物理学报Acta Phys.Sin.Vol.64,No.14(2015)144205 表1折射率分布为指数函数的归一化传播常数的精确值bx,WKB近似法的计算结果wKB、传统变分法的计算 结果6和改进的变分法的计算结果b:的比较 Table 1.Comparison of exact normalized propagation constant bex,bwkB from WKB method,b from traditional variational method and bi from improved variational method for exponential index profiles. bex 0 bWKB b1 b b3 0 0.522766 0.522766 0.525793 0.522261 0.522756 0.522766 8 0.259566 0.259566 0.260299 0.259520 0.259566 0.259566 8 0.113811 0.113811 0.114092 0.113799 0.113811 0.113811 8 0.035123 0.035122 0.035237 0.035119 0.035123 0.035123 4 0.002728 0.002727 0.002755 0.002727 0.002727 0.002727 4 0.321164 0.321164 0.324912 0.320633 0.321153 0.321164 4 1 0.053966 0.053966 0.054561 0.053928 0.053966 0.053966 1.2 0 0.003823 0.003852 0.005105 0.003534 0.003827 0.003823 余差互补函数的折射率分布表达式为 表3折射率分布为余差互补函数的归一化传播常数的精 确值bex,WKB近似法的计算结果wKB和改进的变分 n2(x)=n2+(ni-n2)erfc(x/d) x>0, 法的计算结果b:的比较 n2(x)=no x<0. Table 3.Comparison of exact normalized propagation constant bex,bWKB from WKB method and bi from (13) improved variational method for Complementary Er- 选取的参数不变，计算结果如表2和表3所列. ror index profiles. 通过表2和表3的结果可得，当V越小，折射率分 bex bWKB bi 布变化越快，WKB近似法的计算结果的误差越大， 3.0 0.0675 0.0574 b3=0.0675 就需要利用较多次数的变分运算来提高精度.例如 对V=2.0且折射率分布为高斯函数的基模，6次 4.0 0.1694 0.1650 b=0.1694 变分运算的结果bs才与精确值bx一致；相反，当 除了变分法外，还可以利用修正的模式本征方 V越大，折射率分布变化越缓慢，WKB近似法的结 程来计算出精准的有效折射率.修正的模式本征方 果越接近精确值，只需要较少次数的变分运算，例 程可以通过转移传输矩阵法导出[8，强非对称渐 如对V=4.0且折射率分布为高斯函数的基模，一 变折射率分布的平板波导的本征方程为 次变分运算的结果b1与精确值bex一致.这个结果 也验证了WKB近似法仅适用于折射率分布缓慢变 k(x)dx+ g(x) k2(x)+q2(x) 化的情况的结论。 (m+2 n-arctan (N tr -n3) (n-Natt)' (14) 表2折射率分布为高斯函数的归一化传播常数的精确值 bx,WKB近似法的计算结果bwKB和改进的变分法的 计算结果b:的比较 对称折射率分布的平板波导，本征方程为[18] Table 2.Comparison of exact normalized propagation k(x)dz+ q(z) -dx constant bex,bwkB from WKB method and b;from 工+1 2(x)+q2(x improved variational method for Gaussian index pro- files. =(m+1)r, (15) 其中，k(x)=[n2(c)-B2]立，q()满足方程 bex bWKB bi 2.0 0.0817 0.0451 b6=0.0817 dg=2(e)+q2() (16) dx 3.0 0.2750 0.2741 b1=0.2750 该方程的解为q(x)=-E(x)/E(x).转移传输矩 4.0 0.4133 0.4124 b1=0.4133 阵法的本质是将渐变折射率波导等效成足够多的 多层平板波导，求出每层平板波导的传输矩阵，导 144205-4 ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net物 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 64, No. 14 (2015) 144205 表 1 折射率分布为指数函数的归一化传播常数的精确值 bex, WKB 近似法的计算结果 bWKB、传统变分法的计算 结果 bv 和改进的变分法的计算结果 bi 的比较 Table 1. Comparison of exact normalized propagation constant bex, bWKB from WKB method, bv from traditional variational method and bi from improved variational method for exponential index profiles. V m bex bv bWKB b1 b2 b3 8 0 0.522766 0.522766 0.525793 0.522261 0.522756 0.522766 8 1 0.259566 0.259566 0.260299 0.259520 0.259566 0.259566 8 2 0.113811 0.113811 0.114092 0.113799 0.113811 0.113811 8 3 0.035123 0.035122 0.035237 0.035119 0.035123 0.035123 8 4 0.002728 0.002727 0.002755 0.002727 0.002727 0.002727 4 0 0.321164 0.321164 0.324912 0.320633 0.321153 0.321164 4 1 0.053966 0.053966 0.054561 0.053928 0.053966 0.053966 1.2 0 0.003823 0.003852 0.005105 0.003534 0.003827 0.003823 余差互补函数的折射率分布表达式为    n 2 (x) = n 2 s + ( n 2 1 − n 2 s ) erfc(x/d) x > 0, n 2 (x) = n 2 0 x < 0. (13) 选取的参数不变, 计算结果如表 2和表 3所列. 通过表 2和表 3的结果可得, 当V 越小, 折射率分 布变化越快, WKB近似法的计算结果的误差越大, 就需要利用较多次数的变分运算来提高精度. 例如 对V = 2.0且折射率分布为高斯函数的基模, 6 次 变分运算的结果b6 才与精确值bex 一致; 相反, 当 V 越大, 折射率分布变化越缓慢, WKB近似法的结 果越接近精确值, 只需要较少次数的变分运算, 例 如对V = 4.0且折射率分布为高斯函数的基模, 一 次变分运算的结果b1 与精确值bex 一致. 这个结果 也验证了WKB近似法仅适用于折射率分布缓慢变 化的情况的结论. 表 2 折射率分布为高斯函数的归一化传播常数的精确值 bex, WKB 近似法的计算结果 bWKB 和改进的变分法的 计算结果 bi 的比较 Table 2. Comparison of exact normalized propagation constant bex, bWKB from WKB method and bi from improved variational method for Gaussian index pro- files. V bex bWKB bi 2.0 0.0817 0.0451 b6 = 0.0817 3.0 0.2750 0.2741 b1 = 0.2750 4.0 0.4133 0.4124 b1 = 0.4133 表 3 折射率分布为余差互补函数的归一化传播常数的精 确值 bex, WKB 近似法的计算结果 bWKB 和改进的变分 法的计算结果 bi 的比较 Table 3. Comparison of exact normalized propagation constant bex, bWKB from WKB method and bi from improved variational method for Complementary Er￾ror index profiles. V bex bWKB bi 3.0 0.0675 0.0574 b3 = 0.0675 4.0 0.1694 0.1650 b2 = 0.1694 除了变分法外, 还可以利用修正的模式本征方 程来计算出精准的有效折射率. 修正的模式本征方 程可以通过转移传输矩阵法导出 [18] , 强非对称渐 变折射率分布的平板波导的本征方程为 ∫ xt 0 κ (x) dx + ∫ xt 0 q (x) κ 2 (x) + q 2 (x) dx = ( m + 1 2 ) π − arctan√( N2 eff − n 2 0 ) ( n 2 f − N2 eff) , (14) 对称折射率分布的平板波导, 本征方程为 [18] ∫ xt2 xt1 κ (x) dx + ∫ xt2 xt1 q (x) κ 2 (x) + q 2 (x) dx = (m + 1) π, (15) 其中, κ (x) = [ k 2 0n 2 (x) − β 2 ] 1 2 , q (x)满足方程 dq (x) dx = κ 2 (x) + q 2 (x). (16) 该方程的解为q (x) = −E′ (x)/E (x). 转移传输矩 阵法的本质是将渐变折射率波导等效成足够多的 多层平板波导, 求出每层平板波导的传输矩阵, 导 144205-4