曲线坐标系 谢锡麟 1.2标架运动方程 研究曲线坐标系中基向量g1(x)沿坐标线的变化率,即 ∈R 按曲线坐标系的局部协变基及逆变基的对偶关系,有 ar (x),94(x)g′(x), Ox(az),9" (a)9(a) 就此,引入曲线坐标系的 Christoffel待号的概念 定义1.3(曲线坐标系的 Christoffel符号).曲线坐标系的 Christoffel符号分为二类: 1.第一类 Christoffel符号 △ 2.第二类 Christoffel符号 由于 (x),g( 故两类 Christoffel符号之间具有与张量分量类似的指标升降关系.再考虑到 a-X 可见, Christoffel符号具有关于i和j的对称性,即Ik=k,以及= 以下研究 Christoffel符号的基本性质 性质1.1(曲线坐标系 Christoffel符号的基本性质).曲线坐标系的 Christoffel符号具有如 下基本性质 1.第一类 Christoffel符号与度量协变分量之间的关系 物+器)a 2.第二类 Christoffel符号同体积单元之间的关系 1a、 证明可通过直接计算,证明曲线坐标系 Christoffel符号的基本性质张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1.2 标架运动方程 研究曲线坐标系中基向量 gi (x) 沿坐标线的变化率, 即 ∂gi ∂xj (x) , lim λ→0 gi (x + λij ) − gi (x) λ ∈ R m. 按曲线坐标系的局部协变基及逆变基的对偶关系, 有 ∂gi ∂xj (x) =    ( ∂gi ∂xj (x), gk (x) ) Rm g k (x), ( ∂gi ∂xj (x), g k (x) ) Rm gk (x). 就此, 引入曲线坐标系的 Christoffel 符号的概念. 定义 1.3 (曲线坐标系的 Christoffel 符号). 曲线坐标系的 Christoffel 符号分为二类: 1. 第一类 Christoffel 符号 Γij,k(x) , ( ∂gj ∂xi (x), gk (x) ) Rm ; 2. 第二类 Christoffel 符号 Γ k ij (x) , ( ∂gj ∂xi (x), g k (x) ) Rm . 由于 Γ k ij (x) = ( ∂gj ∂xi (x), g k (x) ) Rm = ( ∂gj ∂xi (x), gksgs (x) ) Rm = g ksΓij,s, 故两类 Christoffel 符号之间具有与张量分量类似的指标升降关系. 再考虑到 ∂gj ∂xi (x) = ∂ 2X ∂xi∂xj (x) = ∂gi ∂xj (x), 可见, Christoffel 符号具有关于 i 和 j 的对称性, 即 Γij,k = Γji,k, 以及 Γ k ij = Γ k ji. 以下研究 Christoffel 符号的基本性质. 性质 1.1 (曲线坐标系 Christoffel 符号的基本性质). 曲线坐标系的 Christoffel 符号具有如 下基本性质: 1. 第一类 Christoffel 符号与度量协变分量之间的关系 Γij,k(x) = 1 2 ( ∂gjk ∂xi + ∂gik ∂xj − ∂gij ∂xk ) (x); 2. 第二类 Christoffel 符号同体积单元之间的关系 Γ s sj (x) = 1 √g ∂ √g ∂xj (x). 证明 可通过直接计算, 证明曲线坐标系 Christoffel 符号的基本性质. 4