曲线坐标系 谢锡麟 式中 9(x)1mx+x)-x(a∈Rm, 其几何意义为物理空间中x2曲线在X(x)点的切向量.由于DX(a)非奇异,因此{g1(x)}m1 为线性无关向量组,亦即成为Rm中的一个基,且这种基随空间位置变化,称为曲线坐标系的局 部协变基局部协变基的对偶基记为{9(c)}1,称为曲线坐标系的局部逆变基.按对偶关系以 及微分同胚,有 arl aX aXm a rm 月1 OXi aX g")(x)∈R 式中 9'(r)4/azi arm/(r)=Ozi Ora(X)ia= grad z(X). 其几何意义为物理空间中x(X)在点X的梯度或者曲面x(X)=常数的法向量方向 基于曲线坐标系的局部协变基及逆变基,可引入 9(x)=(91(x),93(x)gm,y(x)=(9(x)y1(x)gm 可称为 Riemann度量 三维 Euclid空间中曲线坐标系如图2所示,高维情况类似 局部协变基 曲线坐标系 x(x)∈CP(D;Dx) 193(Ea) (a Figure2:三维 Euclid空间中曲线坐标系示意 引入曲线坐标系(微分同胚)有两方面意义: 将几何形态不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域; 2.可利用曲线坐标系自身诱导的局部基(协变基及逆变基)展开张量方程,以获得相对局部基 的分量方程张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 式中 gi (x) , lim λ→0 X(x + λii) − X(x) λ ∈ R m, 其几何意义为物理空间中 x i 曲线在 X(x) 点的切向量. 由于 DX(x) 非奇异, 因此 {gi (x)} m i=1 为线性无关向量组, 亦即成为 R m 中的一个基, 且这种基随空间位置变化, 称为曲线坐标系的局 部协变基. 局部协变基的对偶基记为 {g i (x)} m i=1, 称为曲线坐标系的局部逆变基. 按对偶关系以 及微分同胚, 有 Dx(X) =   ∂x1 ∂X1 · · · ∂x1 ∂Xi · · · ∂x1 ∂Xm . . . . . . . . . ∂xm ∂X1 · · · ∂xm ∂Xi · · · ∂xm ∂Xm   =: ( g 1 · · · g i · · · g m )T (X) ∈ R m×m, 式中 g i (X) , ( ∂xi ∂X1 · · · ∂xi ∂Xm )T (X) = ∂xi ∂Xα (X)iα , grad x i (X), 其几何意义为物理空间中 x i (X) 在点 X 的梯度或者曲面 x i (X) = 常数 的法向量方向. 基于曲线坐标系的局部协变基及逆变基, 可引入 gij (x) = ( gi (x), gj (x) ) Rm , gij (x) = ( g i (x), g j (x) ) Rm , 可称为 Riemann 度量. 三维 Euclid 空间中曲线坐标系如图2所示, 高维情况类似. x 1 x 2 x 3 a b c d e f g h 齒楫緋辿ª X(x) ∈ C p (Dx; DX) x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 a b c d e f g h g1 (xa) g2 (xa) g3 (xa) g1 (xd) g2 (xd) g3 (xd) 帋䜘助紳娩 DX(x) =  g1 g2 g3  (x) O X1 X2 X3 Figure 2: 三维 Euclid 空间中曲线坐标系示意 引入曲线坐标系 (微分同胚) 有两方面意义： 1. 将几何形态不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域; 2. 可利用曲线坐标系自身诱导的局部基 (协变基及逆变基) 展开张量方程, 以获得相对局部基 的分量方程. 3