2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 (2)寻找一样本X1,X2,…,Xn的函数,即找出T和(或g(O))的某一函数: Z=Z(X,, X b)≡Z(T,6) 它只含待估参数和样本,不含其它未知参数,并且Z的分布(或渐近分布)G已知, 且不依赖于任何未知参数(也不依赖于待估参数θ)(称Z为枢轴变量) (3)对于给定的置信度1-a,定出两常数a,b,使得 P(a≤Z(X1,X2,…Xn,)≤b)=1 般a,b选用分布(或渐近分布)G的上1-一和上一分位点 (4)若能从a≤Z(X1,X2…,Xn,)≤b,得到等价的不等式 61(X1,X2,…,Xn)≤≤62(X1,X2…,Xn) (或6(X1,X2…,Xn)≤g()≤O2(X1,X2…,Xn) 那么1,O2](或[1,021就是0(或g(O))的一个置信度为1-a的置信区间 注:〖双侧置信区间与单侧置信区间的对照〗 典型例题 例71设总体X的概率分布为 X 0220(1-0) 1-26 其中6(0<6<-是未知参数,利用总体X的如下样本值 求θ的矩估计值和最大似然估计值 例72设总体X的分布律为P(X=A)=1 k=0,1,…,N,其中N为未 知的正整数,又X1,X2…,Xn为取自总体X的一个样本,试求N的最大似然 估计 例73设总体X的密度函数为 0≤x≤1 其他 2004年7月叶俊编2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 （2） 寻找一样本 X1 , X 2 ,L, X n 的函数，即找出 T 和θ （或 g(θ ) ）的某一函数： ( , , , , ) ( , ) Z = Z X1 X 2 L X n θ ≡ Z T θ 它只含待估参数和样本，不含其它未知参数，并且 Z 的分布（或渐近分布）G 已知， 且不依赖于任何未知参数（也不依赖于待估参数θ ）(称 Z 为枢轴变量)； （3） 对于给定的置信度1−α ，定出两常数 a，b，使得 P(a ≤ Z(X1 , X 2 ,L, X n ,θ ) ≤ b) = 1−α 一般 a，b 选用分布（或渐近分布）G 的上 2 1 α − 和上 2 α 分位点； （4） 若能从 a ≤ Z(X1 , X 2 ,L, X n ,θ ) ≤ b ，得到等价的不等式 ( , , , ) ( , , , ) θ 1 X1 X 2 L X n ≤ θ ≤ θ 2 X1 X 2 L X n ( , , , )) ~ ( , , , ) ( ) ~ (或θ1 X1 X2 L Xn ≤ g θ ≤ θ 2 X1 X2 L Xn 那么[ , ] θ1 θ 2 ]) ~ , ~ ( [ 或 θ 1 θ 2 就是θ （或 g(θ ) ）的一个置信度为1−α 的置信区间. 注：〖双侧置信区间与单侧置信区间的对照〗 典型例题 例 7.1 设总体 X 的概率分布为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ θ 2θ (1−θ ) θ 1− 2θ 0 1 2 3 ~ 2 2 X 其中 ) 2 1 θ (0 < θ < 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3， 求θ 的矩估计值和最大似然估计值. 例 7.2 设总体 X 的分布律为 k N N P X k , 0,1, , 1 1 ( ) = L + = = ，其中 N 为未 知的正整数，又 为取自总体 X 的一个样本，试求 N 的最大似然 估计。 X X Xn , , , 1 2 L 例 7.3 设总体 X 的密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = − 0 其他 0 1 ( ) 1 x x f x θ θ 2004 年 7 月 叶俊 编 5