曲面上标架运动方程 谢锡麟 2.利用上述结论,以及曲面度量行列式的引理,有 as ary axs (ay) 3.考虑 =,=7(=+-m) kl is agus 1 i s h agul alack ag agel ax 2 对上式右端第一项,有 ag ag 9 对右端第二项,有 1 ag 1a√9 ∑ g a2 所以 h二 a√91a vgdrslv3g's 12曲面局部参数化 由曲面的一般参数表 ∑(xy) 有∑(y)各个分量的无限小增量公式 x(x+△x)=x(G3)+Dx“(3)△m3+1(△m3)Hx(是3)△m3+0(△m3l =x(2)+△听x)+xa (xy)△x2△x3+o°(△xym)张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 2. 利用上述结论, 以及曲面度量行列式的引理, 有 Γ i ij = g ikΓij,k = g ik 1 2 ( ∂gik ∂xj Σ + ∂gjk ∂xi Σ − ∂gij ∂xk Σ ) (xΣ) = 1 2 g ik ∂gik ∂xj Σ (xΣ) = 1 2 1 g ∂g ∂xj Σ (xΣ) = 1 √g ∂ √g ∂xj Σ (xΣ). 3. 考虑 g klΓ i kl = g klg isΓkl,s = g klg is 1 2 ( ∂gks ∂xl Σ + ∂gls ∂xk Σ − ∂gkl ∂xs Σ ) = 1 2 g klg is ( ∂gks ∂xl Σ + ∂gls ∂xk Σ ) − 1 2 g isg kl ∂gkl ∂xs Σ = g klg is ∂gks ∂xl Σ − 1 2 g isg kl ∂gkl ∂xs Σ . 对上式右端第一项, 有 g klg is ∂gks ∂xl Σ = g kl [ ∂ ∂xl Σ (g isgks) − ∂gis ∂xl Σ gks] = −δ l s ∂gis ∂xl Σ = − ∂gis ∂xs Σ ; 对右端第二项, 有 − 1 2 g isg kl ∂gkl ∂xs Σ = − 1 2 g is 1 g ∂g ∂xs Σ = −g is 1 √g ∂ √g ∂xs Σ . 所以 g klΓ i kl = − ∂gis ∂xs Σ − g is 1 √g ∂ √g ∂xs Σ = − 1 √g ∂ ∂xs Σ ( √ ggis). 1.2 曲面局部参数化 由曲面的一般参数表示 R m ⊃ Dx ∋ xΣ =   x 1 Σ . . . x m Σ   7→ Σ(xΣ) =   X1 . . . Xm+1   ∈ R m+1 , 可有 Σ(xΣ) 各个分量的无限小增量公式: Xα ( ◦ xΣ + ∆xΣ) = Xα ( ◦ xΣ) + DXα ( ◦ xΣ)∆xΣ + 1 2 (∆xΣ) THXα ( ◦ xΣ)∆xΣ + o α (|∆xΣ| 2 Rm) = Xα ( ◦ xΣ) + ∆x i Σ ∂Xα ∂xi Σ ( ◦ xΣ) + 1 2 ∂ 2Xα ∂xi Σ ∂xj Σ ( ◦ xΣ)∆x i Σ∆x j Σ + o α (|∆xΣ| 2 Rm), 3