曲面上标架运动方程 谢锡麟 e小(y) Xm+ Xm+l xx-线 线 工y r x-线 y-线 Figure1:曲面局部参数化示意 即有 yx)=(g 9 因此,根据 (s)()/)S()=Lm 有{91(y)=:eyx)}1为T∑的单位正交基.亦即,E(yx)所诱导的切平面的局部协变基 为单位正交基.考虑 40)2()-(.mny) ax yx)9k(x),a(y (yx)2(y)((x) (us)o(sbu(Ey) 即有 )(ys)=(Dm2)(s)()(a)D() ST(ys)(buk)(=s)S(as)张量分析讲稿谢锡麟 曲面上标架运动方程 谢锡麟 O X1 Xm Xm+1 TxΣ Σ x i Σ-楫 gi (xΣ) x j Σ-楫 gj (xΣ) Σ(xΣ) O X1 Xm Xm+1 TyΣ Σ y i Σ-楫 ei(yΣ) y j ej (yΣ) Σ-楫 Σˆ (yΣ) x 1 Σ x i Σ xm Σ O x i Σ-楫 x j Σ-楫 xΣ =   x 1 Σ . . . xm Σ   DxΣ y 1 Σ y i Σ ym Σ O y i Σ-楫 y j Σ-楫 yΣ =   y 1 Σ . . . ym Σ   DyΣ Σ Σˆ y Figure 1: 曲面局部参数化示意 即有 ( gˆ1 · · · gˆm ) (yΣ) = ( g1 · · · gm ) (xΣ)DxΣ(yΣ) = ( g1 · · · gm ) S(xΣ). 因此, 根据 S T(xΣ) ( gij) (xΣ)S(xΣ) = Im 有 {gˆi (yΣ) =: ei(yΣ)} m i=1 为 TyΣ 的单位正交基. 亦即, Σˆ (yΣ) 所诱导的切平面的局部协变基 为单位正交基. 考虑 ˆbij (yΣ) , ( ∂gˆj ∂yi Σ (yΣ), nˆ ) Rm+1 = − ( gj (yΣ), ∂nˆ ∂yi Σ (yΣ) ) Rm+1 = − ( ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ)gk (xΣ), ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ) ∂n ∂xl Σ (xΣ) ) Rm+1 = ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ) ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ) ( ∂gk ∂xl Σ (xΣ), n ) Rm+1 = ∂xk Σ ∂yj Σ (yΣ) ∂xi Σ ∂yi Σ (yΣ)blk(xΣ), 即有 ( ˆbij) (yΣ) = (DxΣ) T(yΣ) ( blk) (xΣ)DxΣ(yΣ) = S T(yΣ) ( blk) (xΣ)S(xΣ) =   λ1 . . . λm   . 6