互独立的变量 易见此函数满足如下性质 1.(a(t),i(t)=(t)g1(a(t)=v(t); dn(x,2)=2by()=2a2(a,所以有 (ac(t), a(t))=i(t dzi (a(t))=d 19(x(t1) 式中表示全导数 3.7(:2)=Db59()=(2)=9(m),所以有 ((t),(1)=9(m(1) 再引入二元函数T(x,)=5(u(x,),(m,)=|(x,)l,满足如下性质 1.T(a(.0()=21()=2p(即为单位质量质点的动能 2.(x,i)=(v(x,i) 利用函数(x,)、T(x,)及其性质,可得 0(2040)-(ma04 ta2(a(t,2()-a(a(),t() 此方程称为曲线坐标系下加速度表示的 Lagrange方程张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 此处 x˙ i (t) 表示函数 x i (t) 对时间 t 的导数, 本书采用此记号, 以后不再特别说明. 加速度定义为速度对时间的变化率, 即 a(t) , lim ∆t→0 v(t + ∆t) − v(t) ∆t = dv dt (t), 表示为分量形式即为 a(t) = a i (t)gi (x(t)) = ai(t)g i (x(t)), 其中 a i (t) = ( a(t), g i (x(t))) R3 , ai(t) = (a(t), gi (x(t)))Rm . 下面考虑 ai(t), 有 ai(t) = (a(t), gi (x(t)))Rm = ( dv dt (t), gi (x(t))) Rm = d dt (v(t), gi (x(t)))Rm − ( v(t), d dt gi (x(t))) Rm . 为了计算上式, 引入二元向量值函数 vˆ(x, x˙) = ˙x igi (x), 式中的 x 和 x˙ 是相互独立的变量. 易见此函数满足如下性质: 1. vˆ(x(t), x˙(t)) = ˙x i (t)gi (x(t)) = v(t); 2. ∂vˆ ∂xj (x, x˙) = ˙x i ∂gi ∂xj (x) = ˙x i ∂gj ∂xi (x), 所以有 ∂vˆ ∂xj (x(t), x˙(t)) = ˙x i (t) ∂gj ∂xi (x(t)) = d dt gj (x(t)), 式中 d dt 表示全导数; 3. ∂vˆ ∂x˙ j (x, x˙) = ∂x˙ i ∂x˙ j gi (x) = δ i j gi (x) = gj (x), 所以有 ∂vˆ ∂x˙ j (x(t), x˙(t)) = gj (x(t)). 再引入二元函数 Tˆ(x, x˙) = 1 2 (vˆ(x, x˙), vˆ(x, x˙))R3 = 1 2 |vˆ(x, x˙)| 2 R3 , 满足如下性质: 1. Tˆ(x(t), x˙(t)) = 1 2 |vˆ(x(t), x˙(t))| 2 R3 = 1 2 |v(t)| 2 R3 即为单位质量质点的动能; 2. ∂Tˆ ∂xi (x, x˙) = ( vˆ(x, x˙), ∂vˆ ∂xi (x, x˙) ) R3 ; 3. ∂Tˆ ∂x˙ i (x, x˙) = ( vˆ(x, x˙), ∂vˆ ∂x˙ i (x, x˙) ) R3 . 利用函数 vˆ(x, x˙)、Tˆ(x, x˙) 及其性质, 可得 ai(t) = d dt ( vˆ(x(t), x˙(t)), ∂vˆ ∂x˙ i (x(t), x˙(t))) R3 − ( vˆ(x(t), x˙(t)), ∂vˆ ∂xi (x(t), x˙(t))) R3 = d dt ∂Tˆ ∂x˙ i (x(t), x˙(t)) − ∂Tˆ ∂xi (x(t), x˙(t)). 此方程称为曲线坐标系下加速度表示的 Lagrange 方程. 7