曲线坐标系 谢锡麟 分析线性映照Df(xo)的表达式,有 Df(xo)(h)=Df(x0h2i1+…+h"i)=hlDf(xo)(i1)+…+hPDf(axo)(in) f(ao(in f(ao(ip) Df(co)h∈R?, 式中Df(x0)∈RxP称为 Jacobi矩阵 考虑特殊的自变量增量h=λi,则有 ∫(co+λi)-∫(xo)=Df(x0)·(λi)+o()=ADf(c0)i1+o(A)∈Rq 即有 彐lim f(x0+λi)-f(c0) =Df(c0)i1∈R 再按向量值映照总体极限存在性对应其各分量极限的存在性,有 f(mo+λi)-f(mo)_.f (x0)=(Df(xo)aa∈R, 式中(D∫(x0)aa代表 Jacobi矩阵Df(xo)的第a行第i列 在有限维 Euclid空间上微分学中引入和P微分同胚的概念 定义1.2(卻P微分同胚).对映照 X(x):R"D3x→X(x)∈R", 满足: 1.定义域Dx和值域Dx:=X(D-)均为开集; 2.X(a)实现D2和Dx之间的双射; 3.X(a)及其逆映照c(X)均为映照, 则称映照X(ax)实现集合D与Dx之间的微分同胚,记作X(a)∈(Dx;Dx) 本书称Dx为物理区域,亦即物理事件实际发生的区域,如连续介质实际所在的区域;称D2 为参数区域.由于存在m∈Dx同X∈Dx之间的一一对应关系,故物理区域中的位置刻画可 等价地对应至参数区域中的位置刻画,籍此也称X(x)∈P(Dx,Dx)为曲线坐标系 另一方面,由于 axl axl 0x1 DX() aXm g1…gn)(x)∈Rmxm,张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 分析线性映照 Df(x0) 的表达式, 有 Df(x0)(h) = Df(x0)(h 1 i1 + · · · + h p ip) = h 1Df(x0)(i1) + · · · + h pDf(x0)(ip) = ( Df(x0)(i1) · · · Df(x0)(ip) )   h 1 . . . h p   =: Df(x0)h ∈ R q , 式中 Df(x0) ∈ R q×p 称为 Jacobi 矩阵. 考虑特殊的自变量增量 h = λii , 则有 f(x0 + λii) − f(x0) = Df(x0) · (λii) + o(λ) = λDf(x0)ii + o(λ) ∈ R q , 即有 ∃ lim λ→0 f(x0 + λii) − f(x0) λ = Df(x0)ii ∈ R q . 再按向量值映照总体极限存在性对应其各分量极限的存在性, 有 ∃ lim λ→0 f α(x0 + λii) − f α(x0) λ =: ∂fα ∂xi (x0) = (Df(x0))α,i ∈ R, 式中 (Df(x0))α,i 代表 Jacobi 矩阵 Df(x0) 的第 α 行第 i 列. 在有限维 Euclid 空间上微分学中引入 C p 微分同胚的概念. 定义 1.2 (C p 微分同胚). 对映照 X(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ X(x) ∈ R m, 满足: 1. 定义域 Dx 和值域 DX := X(Dx) 均为开集; 2. X(x) 实现 Dx 和 DX 之间的双射; 3. X(x) 及其逆映照 x(X) 均为 C p 映照, 则称映照 X(x) 实现集合 Dx 与 DX 之间的微分同胚, 记作 X(x) ∈ C p (Dx; DX). 本书称 DX 为物理区域, 亦即物理事件实际发生的区域, 如连续介质实际所在的区域; 称 Dx 为参数区域. 由于存在 x ∈ Dx 同 X ∈ DX 之间的一一对应关系, 故物理区域中的位置刻画可 等价地对应至参数区域中的位置刻画, 籍此也称 X(x) ∈ C p (Dx, DX) 为曲线坐标系. 另一方面, 由于 DX(x) =   ∂X1 ∂x1 · · · ∂X1 ∂xi · · · ∂X1 ∂xm . . . . . . . . . ∂Xm ∂x1 · · · ∂Xm ∂xi · · · ∂Xm ∂xm   (x) =: ( g1 · · · gi · · · gm ) (x) ∈ R m×m, 2