曲线坐标系 谢锡麟 1.首先有 bn()=(2,92)2=(x(a).9(a)+(9(a)a(a) =Tki,j(a)+Tkj,i(a) 同理可得 x)=1;k()+Iik(x) 9 )=(x)+元k() 现在令后两式相加减去第一式并利用 Christoffel符号的对称性,得到 (2)+a(2)-k(x)=2示k 即有 1/agik ajk a Tii.k()= axj axi axk 2.以下证明中指标i,m不为哑标 0、 9;∵9m gn)+…+det(g …+det(g1 ag det +…+det Timg (马h++…=)d(…9 1 9 口 现可有局部协变基向量的运动方程,亦即局部基向量沿坐标线的变化率 gk 类似地,可研究局部逆变基向量沿坐标线的变化率的运动方程 ()<e 9(e),9k (9'(a), 02(2))9*(az). 可得局部逆变基向量的运动方程 Tih9 (), rk91()张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1. 首先有 ∂gij ∂xk (x) = ∂ ∂xk ( gi (x), gj (x) ) Rm = ( ∂gi ∂xk (x), gj (x) ) Rm + ( gi (x), ∂gj ∂xk (x) ) Rm = Γki,j (x) + Γkj,i(x). 同理可得 ∂gjk ∂xi (x) = Γij,k(x) + Γik,j (x); ∂gik ∂xj (x) = Γjk,i(x) + Γji,k(x). 现在令后两式相加减去第一式并利用 Christoffel 符号的对称性, 得到 ∂gik ∂xj (x) + ∂gjk ∂xi (x) − ∂gij ∂xk (x) = 2Γij,k, 即有 Γij,k(x) = 1 2 ( ∂gik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x). 2. 以下证明中指标 i, m 不为哑标. ∂ √g ∂xj (x) = ∂ ∂xj det ( g1 · · · gi · · · gm ) = det ( ∂g1 ∂xj (x) · · · gi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · ∂gi ∂xj (x) · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · gi · · · ∂gm ∂xj (x) ) = det ( Γ s j1gs · · · gi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · Γ s jigi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · gi · · · Γ s jmgs ) = (Γ 1 j1 + · · · Γ i ji + · · · Γ m jm) det ( g1 · · · gi · · · gm ) = Γ s js det ( g1 · · · gi · · · gm ) = Γ s js√ g. 现可有局部协变基向量的运动方程, 亦即局部基向量沿坐标线的变化率 ∂gi ∂xj (x) =    Γji,kg k (x), Γ k jigk (x). 类似地, 可研究局部逆变基向量沿坐标线的变化率的运动方程 ∂g i ∂xj (x) = ( ∂g i ∂xj (x), gk (x) ) Rm g k (x) = − ( g i (x), ∂gk ∂xj (x) ) Rm g k (x), 可得局部逆变基向量的运动方程 ∂g i ∂xj (x) =    −Γ i jkg k (x), −g klΓ i jkgl (x). 5