曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 ∑(x+△xy)=∑(xx) axi ax E)i =X(a2)+△n39a2)+1△n2△n201(2)+o(1△mm =X(2)+△19a2)+2△n4(r1()+m(用ma) +O(△xym) △xk x)△x△x)g(是 +b(x)△rx△an(xx)+o(△s臣m) 由于{9k(x)}1非正交,故由上述形式不便获得曲面的局部形态.考虑到彐S(x)∈Rmxm 非奇异,满足 (Es)s s(r)s 定义 s 则{G}m1为切空间Tx∑的单位正交基故引入另一参数坐标ys=S-x.由于参数间的变化 为线性变换,yy同xy有全局意义的微分同胚存在,因此可有 (yx)(x(yy)=∑(Syx) 于是 (1…9n)3)2DSy)=D(xss=(g1…gn)()s 其中9=1(0x)为单位正交基对应()()=Lm∈Rxm 另有 ()4( (),n()=-(9(到x),(x) (3)(8s)=- (ys)ay> )(y)=-(D2)()Di( 式中n(yx)=m(xx(y).考虑到 Dn(yx)=Dn(as)Dar(yx)= Dn(as)S,张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 故有 Σ( ◦ xΣ + ∆xΣ) = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σ ∂Xα ∂xi Σ ( ◦ xΣ)iα + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ∂ 2Xα ∂xi Σ ∂xj Σ ( ◦ xΣ)iα + o α (|∆xΣ| 2 Rm)iα = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σgi ( ◦ xΣ) + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ∂gj ∂xi Σ ( ◦ xΣ) + o(|∆xΣ| 2 Rm) = Σ( ◦ xΣ) + ∆x i Σgi ( ◦ xΣ) + 1 2 ∆x i Σ∆x j Σ ( Γ k ij ( ◦ xΣ)gk ( ◦ xΣ) + bij ( ◦ xΣ)n( ◦ xΣ) ) + o(|∆xΣ| 2 Rm) = Σ( ◦ xΣ) + ( ∆x k Σ + 1 2 Γ k ij ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σ ) gk ( ◦ xΣ) + 1 2 bij ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σn( ◦ xΣ) + o(|∆xΣ| 2 Rm). 由于 {gk ( ◦ xΣ)} m k=1 非正交, 故由上述形式不便获得曲面的局部形态. 考虑到 ∃S( ◦ xΣ) ∈ R m×m 非奇异, 满足 S T ( gij) ( ◦ xΣ)S = Im, S T ( bij) ( ◦ xΣ)S =   λ1 . . . λm   , 定义 ( gˆ1 · · · gˆm ) , ( g1 · · · gm ) S, 则 {gˆ} m i=1 为切空间 TxΣ 的单位正交基. 故引入另一参数坐标 yΣ = S −1xΣ. 由于参数间的变化 为线性变换, yΣ 同 xΣ 有全局意义的微分同胚存在, 因此可有 Σˆ (yΣ) , Σ(xΣ(yΣ)) = Σ(SyΣ). 于是 ( gˆ1 · · · gˆm ) (yΣ) , DΣˆ (yΣ) = DΣ(xΣ)S = ( g1 · · · gm ) (xΣ)S, 其中 {gˆi} m i=1( ◦ yΣ) 为单位正交基, 对应 ( gˆij) ( ◦ yΣ) = Im ∈ R m×m. 另有 ˆbij ( ◦ yΣ) , ( ∂gˆj ∂yi Σ ( ◦ yΣ), nˆ( ◦ yΣ) ) Rm+1 = − ( gˆj ( ◦ yΣ), ∂nˆ ∂yi Σ ( ◦ yΣ) ) Rm+1 , ( ˆbij) ( ◦ yΣ) = −   gˆ T 1 . . . gˆ T m   ( ◦ yΣ) ( ∂nˆ ∂y1 Σ · · · ∂nˆ ∂ym Σ ) ( ◦ yΣ) = −(DΣˆ ) T( ◦ yΣ)Dnˆ( ◦ yΣ), 式中 nˆ(yΣ) = n(xΣ(yΣ)). 考虑到 Dnˆ(yΣ) = Dn(xΣ)DxΣ(yΣ) = Dn(xΣ)S, 4