曲面上标架运动方程 谢锡麟 式中 ),n (n,n)m+1=0 art ∑),9k Rm+I (ax), g (ax),g 因此对于法向量有 6i9k 综上,协变基标架的标架运动方程为 (as) bin= lij k9"+ bin; an 同理可得,逆变基标架的标架运动方程为 (x)=-l9g3+b s)=-bjkg 性质1.1(曲面上 Christoffel号的基本性质).与 Euclid空间中的 Christoffel符号 类似,曲面上的 Christoffel号也具有如下性质 1.第一类 Christoffel符号同度量张量之间的关系 块_9 a ax3 arj 2.第二类 Christoffel符号同度量张量之间的关系 r会g 1a、g 3.对于高维曲面有 证明通过直接计算,可证明曲面上的 Christoffel符号的基本性质 1.此关系的证明完全类似于体积上对应结论的处理.主要基于结构 q 9 (ay)=Tli.i+l 然后,利用指标轮换即得证张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 式中 ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 = 1 2 ∂ ∂xj Σ (n, n)Rm+1 = 0; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 = ∂ ∂xj Σ (n, gk )Rm+1 − ( n, ∂gk ∂xj Σ (xΣ) ) Rm+1 = −bjk; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gktgt ) Rm+1 = −g ktbjt = −b k j . 因此对于法向量有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 综上, 协变基标架的标架运动方程为    ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 同理可得, 逆变基标架的标架运动方程为    ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 性质 1.1 (曲面上 Christoffel 符号的基本性质). 与 Euclid 空间中的 Christoffel 符号 类似, 曲面上的 Christoffel 符号也具有如下性质. 1. 第一类 Christoffel 符号同度量张量之间的关系: Γij,k = 1 2 ( ∂gik ∂xj Σ + ∂gjk ∂xi Σ − ∂gij ∂xk Σ ) (xΣ); 2. 第二类 Christoffel 符号同度量张量之间的关系: Γ i ij , g ikΓij,k = 1 √g ∂ √g ∂xj Σ (xΣ); 3. 对于高维曲面有 g klΓ i kl = − 1 √g ∂ ∂xk Σ ( √ ggik). 证明 通过直接计算, 可证明曲面上的 Christoffel 符号的基本性质. 1. 此关系的证明完全类似于体积上对应结论的处理. 主要基于结构 ∂gij ∂xl Σ = ∂ ∂xl Σ ( gi , gj ) Rm+1 (xΣ) = ( ∂gi ∂xl Σ , gj ) Rm+1 (xΣ) + ( gi , ∂gj ∂xl Σ ) Rm+1 (xΣ) = Γli,j + Γlj,i 然后, 利用指标轮换即得证. 2