物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 d 其中ns=2.1770,n-n2=0.1870,λ0= dzdr +[Q+λ亚=0， 0.6328μm,0=1.0000,归一化频率V和归一 叫=1=0,1z=2=02>1, (7) 化传播常数定义为b=(N-n)/(n喔-n): 其本征值入可以用下式计算： V=k号d2(n-n),离散间距△x=2×10-6.仅 +T2 d亚 考虑TE模式，利用WKB近似法计算出归一化传 播常数bwKB,利用(6)式导出近似分布EwKB(x), 2 (8) 利用变分运算得到新的传播常数b1,再用b1导出相 Rv2dr 应场分布E(x),再计算出b2和E2(x),依次类推， 如果令P=1,R=-1,Q=号n2(x),入=2 求出b和E:(x) 亚=E(x)就得到标量波动方程(1)，当x1和x2绝 折射率分布为指数函数形式的精确求解方法 对值足够大时，模场值接近于零，因此进行变分 由Conwel29分析给出，其模场分布的表达式为 运算时，不需要在无穷的范围内积分，导函数可以 Eex(X) 利用地-E）-E:-△求得 (A3J (2V exp(-X/2)] X>0, dx △x J2V] (10) Popescu等利用该方法时，采用了艾里函数 A4 exp[V(b+B)] X<0, 法[回计算出的模场分布和归一化传播常数，计算 其中v=2VVi,X=x/d,根据E%x(X)在X=0 过程中，其模场分布和本征方程都采用了艾里函 处的连续性，可以到本征方程式 数的形式，求解过程复杂，而且精度有限.分析指 出，变分法计算的精度严重依赖于代入的亚函 (2V) (2V (11) ni-n 数的准确程度.而本文提出的模场构建方法，结 根据(11)式可以求解Nx,进而得到归一化传 合传统的变分法形成一种改进的变分法，能够根 播常数的精确值bex.WKB近似法和传统的变分法 据不同的折射率，导出相应的模场分布，循环利用 计算出的传播常数依次为bwKB和b,相应计算结 变分运算和模场推导，不断提高精度.因此可以 果如表1所列.从表1中可以看出，传统的变分法 从WKB近似法计算的折射率NwKB和导出的模 在计算高阶模和归一化频率较小的情况时仍然存 场分布EwKB(x)出发，利用变分运算得到新的有 在着误差.例如当V=1.2时的基模，传统变分法 效折射率N1,进而导出模场分布E(x),然后再次 的计算结果bv为0.003852，改进的变分法的计算结 重复上述步骤，得到新的有效折射率N2和模场分 果b3和精确值bex都为0.003823，对V=8的三阶 布E2(x),依次类推，导出N:和E(x),不断计算出 模，传统变分法的计算结果6为0.035122，改进的 精度更高的有效折射率，其中下表i=1,2,·表 变分法的计算结果b1和精确值bex都为0.035123 示利用NwKB和wKB(x)作为初始值和初始模 同时可以看出，阶数越高，需要变分运算的次数越 场分布进行第次变分运算和模场推导后得到的结 少，例如对于V=8的基模，3次变分运算得到的结 果.由于每次计算都使用了相同的公式和算法，多 果b3和精确值bx一致，而对三阶模和四阶模，一 次运算并不影响该方法的简便性，选择NwKB作为 次变分运算的结果b1和精确值bx一致.这是由于 初始值是由于WKB近似法导出的模式本征方程形 阶数越高，bwKB越接近精确值，导出的近似场分 式简单、容易计算。 布EwKB(x)也越接近准确分布. 为了证明该方法的准确性，我们采用和传统变 改进的变分法同样适用于其他折射率分布，例 分法相同的参数叫，折射率分布为指数函数，表 如高斯函数和余差互补函数的分布，高斯函数的折 达式为 射率分布表达式为 n2(x)=n2+(n2-n2)exp(-z/d) x>0 n2(x)=n2+(n-n)exp(-x2/d)x>0, n2(x)=ng E<0: n2(x)=n哈 x<0. (9) (12) 144205-3 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 d dx [ P dΨ dx ] + [Q + λR] Ψ = 0, Ψ|x=x1 = 0, Ψ|x=x2 = 0 x2 > x1, (7) 其本征值λ可以用下式计算: λ = ∫ x2 x1 ( P dΨ dx − QΨ) dx ∫ x2 x1 RΨ 2dx . (8) 如果令P = 1, R = −1, Q = k 2 0n 2 (x), λ = β 2 , Ψ = E (x) 就得到标量波动方程(1), 当x1 和x2 绝 对值足够大时, 模场值接近于零, 因此进行变分 运算时, 不需要在无穷的范围内积分, 导函数可以 利用 dΨ dx = [E (xi) − E (xi − ∆x)] ∆x 求得. Popescu等利用该方法时, 采用了艾里函数 法[9] 计算出的模场分布和归一化传播常数, 计算 过程中, 其模场分布和本征方程都采用了艾里函 数的形式, 求解过程复杂, 而且精度有限. 分析指 出[12] , 变分法计算的精度严重依赖于代入的Ψ 函 数的准确程度. 而本文提出的模场构建方法, 结 合传统的变分法形成一种改进的变分法, 能够根 据不同的折射率, 导出相应的模场分布, 循环利用 变分运算和模场推导, 不断提高精度. 因此可以 从WKB近似法计算的折射率NWKB 和导出的模 场分布EWKB(x)出发, 利用变分运算得到新的有 效折射率N1, 进而导出模场分布E1(x), 然后再次 重复上述步骤, 得到新的有效折射率N2 和模场分 布E2(x), 依次类推, 导出Ni 和Ei(x), 不断计算出 精度更高的有效折射率, 其中下表i = 1, 2, · · · 表 示利用NWKB 和EWKB (x) 作为初始值和初始模 场分布进行第i次变分运算和模场推导后得到的结 果. 由于每次计算都使用了相同的公式和算法, 多 次运算并不影响该方法的简便性, 选择NWKB 作为 初始值是由于WKB近似法导出的模式本征方程形 式简单、容易计算. 为了证明该方法的准确性, 我们采用和传统变 分法相同的参数 [11] , 折射率分布为指数函数, 表 达式为    n 2 (x) = n 2 s + ( n 2 f − n 2 s ) exp (−x/d) x > 0, n 2 (x) = n 2 0 x < 0, (9) 其 中 ns = 2.1770, n 2 f − n 2 s = 0.1870, λ0 = 0.6328 µm, n0 = 1.0000, 归一化频率V 和归一 化 传 播 常 数 定 义 为 b = ( N2 eff − n 2 s ) / ( n 2 f − n 2 s ) , V = k 2 0d 2 ( n 2 f − n 2 s ) , 离散间距∆x = 2 × 10−6 . 仅 考虑TE模式, 利用WKB近似法计算出归一化传 播常数bWKB, 利用(6)式导出近似分布EWKB (x), 利用变分运算得到新的传播常数b1, 再用b1 导出相 应场分布E1 (x), 再计算出b2 和E2 (x), 依次类推, 求出bi 和Ei (x). 折射率分布为指数函数形式的精确求解方法 由Conwell [29] 分析给出, 其模场分布的表达式为 Eex(X) =    A3Jv[2V exp(−X/2)] Jv[2V ] X > 0, A4 exp[V (b + B) 1 2 X] X < 0, (10) 其中v = 2V √ b, X = x/d, 根据E′ ex (X)在X = 0 处的连续性, 可以到本征方程式 J ′ v (2V ) Jv (2V ) = − ( N2 ex − n 2 0 n 2 f − n2 s ) . (11) 根据(11)式可以求解Nex, 进而得到归一化传 播常数的精确值bex. WKB近似法和传统的变分法 计算出的传播常数依次为bWKB 和bv, 相应计算结 果如表 1所列. 从表 1中可以看出, 传统的变分法 在计算高阶模和归一化频率较小的情况时仍然存 在着误差. 例如当V = 1.2时的基模, 传统变分法 的计算结果bv 为0.003852, 改进的变分法的计算结 果b3 和精确值bex 都为0.003823, 对V = 8的三阶 模, 传统变分法的计算结果bv 为0.035122, 改进的 变分法的计算结果b1 和精确值bex 都为0.035123. 同时可以看出, 阶数越高, 需要变分运算的次数越 少, 例如对于V = 8的基模, 3次变分运算得到的结 果b3 和精确值bex 一致, 而对三阶模和四阶模, 一 次变分运算的结果b1 和精确值bex 一致. 这是由于 阶数越高, bWKB 越接近精确值, 导出的近似场分 布EWKB (x)也越接近准确分布. 改进的变分法同样适用于其他折射率分布, 例 如高斯函数和余差互补函数的分布, 高斯函数的折 射率分布表达式为    n 2 (x) = n 2 s + ( n 2 1 − n 2 s ) exp ( −x 2/d 2 ) x > 0, n 2 (x) = n 2 0 x < 0, (12) 144205-3