2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 其中6>0为未知参数,X12X2…,Xn为取自总体X的一个样本,试求 (1)O的矩估计量; (2)6的极大似然估计量 例74设z=1nx~N(,a2),试证EX=e 若从上述总体X(参数,a2均未知)中取一个随机样本X1,X2,…,Xn,试求 EX的极大似然估计 例75为了估计湖中有多少条鱼,从湖中捞出1000条鱼,标上记号后又放回湖 中,过一段时间后,再捞出150条鱼,发现其中有10条带有标记,估计湖中鱼 的总数为多少是使上述事件的概率最大。 例76X,X2…,X是正态总体X~N(,)的简单随机样本,,σ2为未知 参数,求P(X>2)的极大似然估计。 例77已知(X,)…(x,)是独立地取自二元正态N(0,0,a2a2,p)的样本 求 a2和p的极大似然估计。 例78设总体x的k阶矩A=EX,k≥1存在又设H12X2…,X是x 的一个样本试证明不论总体服从什么分布k阶样本(原点)矩Mk=∑X 定是k阶总体(原点)矩山的无偏估计 例79设总体ⅹ的均值为,方差为σ-,从中分别抽取容量为n1,n2的两个独 立样本,X1,X2分别是两个样本的均值,试证明,对于满足a+b=1的任何常 数a及b,Y=aX1+bX,都是μ的无偏估计,并确定常数a及b,使Y的方 差达到最小。 例710设X~U[0.6],参数O未知,X1,X2…,Xxn是其大小为n的样本则 1)矩估计量61=2X是无偏的 2004年7月叶俊编2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 其中θ > 0 为未知参数, X1, X2 ,L, Xn为取自总体 X 的一个样本, 试求 (1) θ 的矩估计量; (2) θ 的极大似然估计量. 例 7.4 设 ln ~ ( , ), 试证 2 Z = X N µ σ 2 2 σ µ+ EX = e , 若从上述总体 X (参数 均未知)中取一个随机样本 , 试求 2 µ,σ X X Xn , , , 1 2 L EX 的极大似然估计. 例 7.5 为了估计湖中有多少条鱼，从湖中捞出 1000 条鱼，标上记号后又放回湖 中，过一段时间后，再捞出 150 条鱼，发现其中有 10 条带有标记，估计湖中鱼 的总数为多少是使上述事件的概率最大。 例 7.6 1 2 , , , X X L Xn 是正态总体 2 X N ~ (µ,σ ) 的简单随机样本， µ ， 2 σ 为未知 参数，求 P(X > 2)的极大似然估计。 例 7.7 已知 1 1 ( , ), ,( , ) X Y L Xn Yn 是独立地取自二元正态 2 2 N(0,0,,, σ σ ρ)的样本， 求 2 σ 和 ρ 的极大似然估计。 例 7.8 设总体 X 的 k 阶矩 存在. 又设 是 X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本（原点）矩 = EX , k ≥ 1 k µ k X X Xn , , , 1 2 K ∑ = = n i k k Xi n M 1 1 一定是 k 阶总体（原点）矩µ k 的无偏估计. 例 7.9 设总体 X 的均值为 µ ，方差为 2 σ ，从中分别抽取容量为 的两个独 立样本， 1 2 n , n 1 2 X , X 分别是两个样本的均值，试证明，对于满足a + b = 1的任何常 数 a 及 b， 1 X2 Y = aX + b 都是 µ 的无偏估计，并确定常数 a 及 b，使 Y 的方 差达到最小。 例 7.10 设 X ~U[0,θ ]，参数θ 未知， 是其大小为 n 的样本. 则 X X Xn , , , 1 2 K 1) 矩估计量 θˆ M = 2X 是无偏的； 2004 年 7 月 叶俊 编 6