曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 ()32=-s(Dx)(a)Dn(as=S()G)S 综上,可有 03+△y)=86)+(△+21△△) (a) y =S()+A+(△y+903)+2(△户n() +o(△yxlm) 现以{9(x)}1U{n()}作为Rm+1的单位正交基,{xx+为对应的 Cartesian坐 标,则局部有 x=△+0(△yslm),k=1,…,m, A1(△y3)2+…+Mm(△) 2[A(2+…+M(]+0△ys) m(xm)2+o(△xslm) 亦即,在二阶精度下,曲面有局部 Monge型表示 X ∈R Xm+ A1(x2)2+…+Mm(Xm 受上述分析启发,引入曲面∑(x)∈Rmn+1的另一参数{yx}1,满足 )∈R 式中S(xy)∈Rmxm非奇异,成立 S(xx)(9)(x)S( 亦即S(a)为将(o)(a)和()(a)同时对角化的非奇异阵当S(m)是足够光滑,可 有参数变换yx(xx)为一定区域上的微分同胚.曲面二组参数所确定的局部基,如图1所示.由 0∑ 92(yx) (ys) an0∑ ark grEy),张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 ( ˆbij) ( ◦ yΣ) = −S T(DΣ) T( ◦ xΣ)Dn( ◦ xΣ)S = S T ( bij) ( ◦ xΣ)S =   λ1 . . . λm   . 综上, 可有 Σˆ ( ◦ yΣ + ∆yΣ) = Σˆ ( ◦ yΣ) + ( ∆y k Σ + 1 2 Γˆk ij ( ◦ yΣ)∆y i Σ∆y j Σ ) gˆk ( ◦ yΣ) + 1 2 (∆yΣ) T ( ˆbij) ( ◦ yΣ)∆yΣnˆ( ◦ yΣ) + o(|∆yΣ| 2 Rm) = Σˆ ( ◦ yΣ) + [ ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm+1 ) ] gˆk ( ◦ yΣ) + 1 2 λk(∆y k Σ) 2nˆ( ◦ yΣ) + o(|∆yΣ| 2 Rm). 现以 {gˆk ( ◦ yΣ)} m k=1 ∪ {nˆ( ◦ yΣ)} 作为 R m+1 的单位正交基, {Xˆ k} m+1 k=1 为对应的 Cartesian 坐 标, 则局部有    Xˆ k = ∆y k Σ + o k (|∆yΣ|Rm), k = 1, · · · , m, Xˆ m+1 = 1 2 [ λ1(∆y 1 Σ) 2 + · · · + λm(∆y m Σ ) 2 ] = 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] + o(|∆yΣ| 2 Rm) = 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ] + o(|∆Xˆ Σ| 2 Rm). 亦即, 在二阶精度下, 曲面有局部 Monge 型表示 R m ∋   Xˆ 1 . . . Xˆ m   7→   Xˆ 1 . . . Xˆ m Xˆ m+1   (Xˆ 1 , · · · , Xˆ m) =   Xˆ 1 . . . Xˆ m 1 2 [ λ1(Xˆ 1 ) 2 + · · · + λm(Xˆ m) 2 ]   ∈ R m+1 . 受上述分析启发, 引入曲面 Σ(x) ∈ R m+1 的另一参数 {y i Σ} m i=1, 满足 DyΣ(xΣ) = S −1 (xΣ) ∈ R m×m, 式中 S(xΣ) ∈ R m×m 非奇异, 成立 S T(xΣ) ( gij) (xΣ)S(xΣ) = Im, S T(xΣ) ( bij) (xΣ)S(xΣ) =   λ1 . . . λm   . 亦即 S(xΣ) 为将 ( gij) (xΣ) 和 ( bij) (xΣ) 同时对角化的非奇异阵. 当 S(xΣ) 是足够光滑, 可 有参数变换 yΣ(xΣ) 为一定区域上的微分同胚. 曲面二组参数所确定的局部基, 如图1所示. 由 gˆi (yΣ) , ∂Σˆ ∂yi Σ (yΣ) = ∂xk Σ ∂yi Σ ∂Σ ∂xk Σ (xΣ) = ∂xk Σ ∂yi Σ gk (xΣ), 5