2004年清华大学考研辅导班(暑期班)讲义一一概率统计 2)似然估计1=X(m=max{X1,X2,…,Xn},不是参数的无偏估计 n+1 n+1 但 X(n)是比6M=2X有效的估计量 例71设总体X的概率密度函数为f(x) A(x,x2H,这里H 和(>0)都是参数又设X1,X2,…,Xn为该总体的简单样本 (1)设已知,求的极大似然估计量 (2)设已知,求的矩估计量AM (3)的极大似然估计山2是的无偏估计吗?为什么 例712设X1,x2,…,X2n是来自方差有限的总体X的大小为2n的简单随机样本, 令T=x=1x,T2=1x2,则 2n i=l n i=l (1)对总体期望作估计时T1和T是否无偏?T是否比T2有效?请说明上述结论 的理由 (2)证明T2是总体期望的一致估计(即相合估计) 例7.13随机从一批零件中抽取16件,测得长度(单位:cm)为 2.142.102.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.142.11 设零件长度的分布是正态的,试求总体均值的95%置信区间。 (1)=0.01 (2)G未知 例714对方差2为已知的正态总体,要使均值的1-a置信区间长度不大于 26,抽取的样本容量n至少为多大? 例715假设0.50,1.25,0.80,200是来自总体X的简单样本值.已知Y=lnX服 从正态分布N(A,1) (1)求X的数学期望E(记EX为b) 2004年7月叶俊编2004 年清华大学考研辅导班（暑期班）讲义——概率统计 2) 似然估计 ，不是参数θ 的无偏估计. 但 max{ , , , } ˆθ L = X (n) = X1 X 2 L X n ( ) 1 ˆ 1 L X n n n n n + = + θ 是比θˆ M = 2X 有效的估计量. 例 7.11 设总体 X 的概率密度函数为 ，这里 ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − − µ λ µ λ µ x e x f x x ， ， 0 ( ) ( ) µ 和λ (> 0)都是参数. 又设 为该总体的简单样本. 1 2 n X , X ,L, X （1）设λ 已知，求 µ 的极大似然估计量µ L ˆ . （2）设 µ 已知，求λ的矩估计量λ M . ˆ （3） µ 的极大似然估计 µ L ˆ 是 µ 的无偏估计吗？为什么？ 例 7.12 设 是来自方差有限的总体 X 的大小为 2n 的简单随机样本， 令 X1 X 2 X 2n , ,L, ∑ ∑ = = = = = n i i n i i X n X T n T X 1 2 2 2 1 1 1 , 2 1 . 则 （1）对总体期望作估计时 和 是否无偏? 是否比 有效? 请说明上述结论 的理由. T1 T2 T1 T2 （2）证明T2 是总体期望的一致估计 (即相合估计) 例 7.13 随机从一批零件中抽取 16 件，测得长度（单位：cm）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设零件长度的分布是正态的，试求总体均值 µ 的 95%置信区间。 （1）σ = 0.01； （2）σ 未知. 例 7.14 对方差 2 σ 为已知的正态总体，要使均值 µ 的1−α 置信区间长度不大于 2δ ，抽取的样本容量 n 至少为多大？ 例 7.15 假设 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单样本值. 已知 Y = ln X 服 从正态分布 N( , µ 1) . (1) 求 X 的数学期望 EX (记 EX 为 b); 2004 年 7 月 叶俊 编 7